Centrifugális erő

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. március 16-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 18 szerkesztést igényelnek .

A centrifugális erő a mechanikában egy többértékű fogalom, amely mind történelmileg, mind a tudományos-műszaki terminológia rendezetlenségével, valamint a tudományos-műszaki környezetben tapasztalható nézeteltérésekkel összefüggésben alakult ki.

A centrifugális erők egy test vagy anyagi pont görbe vonalú mozgására utalnak, és a Nagy Szovjet Enciklopédia és számos más enciklopédikus forrás szerint a következőképpen határozzák meg:

A centrifugális erő az az erő, amellyel egy mozgó anyagpont egy testre hat (kapcsolat), korlátozva a pont mozgási szabadságát, és görbe vonalú mozgásra kényszeríti. Számszerűen C. s. egyenlő , ahol a pont tömege, , a sebessége, a pálya görbületi sugara , és a főnormál mentén a görbületi középponttól a pályára irányul (a kör középpontjától, amikor a pont a kör mentén mozog). C. s. és a centripetális erő numerikusan egyenlő egymással, és egy egyenes mentén ellentétes irányokba irányulnak, de különböző testekre érvényesülnek hatás- és reakcióerőként. Például, amikor egy kötélre kötött teher vízszintes síkban forog, a centripetális erő a kötél oldaláról hat a terhelésre, és arra kényszeríti, hogy körben mozogjon, és a centripetális erő. a teher oldaláról hat a kötélre, húzza azt. $mv^{2}/r$ $m$ $v$ $r$

A d'Alembert -dinamikai problémák megoldására alkalmazva a C. s. néha adjon más jelentést, és hívja C. s. egy anyagi pont tehetetlenségi erejének összetevője , amely a pálya főnormálja mentén irányul.

Alkalmanként C. s. a tehetetlenségi erő normál komponensének is nevezik a relatív mozgás egyenleteinek összeállításakor

- Centrifugális erő (TSB), 1978

Lényegében ebben a meghatározásban a centrifugális erő kifejezés ennek a kifejezésnek három különböző jelentését jelenti. Tekintsük őket részletesebben.

1) Centrifugális erő az első értelemben - Newtoni centrifugális erő . Az ábrán látható: egy függőleges tengely körül egyenletesen forgó korong, egy kötél, melynek egyik vége a tárcsa közepéhez csatlakozik, a másik végére egy golyó van kötve. (A vonatkoztatási rendszer inerciális , a Föld felszínéhez kapcsolódik).

A kötélfeszítő erő hat a labdára , a forgás középpontja felé irányítva, ami meggörbíti a labda röppályáját, és körben mozog. Ezt az erőt centripetálisnak nevezzük . A centrifugális erőt a kötél feszültsége is létrehozza, de ez egy másik testre - a korongra - hat. Így az első értelemben vett centrifugális és centripetális erők különböző testekre vonatkoznak. (Ebben a példában a kötélről feltételezzük, hogy nyújthatatlan). ${\vec {F}}_{1}$

A centrális és centrifugális erők ebben az összefüggésben közönséges hatás- és reakcióerőkként hatnak Newton harmadik törvénye szerint. Nevüket kizárólag annak az iránynak köszönhetik, amelyben cselekszenek (közép felé vagy a központtól távolodva), és nem hordoznak semmilyen más szemantikai terhelést. Egyes szerzők Ishlinsky akadémikus nyomán ezeket az erőket newtoni vagy „valódi” erőknek nevezik.

2) A centrifugális erőt a második jelentésében d'Alembert centrifugális erőnek nevezik .

A d'Alembert-féle centrifugális erő a d'Alembert-féle tehetetlenségi erő egy speciális esete , amelyet gondolatban bevezetnek az erők számítási sémájába, hogy formális lehetőséget kapjunk a dinamikai egyenletek egyszerűbb statikus egyenletek formájában történő felírására . A valóságban nem létezik, nem érzékelhető vagy mérhető, és a fiktív , hamis vagy álerők kategóriájába tartozik.

3) A harmadik jelentésben a centrifugális erőt "a hordozható tehetetlenségi erő normál összetevőjének a relatív mozgás egyenletei összeállításakor" [1] nevezzük . Ez az erő a nem inerciális vonatkoztatási rendszerekben fellépő tehetetlenségi erők speciális esete .

