A pólus és pajta paradoxona ( pajta és pólus paradoxona , létraparadoxon ) egy gondolatkísérlet a speciális relativitáselmélet keretein belül . A talajjal párhuzamosan repülõ pólust tekinti, és ezért Lorentzi hossz-összehúzódásnak van kitéve . Ennek eredményeként az oszlop belefér egy istállóba, amelybe általában nem férne be. Ezzel szemben az oszlop szempontjából az istálló mozgásban van, miközben az oszlop nyugalomban van. Ekkor csökken az istálló hossza, és az amúgy is túl hosszú rúd nem megy be az istállóba. A látszólagos paradoxon az abszolút egyidejűség feltételezéséből adódik. Tehát egy oszlopot akkor helyeznek el az istállóban, ha a rúd mindkét vége az istállóban van. A relativisztikában az egyidejűség relatív, ezért azt a kérdést, hogy egy rúd az istállóban van-e, minden egyes megfigyelő, az oszlop és az istálló tekintetében figyelembe kell venni. Így a paradoxon megoldódott.
A paradoxon legegyszerűbb változatában van egy elöl és hátul nyitott ajtós pajta, és egy oszlop, amely nyugalmi állapotban nem fér el az istállóban. Nagy vízszintes sebességre gyorsítjuk az oszlopot úgy, hogy átlövik az istállón. Nagy sebességének köszönhetően az oszlop rövidítő hatást fejt ki , és jelentősen rövidebbé válik. Ennek eredményeként az istállón átrepülve a rúd egy ideig teljesen benne van. Ennek bemutatására az istálló mindkét ajtaját egyszerre becsukhatnánk, amíg az oszlop bent van.
Eddig nem figyeltek meg paradoxont. Akkor merül fel, ha ugyanazt a hatást a pólus szempontjából vizsgáljuk. Mivel a póluson lévő megfigyelő az istálló inerciális vonatkoztatási rendszeréhez képest állandó sebességgel mozog, ennek a megfigyelőnek a vonatkoztatási rendszere is inerciális. Ezért a relativitás elve szerint a pólus vonatkoztatási rendszerére ugyanazok a fizika törvényei érvényesek. Aztán a rúdhoz ő maga pihen, a fészer pedig éppen ellenkezőleg, nagy sebességgel repül rá. Ez azt jelenti, hogy az istálló hossza lecsökken, és arra a következtetésre juthatunk, hogy fesztávja során az istálló nem tudta teljesen befogadni az oszlopot. Ezért nem zárhatjuk be mindkét oldalon az istállóajtókat úgy, hogy egy oszlopot bezárunk. Ez az ellentmondás paradoxont rejt magában.
A paradoxon megoldása az egyidejűség relativitásában rejlik: ami egyszerre van az egyik vonatkoztatási rendszerben (például egy istállóban), az lehet egy másikban (jelen esetben egy pólusban) nem egyidejű. Amikor azt mondjuk, hogy az oszlop "elfér" a fészerben, akkor valójában azt értjük, hogy a rúd elülső és hátsó széle egyszerre volt a fészerben. Mivel az egyidejűség relatív, két különböző vonatkoztatási rendszerben a pólus vagy illeszkedhet, vagy nem, és a megfigyelőknek mindkét keretben igazuk lenne. Az istálló szempontjából a rúd eleje és hátulja is az istálló belsejében volt valamikor, így az oszlop illeszkedett. Az oszlop szempontjából azonban ezek az események nem egyszerre történtek, és az oszlop nem fért be a fészerbe.
Ez könnyen belátható, ha az istálló referenciakeretében, amint az oszlop teljesen behatol az istállóba, az ajtók egyidejűleg becsukódnak egy rövid időre. A pólus vonatkoztatási rendszerében a következő fordul elő. Nyitott ajtókkal az oszlop eleje eléri a fészer hátsó ajtaját. Ez az ajtó bezárul, majd kinyílik, lehetővé téve az oszlop átrepülését. Egy idő után az oszlop hátsó vége az istálló bejárati ajtajához repül, majd a bejárati ajtó becsukódik és kinyílik. Ez azt mutatja, hogy mivel az egyidejűség relatív, nem feltétlenül záródik be mindkét ajtó egyszerre, és az oszlopnak nem kell teljesen beleférnie a fészerbe.
Jól szemlélteti, mi történik, az alábbi Minkowski-diagram . Az istálló referenciakeretében épült. A függőleges kék tartomány a pajta téridejét mutatja, a piros tartomány az oszlop téridejét. Az istálló x és t tengelye, az oszlop x' és t' tengelye felelős a térért és az időért.
