Görbe vonalú koordinátarendszer

A görbe vonalú koordinátarendszer vagy a görbe vonalú koordináták egy koordinátarendszer az euklideszi ( affin ) térben vagy a benne lévő régióban . A görbe vonalú koordináták nem állnak szemben az egyenes vonalú koordinátákkal , utóbbi az előbbiek speciális esete. Általában síkon ( n =2) és térben ( n =3) alkalmazzák; a koordináták száma megegyezik az n térdimenzióval . A görbe vonalú koordinátarendszer legismertebb példája a poláris koordináták egy síkban.

Görbevonalas koordináták lokális tulajdonságai

Ha ebben a részben görbe vonalú koordinátákat veszünk figyelembe, akkor feltételezzük, hogy egy háromdimenziós teret ( n =3) veszünk figyelembe, amely x , y , z derékszögű koordinátákkal van felszerelve . A többi méret esete csak a koordináták számában tér el.

Euklideszi tér esetén a metrikus tenzor , amelyet az ívdifferenciál négyzetének is neveznek , ezekben a koordinátákban az azonossági mátrixnak megfelelő alakot kap:

dS^{2}={\mathbf {dx}}^{2}+{\mathbf {dy}}^{2}+{\mathbf {dz}}^{2}.

Általános eset

Legyen , , néhány görbe vonalú koordináta, amelyeket x , y , z sima függvényeinek tekintünk . Ahhoz, hogy a három , , függvény koordinátaként szolgálhasson a tér valamely régiójában, inverz leképezés szükséges: $q_{1}$ $q_{2}$ $q_{3}$ $q_{1}$ $q_{2}$ $q_{3}$

\left\{{\begin{mátrix}x=\varphi _{1}\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right);\\y=\varphi _ {2}\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right);\\z=\varphi _{3}\left(q_{1},\;q_{ 2},\;q_{3}\jobbra),\end{mátrix}}\jobbra.

ahol a koordinátahalmazok valamely tartományában definiált függvények vannak . $\varphi _{1},\;\varphi _{2},\;\varphi _{3}$ $\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right)$

Lokális bázis és tenzorelemzés

A tenzorszámításban megadhatjuk a lokális bázisvektorokat: , ahol a derékszögű koordinátarendszer ortjai vannak, a Jacobi-mátrix , a koordináták a derékszögű rendszerben a bemeneti görbe koordináták. Könnyen belátható, hogy a görbe vonalú koordináták általában pontról pontra változnak. Jelöljük meg a görbe vonalú és derékszögű koordináták kapcsolatának képleteit: ahol , ahol E az azonosságmátrix. Egy lokális bázis két vektorának szorzata egy metrikus mátrixot alkot : ${\mathbf {R_{j))}={\frac {d{\mathbf r}}{dy^{j}}}={\frac {dx^{i}}{dy^{j}}}{ \mathbf e}_{i}=Q_{j}^{i}{\mathbf e}_{i}$ ${\mathbf e}_{i}$ $Q_{j}^{i}$ $x^{i}$ $y^{i}$

${\mathbf R}_{i}=Q_{i}^{j}{\mathbf e}_{j}$
${\mathbf e}_{i}=P_{i}^{j}{\mathbf R}_{j}$ $P_{i}^{j}Q_{j}^{i}=E$

${\mathbf R}_{i}{\mathbf R}_{j}=Q_{i}^{n}Q_{j}^{m}d_{{nm))=g_{{ij))$
${\mathbf R}^{i}{\mathbf R}^{j}=P_{n}^{i}P_{m}^{j}d^{{nm))=g^{{ij))$
$g_{{ij}}g^{{jk}}=g^{{jk}}g_{{ij}}=d_{i}^{k}$ $d_{{ij}},d^{{ij}},d_{j}^{i}$
${\mathbf T}$
${\mathbf T}=T^{{i_{1}...i_{n))}{\mathbf e}_{i}\otimes ...\otimes {\mathbf e}_{n}=T ^{{i_{1}...i_{n}}}P_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}...P_{{i_{n}}}^{{j_ {n}}}{\mathbf R}_{{j_{1}}}\otimes ...\otimes {\mathbf R}_{{j_{n}}}$

${\mathbf v}=v^{i}{\mathbf e}_{i}=v^{i}P_{i}^{j}{\mathbf R}_{j}$

Ortogonális görbe koordináták

Az euklideszi térben az ortogonális görbe vonalú koordináták használata különösen fontos , mivel a hosszra és szögekre vonatkozó képletek egyszerűbbnek tűnnek merőleges koordinátákban, mint az általános esetben. Ez annak köszönhető, hogy az ortonormális bázisú rendszerek metrikus mátrixa átlós lesz, ami nagyban leegyszerűsíti a számításokat.
Ilyen rendszerekre példa a gömb alakú rendszer ${\mathbb {R}}^{3}$

Lame odds

Az ívkülönbséget görbe vonalú koordinátákba írjuk a következő formában ( az Einstein összegzési szabály segítségével ):

dS^{2}=\left({\frac {\partial \varphi _{1)){\partial q_{i))}{\mathbf {dq))_{i}\right)^{2}+ \left({\frac {\partial \varphi _{2)){\partial q_{i))}{\mathbf {dq))_{i}\jobb)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial q_{i}}}{\mathbf {dq}}_{i}\right)^{2},~i=1,2,3

Figyelembe véve a koordinátarendszerek ( at ) ortogonalitását, ez a kifejezés átírható így ${\mathbf {dq}}_{i}\cdot {\mathbf {dq}}_{j}=0$ $i \ne j$

dS^{2}=H_{1}^{2}dq_{1}^{2}+H_{2}^{2}dq_{2}^{2}+H_{3}^{2}dq_{ 3}^{2},

ahol

H_{i}={\sqrt {\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\ partial \varphi _{2}}{\partial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial q_{i}}} \jobbra)^{2}}};\ i=1,\;2,\;3