Magyarázzuk meg ezt egy példával.

Képzeljünk el egy korongot, amely egyenletesen forog egy függőleges tengely körül szögsebességgel . A tárcsára sugárirányban egy vezető van felszerelve, amelyre egy golyót és egy feszítőrugót helyeznek. A labda képes a vezető mentén mozogni. A rugó egyik vége a labdához csatlakozik, a másik pedig a tárcsa tengelyéhez van akasztva. A forgó tárcsához képest a rugóval ellátott golyó nyugalmi helyzetben van. A tárcsa egyenletes forgása esetén tangenciális erők és gyorsulás hiányoznak, és a golyóra sugárirányban ható rugófeszítő erő egyenlő a golyó tömegének és a normál (centripetális) gyorsulásnak , ill . $\omega$ ${\vec {F}}_{\text{pr}}$ $m$ ${\vec {F}}_{\text{pr}}=m{\vec {a}}_{\text{ts}}$

${\vec {F}}_{\text{pr}}=m\omega ^{2}{\vec {r}}$ ,

ahol a sugárvektor a golyó közepétől a korong közepéig húzott. ${\vec {r))$

Ilyen képet fog látni egy megfigyelő, aki egy inerciális vonatkoztatási rendszerben nyugszik, , amely a Föld felszínéhez kapcsolódik. Ha a koronghoz tartozó nem inerciális vonatkoztatási rendszert választunk , akkor az ebben a rendszerben elhelyezkedő megfigyelő szempontjából a korong a labdával együtt nyugalomban van, és a labda egyensúlyát a két erő hatása: a tárcsa közepétől eltávolítani szándékozó erő - a tehetetlenségi centrifugális erő és a rugó középpontja felé irányuló feszítőerő : $K$ $K'$ ${\vec {F}}_{\text{c}}$ ${\vec {F}}_{\text{pr}}$

${\vec {F}}_{\text{pr}}+{\vec {F}}_{\text{c}}=0$ vagy ${\vec {F}}_{\text{c}}=-{\vec {F}}_{\text{pr}}$

A. Yu. Ishlinsky akadémikus által javasolt terminológia szerint a tehetetlenségi centrifugális erőket néha Euler - erőknek nevezik. (Mint tudod, L. Euler volt az első, aki mozgó koordinátarendszereket használt a mechanika összetett problémáinak megoldására). [2] Ilyen centrifugális tehetetlenségi erők például az éles kanyarokban a szállító utasokra, a kanyarodó és műrepülő pilótákra, valamint a különböző cirkuszi és parki attrakciók résztvevőire (hullámvasút, centrifuga, körhinta stb.) ható erők. A fiktív d'Alembert-erőktől eltérően az Euler-centrifugális tehetetlenségi erőknek olyan jelei vannak, amelyek közelebb hozzák őket a valódi erőkhöz. Ezek az erők érezhetők és mérhetők. Az Euler-erők „valódi” erőként való elismerésének kérdése még mindig vitatható.

Történelmi háttér

A tehetetlenségi erő és a centrifugális erő fogalmát Newton említette először a "The Mathematical Principles of Natural Philosophy" című klasszikus könyvében. Az "anyag veleszületett erejéről", vagyis bármely test azon tulajdonságáról, hogy fenntartja nyugalmi állapotát vagy egyenletes egyenes vonalú mozgását erők hiányában, Newton nem ad egyértelmű definíciót a tehetetlenségi erőről, és összezavarja a tehetetlenségi erőt. a tehetetlenség fogalma - az az állapot, amelyben a test található, és a tehetetlenség fogalma egy test tulajdonsága. Newton is használja a centrifugális erő kifejezést, de valódi fizikai erőnek tekinti, vagyis a KBSZ szerint az első értelemben. Ez a fogalomzavar a mai napig fennáll. [3]

1743-ban d'Alembert más megközelítést javasolt a tehetetlenségi erők, különösen a centrifugális tehetetlenségi erő tekintetében. Megfogalmazta d'Alembert alapelvét, melynek lényege, hogy egy dinamikus probléma inerciális vonatkoztatási rendszerben történő megoldásának leegyszerűsítése érdekében a valós erőkhöz mesterségesen hozzáadtak fiktív tehetetlenségi erőket, amelyek nagysága megegyezik velük. , de ellentétes irányú , hol van a test gyorsulása. Ennek eredményeként a test mozgásegyenlete felveszi a formát , és egy statikus probléma megoldására redukálódik. [3] ${\vec {F}}_{i}$ ${\vec {F}}_{u}=-m{\vec {a}}$ $\vec a$ $\sum ({\vec {F}}_{i}+{\vec {F}}_{u})=0$