Az istálló vonatkoztatási rendszerében minden időpillanatban a pólus az x tengellyel párhuzamos vízszintes vonalként jelenik meg a piros tartományon belül. Az istálló kék szegmensében elhelyezkedő vastag kék vonal a póznát jelenti, amikor az teljesen az istállóban van. A pólus vonatkoztatási rendszerében azonban az egyidejű események az x tengellyel párhuzamos vonalak mentén helyezkednek el. Így a pólus bármely adott időpontban elfoglalt helyzetét ezen egyenesek és a piros szakasz metszéspontja fejezi ki. Amint az ábrán látható, a vastag piros vonal soha nincs teljesen a kék tartományban, ami azt jelenti, hogy a rúd soha nincs teljesen az istállóban.
A paradoxon bonyolultabb változatában lehetőség van arra, hogy az oszlopot fizikailag bezárják az istállóba, miután az teljesen be van dugva. Ehhez tegyük fel, hogy a fészer vonatkoztatási rendszerében a hátsó ajtó zárva van, vagyis a rúd a vele való ütközés pillanatában azonnal megáll [1] [2] . Az érintkezés pillanatában a bejárati ajtó is bezárul, és ennek következtében az oszlop teljesen bezáródik az istálló belsejében. Mivel a pólus relatív sebessége nulla lesz, többé nincs kitéve a hosszösszehúzódásnak, és meghaladja az istálló hosszát. Ennek eredményeként a rúd nem fog elférni az istállóban.
A fenti érvelés arra utalt, hogy az oszlop hossza a saját vonatkoztatási rendszerében meghaladja az istálló hosszát. Akkor hogyan lehetett egyáltalán az istálló mindkét ajtaját bezárni, a póznát bent tartva?
Itt érdemes megjegyezni a relativisztika egy általános tulajdonságát: az istálló vonatkoztatási rendszerét átgondolva arra a következtetésre jutottunk, hogy valóban bezárjuk a póznát. Akkor ennek más vonatkoztatási rendszerben is igaznak kell lennie, hiszen egy pólus nem szakadhat el az egyik keretben, és nem maradhat ép a másikban. Az ellentmondás feloldásához magyarázatot kell találni arra, hogy miért tudták az oszlopot az istállóba zárni.
Ennek magyarázata a következő. Annak ellenére, hogy az oszlop CO-jában minden része egyszerre áll meg, az istálló CO-jában az egyidejűség relativitásából adódóan ezek a cselekvések különböző időpontokban történnek. Vagyis az oszlop részei nem változtatják egyszerre a sebességet, először az elülső, majd a hátsó rész lassul [1] [3] . Mire a hátsó végét lefékezik, az oszlop már teljesen a fészerben van.
Mi van, ha az istálló hátsó ajtaja mindig zárva marad? Legyen olyan szilárd, hogy amikor nekiütközik, az oszlop azonnal megáll, anélkül, hogy áttörné. Ekkor a fent leírt forgatókönyv szerint eljön egy pont az istálló CO-jában, ahol az oszlop teljesen belefér az istállóba, mielőtt ütközne a hátsó ajtóval. Az oszlop ST-jében azonban túl nagy ahhoz, hogy beférjen a fészerbe, így mire a falnak ütközik, az oszlop hátulja még mindig nem érte el a fészer bejárati ajtaját. Paradoxonnak tűnik. A kérdés az, hogy az oszlop hátsó vége átmegy az istálló bejárati ajtaján vagy sem?
A nehézség abból a feltevésből adódik, hogy a rúd abszolút szilárd, azaz bármilyen ütés hatására megtartja alakját. A lengyelek a mindennapi életben meglehetősen szilárdak és rugalmatlanok. Az abszolút integritás tulajdonságának birtoklása azonban azt jelentené, hogy az erő végtelenül nagy sebességgel terjed a tárgyon keresztül. Más szóval, ha egy tárgyat az egyik oldalról tolnak, a másik azonnal elmozdul. Ez sérti a relativitás elvét, amely szerint a fizikai kölcsönhatások terjedésének határsebessége a fény sebessége. A való életben szinte lehetetlen észrevenni a különbséget, de ebben a helyzetben ez a tény számít. Ebből következik, hogy a speciális relativitáselméletben egy tárgy nem lehet abszolút szilárd.
Ebben az esetben abban a pillanatban, amikor az oszlop elülső vége az istálló hátsó ajtajával ütközik, a hátsó vége még nem "tud" róla, és tovább mozog (és az oszlop "zsugorodik"). Mind az istálló vonatkoztatási rendszerében, mind az oszlop saját vonatkoztatási rendszerében az oszlop háta az ütközés pillanatában legalább addig mozog, amíg a fénysebességű erő el nem éri az oszlop végét. Ekkor a rúd valójában még rövidebb lesz, mint amilyenné a hosszcsökkenés következtében lett, így az oszlop hátsó vége már az istállóban lesz. A leírtakat mindkét referenciarendszerben végzett számítások igazolják.