A tér egy pontjától függő pozitív értékeket Lame -együtthatóknak vagy léptéktényezőknek nevezzük . A Lame-együtthatók azt mutatják meg, hogy egy adott pont koordinátái hány egységnyi hosszúságot tartalmaznak, és vektorok transzformációjára szolgálnak, amikor egyik koordinátarendszerből a másikba lépünk. $Szia\$

A Riemann-metrika koordinátákkal írt tenzora egy átlós mátrix , amelynek átlóján a Lamé-együttható négyzete található: ${q_{i}}$

g_{{ii}}={H_{i}}^{2}

g_{{ij}}=0

mert i ≠ j

, vagyis

g_{{ij}}={\begin{pmatrix}{H_{1}}^{2}&0&0\\0&{H_{2}}^{2}&0\\0&0&{H_{3}}^{2 }\end{pmatrix}}

Példák

Poláris koordináták ( n =2)

A síkban lévő poláris koordináták magukban foglalják a pólustól mért r távolságot (kezdőpont) és a φ irányt (szöget).

Poláris koordináták összekapcsolása derékszögűvel:

\left\{{\begin{matrix}x=r\cos {\varphi };\\y=r\sin {\varphi }.\end{mátrix}}\jobbra.

Béna együtthatók:

{\begin{mátrix}H_{r}=1;\\H_{\varphi }=r.\end{mátrix))

Ívdifferenciál:

dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\varphi ^{2}.

Az origónál a φ függvény nincs definiálva. Ha a φ koordinátát nem számnak, hanem szögnek tekintjük (pont egy egységkörön ), akkor a poláris koordináták a teljes síkból az origópont eltávolításával kapott területen koordinátarendszert alkotnak. Ha ennek ellenére φ-t számnak tekintjük, akkor a kijelölt területen többértékű lesz , és szigorúan matematikai értelemben vett koordinátarendszer felépítése csak egy egyszerűen összefüggő területen lehetséges, amely nem tartalmazza a koordináták origóját. például egy sugár nélküli síkon .

Hengeres koordináták ( n =3)

A hengeres koordináták a polárkoordináták triviális általánosítása a háromdimenziós tér esetére egy harmadik z koordináta hozzáadásával . A hengeres koordináták kapcsolata a derékszögűvel:

{\begin{cases}&x=r\cos {\varphi };\\&y=r\sin {\varphi };\\&z=z.\end{cases))

Béna együtthatók:

{\begin{mátrix}H_{r}=1;\\H_{\varphi }=r;\\H_{z}=1.\end{mátrix))

Ívdifferenciál:

dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\varphi ^{2}+dz^{2}.

Szférikus koordináták ( n =3)

A gömbkoordináták az egységgömbön lévő szélességi és hosszúsági koordinátákhoz kapcsolódnak . A gömbkoordináták összekapcsolása derékszögűvel:

\left\{{\begin{matrix}x=r\sin {\theta }\cos {\varphi };\\y=r\sin {\theta }\sin {\varphi };\\z=r\ cos {\theta }.\end{mátrix}}\jobbra.

Béna együtthatók:

{\begin{mátrix}H_{r}=1;\\H_{\theta }=r;\\H_{\varphi }=r\sin {\theta }.\end{mátrix))

Ívdifferenciál:

dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}{\theta }d\varphi ^{2 }.

A gömbkoordináták, akárcsak a hengeres koordináták, nem működnek a z -tengelyen { x =0, y =0}, mivel ott nincs definiálva a φ koordináta.

Különféle egzotikus koordináták a síkban ( n =2) és azok általánosításai

Ortogonális:

Elliptikus koordináták - 3 méretre bővíthető
Parabolikus koordináták - 3 dimenzióra bővíthető
Bipoláris koordináták - 3 méretre bővíthető
…

Egyéb:

…

Görbevonalas koordináták a differenciálgeometria szempontjából

Az euklideszi (affin) tér különböző tartományaiban meghatározott görbe vonalú koordináták a sima sokaság fogalmának terére való alkalmazásnak tekinthetők . Nevezetesen, hogyan készítsünk térkép atlaszt .

Irodalom

Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve (tudósoknak és mérnököknek). - M. : Nauka, 1974. - 832 p.

Koordináta rendszerek
A koordináták neve	Abszcissza Ordináta Rátét
A koordinátarendszerek típusai	Egyenes koordinátarendszer Görbe vonalú koordinátarendszer
2D koordináták	Kétszög koordináták Bicentrikus koordináták Hiperbolikus koordináták Poláris koordináták Bipoláris koordináták Parabolikus koordináták Elliptikus koordináták Tetraciklikus koordináták Trilineáris koordináták
3D koordináták	Hengeres koordináták Gömb koordináták Biszférikus koordináták Toroidális koordináták Hengeres parabola koordináták Bicilinderes koordináták Ellipszoid koordináták Kúpos koordináták Pentaszférikus koordináták Dipoláris koordinátarendszer
$n$ - dimenziós koordináták	Derékszögű koordináták Affin koordináták Projektív koordináták Plücker koordináták baricentrikus koordináták
Fizikai koordináták	Rindler koordináták Született koordináták Égi koordináta-rendszer Földrajzi koordináták Fő ortodromikus koordinátarendszer
Kapcsolódó definíciók	Koordináta módszer Eredet Koordináta tengely Vektor Orth referenciarendszer Viszonyítási alap Béna együtthatók Metrikus tenzor