Talán az elméleti mechanika egyik rendelkezése sem okozott akkora vitát és zavart, mint d'Alembert elve. Az 1920-as években filozófusok szembehelyezkedtek vele, azzal vádolva a szerzőt, hogy nem dialektikus, mivel d'Alembert szerint a mozgástanulmányozás egy statikus probléma – az egyensúly – vizsgálatára redukálódik, ami a dinamikai probléma speciális esete. [négy]

1936-1937-ben a szovjet sajtóban vita alakult ki a tehetetlenségi erőkről, különösen a centrifugális erőről, a gyakorlati mérnökök és az elméleti mechanika között a híres szovjet tudós - L. B. Levenson mechanikus - tehetetlenségi nézeteinek bírálatáról. aki arról írt, hogy a gyakorlati szakemberek régóta számítógépeket dolgoznak, figyelembe véve a tehetetlenségi erők valóságát, a teoretikusok pedig figyelmen kívül hagyva a tényeket, ragaszkodnak a tehetetlenségi erők valószerűtlenségéhez, és azt állítják, hogy ezek az erők egyáltalán nem léteznek. 1940-ben jelent meg S. E. Khaikin professzor „Mik a tehetetlenségi erők” című könyve, amelyben a tudósok – a tehetetlenségi erők valóságának támogatói – szemszögéből beszélt. [5]

Számos heves vita ismert a mechanikával foglalkozó szakemberek között arról, hogy a tehetetlenségi erőket valódi erőknek kell-e tekinteni, vagy képzeletbeli vagy fiktív erőknek kell-e tulajdonítani. Az utolsó ilyen megbeszélésre a Szovjetunió Tudományos Akadémia Mechanikai Problémák Intézetében került sor A. Yu akadémikus támogatói között. A mechanika tanításában betöltött szerepük” (Moszkva, 1985. október 1-8.). Kiváló tudósok veszekedtek és szétszéledtek, anélkül, hogy végül megoldották volna a problémát.

Különböző vélemények a centrifugális erőkről az oktatási és tudományos irodalomban

A centrifugális erőkről szóló számos vita alapvetően terminológiai jellegű, mivel minden attól függ, hogyan definiáljuk az erő fogalmát, és hogy pontosan mit is kell érteni a centrifugális erő kifejezés alatt . Vegye figyelembe mindkét fél nézeteit és érveit. Ishlinsky hívei „igazi” centrifugális erőnek nevezik az ellenerőt, amelyet a tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerben a mechanika harmadik törvénye szerint a kapcsolatra alkalmaznak. A d'Alembert és az Euler centrifugális erőket hamisnak, fiktívnak tekintik, mivel a d'Alembert-erők nem engedelmeskednek Newton második és harmadik törvényének, az Euler (tehetetlenségi) centrifugális erők pedig nem engedelmeskednek Newton harmadik törvényének.

Például Frisch és Timoreva I. kötetének 21. pontjában a fizika során ez áll: „A középponti és centrifugális erők az a két erő, amelyek létezése Newton harmadik törvényének köszönhető; különböző testekhez kapcsolódnak. Például egy kötélre kötött kő forgása esetén a centripetális erő a kőre, a centrifugális erő pedig a kötélre hat. [6] Ehhez hozzá kell tenni, hogy inerciális vonatkoztatási rendszerről beszélünk . A centripetális és centrifugális erők hasonló definícióját tartalmazza Peryskin iskolai fizikatanfolyama. [7]

Frisch és Timoreva fizikakurzusának következő bekezdése (22. §) már forgási rendszerben ható tehetetlenségi centrifugális erőről beszél , amelyet a szerzők szerint „néha inerciális centrifugális erőnek is neveznek. Nem szabad összetéveszteni a 21. §-ban tárgyalt tényleges centrifugális erővel. [nyolc]