Továbbra is bizonytalan, mi történik, ha az erő eléri a pólus hátsó végét (zöld terület a diagramon). A rúd apró darabokra szakadhat, és ha kellően rugalmas, akkor az istálló hátsó ajtaján kihullva visszanyúlik eredeti hosszára.
A vizsgált paradoxont eredetileg Wolfgang Rindler javasolta és oldotta meg [1] . Eredeti megfogalmazásában a gyorsan futó ember, akinek a szerepét egy hosszú rúd tölti be, gödörbe esik [4] . Feltételezzük, hogy a pólus teljesen a gödör fölött van, mielőtt a gyorsulás lehúzná a pólus minden pontját.
A gödör szempontjából a pólus hosszanti összehúzódáson megy keresztül, és a gödörbe kerül. Az oszlop szempontjából azonban lecsökken a gödör hossza, és ennek következtében az oszlop nem tud beleesni a gödörbe.
Valójában a gödör CO-jában a pólus összes pontját egyidejűleg lehúzó gyorsulás a pólus saját CO-jában lévő pontokat nem egyszerre húzza le. Az oszlop referenciakeretében először az oszlop elülső vége gyorsul lefelé, majd a többi végtelenül kicsi része fokozatosan a hátsó végéhez. Ennek eredményeként a pólus elgörbül a referenciakeretében. Érdemes hangsúlyozni, hogy mivel a pólus a saját tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerében van meggörbülve, akkor valódi fizikai hajlításról van szó, amelyet minden CO-ban a pólus látható feszültsége kísér.
Tekintsünk egy bonyolultabb paradoxont, amelyben a cselekvés nem inerciális vonatkoztatási rendszerben történik. Először egy személy vízszintesen mozog, majd leesik. A személy (szegmentált pólus) fizikailag deformálódik, mivel a pólus az egyik SO-ban elhajlik, a másikban egyenes marad. Ezek a szempontok új problémákat vetnek fel a pólus merevségével kapcsolatos paradoxonba, elmosva a látszólagos ellentmondás lényegét. Egy hasonló, de egyszerűbb problémát, amelyben csak inerciális referenciakeretek fordulnak elő, gyűrű-sáv paradoxonnak nevezik (Ferraro 2007). A rúd, amely valamivel hosszabb, mint a gyűrű átmérője, felfelé mozog jobbra. A rúd hosszú tengelye vízszintes síkban helyezkedik el, párhuzamosan a gyűrű síkjával. A gyűrű ebben a pillanatban nyugalomban van. Ha a rúd mozgása közben a középpontja egy bizonyos ponton egybeesik a gyűrű középpontjával, a rúd a hossz Lorentz-összehúzódásának hatására megrövidül, és áthalad a gyűrűn. Egy paradoxon jelenik meg, ha figyelembe vesszük ugyanezt a helyzetet a rúd SR-ében. Most a gyűrű lefelé mozog balra, és a hossza mentén vízszintesen összehúzódik. A rúd hossza változatlan marad. Hogyan fog akkor a rúd áthaladni a gyűrűn?
A paradoxon megoldása az egyidejűség relativitásában rejlik (Ferraro 2007). Egy fizikai objektum hosszát a test mindkét végén bekövetkező két egyidejű esemény közötti távolságként határozzuk meg. Az egyidejűség relativitásából tehát az objektum mozgástengelye menti hosszirányú hosszának relativitása következik, amelyet a hossz Lorentz-összehúzódása határoz meg. Hasonlóképpen három egyidejű esemény segítségével meghatározzuk a fizikai szöget, ami szintén relatív lesz. A fent leírt paradoxonban annak ellenére, hogy a gyűrű és a pólus síkjai párhuzamosak egymással a gyűrű CO-jában, a párhuzamosság a rúd CO-jában nem marad meg. A rövidítésnek nem kitett rúd csak azért megy át a rövidített gyűrűn, mert a gyűrű síkja a pólushoz képest elfordul.
Matematikailag szólva a Lorentz-transzformációk felbonthatók egy térbeli elforgatás és egy "helyes" Lorentz-transzformáció szorzatára, amelyben nincs térbeli elforgatás. Matematikailag a gyűrű és a rúd paradoxona feloldható, tekintve, hogy két helyes Lorentz-transzformáció szorzata olyan transzformációt adhat, amely hibásnak bizonyul. Egy ilyen transzformáció tartalmazni fog egy komponenst, amely a térbeli elforgatásért felelős.