A „newtoni” kölcsönhatási erők centripetális és centrifugális elnevezései ellen, a forgómozgással inerciális vonatkoztatási rendszerben Ishlinsky ellenfelei számos kifogást emelnek ki. Khaikin szerint ezek a nevek szigorúan véve szükségtelenek. Elég annyit tudni, hogy a forgó testre a kötél oldaláról ható erő hat, és a test oldaláról a kötélre ható erő ellentétes. A centripetális és centrifugális erők elnevezése nem hordoz szemantikai terhelést, kivéve a hatás irányának jelzését, de hamis benyomást kelt néhány új, kizárólag a forgó mozgáshoz kapcsolódó sajátos erő létezéséről, ami káros tévedés: A centrifugális és centripetális erők egy tehetetlenségi rendszerben közönséges kölcsönhatási erők. [9]

Egyébként sok tankönyvben és oktatási segédletben centripetálisnak nevezik azt az erőt, amely tehetetlenségi keretben centripetális gyorsulást hoz létre, de a kapcsolatra ható ellentétes erőt reakcióerőnek, vagy általában egyáltalán nem nevezik úgy. szükségtelen. [10] , [11] [12]

Az Islinszkij és Szedov támogatói közötti konfrontáció fő pontja azonban az Euler-féle centrifugális tehetetlenségi erők valóságának vagy fiktív voltának kérdése. Ha nincs különösebb nézeteltérés a d'Alembert-féle tehetetlenségi erők fiktív voltát illetően, akkor az Euler-féle tehetetlenségi erők valóságának kérdése áll a vita középpontjában. Az Euler-tehetetlenségi erők, különösen a centrifugális tehetetlenségi erő alkalmazása lehetővé teszi Newton második törvényének alkalmazását nem inerciális vonatkoztatási rendszerekben. A mesterségesen bevezetett d'Alembert-erőktől eltérően azonban az Euler-centrifugális tehetetlenségi erők az inerciális vonatkoztatási rendszerről a nem inerciálisra való átmenet során keletkeznek, és a fordított átmenet során eltűnnek. Ezeknek az erőknek olyan jelei vannak, amelyek közelebb hozzák őket a valódi erőkhöz, hiszen érezhetők és mérhetők, és bizonyos esetekben nem is különböztethetők meg a valódi erőktől. Az egyetlen komoly oka annak, hogy a tehetetlenségi centrifugális erőket ne tekintsük valódi erőknek, az a tény, hogy eredetük forrása ismeretlen, mivel nincs kölcsönhatásban lévő test. Ezért nem engedelmeskednek Newton harmadik törvényének - a cselekvés és a reakció erők egyenlőségének.

D.V. Sivukhin szerint: a testek mozgása tehetetlenségi erők hatására hasonló a külső erőterekben történő mozgáshoz . A tehetetlenségi erők mindig külsőek az anyagi testek bármely mozgó rendszeréhez képest. Ami a tehetetlenségi erők valóságát vagy fiktív voltát illeti, erre a kérdésre a válasz a valódi és a fiktív szavak jelentésétől függ . Ha ragaszkodunk a newtoni mechanikához, amely szerint minden erőnek a testek kölcsönhatásának kell lennie, akkor a tehetetlenségi erőket fiktív erőknek kell tekinteni, amelyek eltűnnek a tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerekben. Az ilyen nézet azonban nem szükséges. Minden kölcsönhatást erőterek hajtanak végre, és véges sebességgel továbbítják. A tehetetlenségi erőket pedig úgy tekinthetjük, mint azokat a cselekvéseket, amelyeknek a testeket néhány valós erőtér kitéve. [13] Hasonló véleményt fogalmazott meg G. V. Egorov is: „A tehetetlenségi erők valóságáról szóló számos vita lényegében terminológiai jellegű, mivel minden attól függ, hogyan határozzák meg az erő fogalmát . Ha az erőt, mint általában szokás, fizikai mennyiségként definiáljuk, amely más testek vagy mezők mennyiségi hatásának mértéke egy adott testre, akkor a tehetetlenségi erő egy képzeletbeli erő, mivel nem tudjuk megjelölni a forrását - test, amelyből cselekszik. Ha azonban az erőt a test gyorsulásának okaként értelmezzük, akkor a tehetetlenségi erő nem rosszabb, mint más erők. Newton harmadik törvényének alkalmatlansága ebben az esetben alapvető fontosságú, hiszen bármely fizikai rendszer esetében a tehetetlenségi erők mindig külső erők lesznek, Newton harmadik törvénye pedig csak a rendszerbe belépő testek között ható belső erők számára lényeges. A nem inerciális vonatkoztatási rendszerben elhelyezkedő testek bármelyikénél a tehetetlenségi erők külsőek; ezért itt nincsenek zárt rendszerek. [3] .

A centrifugális erő fogalmával kapcsolatos hibák és tévhitek

Az egységes, általánosan elfogadott terminológia hiánya a fizikával és mechanikával foglalkozó tankönyvekben és tudományos szakirodalomban a tehetetlenségi centrifugális erőkkel kapcsolatban fogalmi zavarokhoz, hibákhoz, paradoxonokhoz, esetenként pedig a vizsgált kérdés lényegének teljes félreértéséhez vezet. Egy ilyen példát DV Sivukhin Általános fizikakurzusa ír le. A szerző ezt írja:

„A centrifugális erők csakúgy, mint bármely tehetetlenségi erő csak gyorsan mozgó (forgó) vonatkoztatási rendszerekben léteznek, és eltűnnek az inerciarendszerekbe való átmenet során. Ezt elfelejtve olyan paradoxonokhoz juthatunk, amelyek gyakran megzavarják az iskolásokat. Íme az egyik leggyakoribb ilyen típusú paradoxon. Hagyja, hogy a test körben mozogjon. Két erő hat rá: centripetális , amely a kör közepe felé irányul, és centrifugális , amely az ellenkező irányba irányul. Ezek az erők egyenlő nagyságúak és kiegyenlítik egymást. A tehetetlenség törvénye szerint a testnek egyenes vonalban és egyenletesen kell mozognia. Az ellentmondás azért keletkezett, mert a mozgást egy rögzített (inerciális) vonatkoztatási rendszernek kezdték tulajdonítani. És ebben a rendszerben nem léteznek centrifugális erők. Csak egy centripetális erő van , amely gyorsulást kölcsönöz a testnek. ${\vec {F}}_{1}$ ${\vec {F}}_{2}$ ${\vec {F}}_{1}+{\vec {F}}_{2}=0.$ ${\vec {F}}_{1}$

A zavar abból adódik, hogy a műszaki mechanikában a centrifugális erő kifejezést néha egészen más értelemben használják. A centrifugális erő az a reakcióerő, amellyel a körben forgó A test a B testre hat , és arra kényszeríti, hogy ezt a forgást befejezze. Azt az egyenlő és ellentétes irányú erőt, amellyel B test egy forgó A testre hat, centripetálisnak nevezzük. A középponti és centrifugális erők, így értve, mindig különböző testekre vonatkoznak...".

A centrifugális erőt ebben az értelemben megérteni azonban, amelyet Frisch és Timoreva tankönyvében „igazi” centrifugális erőnek neveznek, és figyelembe véve, hogy ez eltávolítja a forgó testet a középpontból, teljesen abszurd, mivel ezt az erőt nem alkalmazzák a test. [tizennégy]

Sivukhinnal csak annyit lehet „felróni”, hogy az általa jelzett paradoxon csak a szerencsétlen iskolásokra vonatkozik. A centrifugális és centripetális erők ugyanazt a „megértését” gyakran megtalálják a diákok, végzős hallgatók, mérnökök és még a fizikatanárok körében is.

Íme egy példa L. Elliot és W. Wilcox „Fizika” című, az USA-ban széles körben terjesztett könyvéből, amely orosz fordításban jelent meg, szerk. A. I. Kitajgorodszkij 1975-ben. A könyv 17. fejezete a kötélhez kötött labda egyenletes körkörös mozgásának legegyszerűbb esetét tárgyalja. A labdára négy erő hat: - a körre érintőlegesen ható , azzal egyenlő, de ellentétes irányú hajtóerő, a tehetetlenségi erő és a kör középpontja felé irányuló és azzal egyenlő nagyságú erő, a ellentétes irányú erő (a középpontból). Továbbá a szövegben: „Azt az erőt , amely a testet a középpontba húzza, és a testet egyenes útról lefordítja, centripetális erőnek nevezzük. Csakhogy a centripetális erő nem az egyetlen körkörös mozgásban ható erő, mert Newton harmadik törvénye szerint az erők mindig párban hatnak. Ha van centripetális erő, akkor kell lennie egy másik erőnek , amely nagysága megegyezik vele, de ellentétes irányú. Ezt az erőt centrifugális erőnek nevezik …” [15] A leírtak alapján úgy tűnik, hogy a TSB szerint a tehetetlenségi rendszerről és a centrifugális erőről van szó első jelentésében. De a következő bekezdésben ezt olvashatjuk: „A centrifugális erő hatását a buszon vagy autóban utazó utasok érzik, amikor az autó éles kanyart hajt végre.” Ezért nem inerciális vonatkoztatási rendszerről beszélünk, és már a tehetetlenségi centrifugális erőről a második jelentésében, és ez pontosan ugyanaz a zűrzavar és zavarodottság esete, amelyet Sivukhin leírt, de nem egy iskolás fiú fejében, hanem az ismeretterjesztő irodalomban. Az elmondottakból azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az egységes terminológiai rendszer kidolgozásáig alaposan meg kell fontolni a centrifugális erő kifejezést , és minden esetben meg kell találni, hogy melyik fogalomra vonatkozik. ${\vec {F}}_{1}$ ${\vec {F}}_{2},$ ${\vec {F}}_{4}$ ${\vec {F}}_{3}$ ${\vec {F}}_{4}$ ${\vec {F}}_{3}$

Jegyzetek

↑ Centrifugális erő (TSB), 1978 .
↑ Ishlinsky, A. Yu., 1987 , p. tizennyolc.
↑ 1 2 3 Egorov, G. V., 2013 .
↑ Gulia, N.V., 1982 , p. 27.
↑ Gulia, N.V., 1982 , p. 48-50.
↑ Frisch, Timoreva, 1962 , p. 65.
↑ Pyoryshkin, A.V., 1957 , p. 22.
↑ Frisch, Timoreva, 1962 , p. 70.
↑ Khaikin, S. E., 1967 , p. 110-111.
↑ Milkovskaya, L. B., 1972 , p. 138.
↑ Landsberg, G.S., 1985 , p. 231.
↑ Seleznev, Yu. A., 1969 , p. 76-77.
↑ Sivukhin, D.V., 2005 , p. 359.
↑ Sivukhin, D.V., 2005 , p. 365─ 366.
↑ Elliot, Wilcox, 1975 , p. 192-193.

Irodalom

Centrifugális erő // Nagy Szovjet Enciklopédia . - Szovjet Enciklopédia , 1978. - T. 28 . - S. 525 .
Gulia N. V. Tehetetlenség. — M .: Nauka , 1982. — 152 p.
Egorov GV Tehetetlenségi erők. - A Brjanszki Állami Egyetem közleménye, 2013. - 1. sz .
Ishlinsky A. Yu. Klasszikus mechanika és tehetetlenségi erők. — M .: Nauka , 1987. — 320 p.
Landsberg G.S. Alapfokú fizikatankönyv. - M . : Tudomány , 1985. - T. 1. - 606 p.
Milkovszkaja L. B. Ismételjük meg a fizikát. - M . : Felsőiskola , 1972. - 608 p.
Peryshkin A.V. Fizika tanfolyam (második rész). - 9. kiadás - M .: Uchpedgiz , 1957. - 216 p.
Saveljev I. V. Fizika tantárgy. - M . : Tudomány , 1989. - T. 1. - 496 p. — ISBN 5-02-014052-x :5-02-014430-4.
Seleznev Yu. A. Az elemi fizika alapjai. - 3. kiadás — M .: Nauka , 1969. — 496 p.
Sivukhin, D.V. A fizika általános kurzusa. - 4. kiadás — M .: Fizmatlit ; Moszkvai Fizikai és Technológiai Intézet , 2005. - 1. kötet - 560 p. - ISBN 5-9221-0225-7 ; 5-89155-078-4.
Frish S. E. , Timoreva A. V. Általános fizika tanfolyam. - 10. kiadás - M . : Fizmatlit , 1962. - T. 1. - 468 p.
Khaikin, S.E. A tehetetlenségi és súlytalansági erők. — M .: Nauka , 1967. — 312 p.
Elliot L., Wilcox W. Fizika. - M. , 1975. - 736 p.