Gravitációs N-test probléma

Az N - test gravitációs problémája az égi mechanika és a Newton-féle gravitációs dinamika klasszikus problémája .

A következőképpen van megfogalmazva.

Az üregben N anyagi pont található , amelyek tömege ismert { m i }. Legyen a pontok páronkénti kölcsönhatása alávetve Newton gravitációs törvényének , és legyenek a gravitációs erők additívak . Legyen az egyes pontok kezdeti helyzete és sebessége r i | t =0 = r i0 , v i | t =0 = v i0 . Meg kell találni a pontok helyzetét minden további időpillanatban.

Az N - test gravitációs probléma matematikai megfogalmazása

Egy N gravitációs testből (anyagpontból ) álló rendszer fejlődését a következő egyenletrendszer írja le:

ahol az i - edik test  tömege, sugárvektora és sebessége ( i 1 és N között változik ), G  a gravitációs állandó . A testek tömegét, helyzetét és sebességét az idő kezdeti pillanatában ismertnek tekintjük. Meg kell találni az összes részecske helyzetét és sebességét egy tetszőleges időpillanatban.

Analitikai megoldás

Egy magányos pont esete nem képezi a gravitációs dinamika vizsgálatának tárgyát. Egy ilyen pont viselkedését Newton első törvénye írja le . A gravitációs kölcsönhatás legalább egy pár aktus.

A kéttestes probléma megoldása a baricentrikus rendszerpálya (nem tévesztendő össze a Kepler-mező központi pályájával). A feladat eredeti megfogalmazásával teljes összhangban a kéttest feladat megoldása teljesen érzéketlen a pontok számozására és tömegeinek arányára. A Kepler-mező centrális pályája a határértékre való áthaladással keletkezik . Ebben az esetben a pontegyenlőség elvész: abszolút mozdulatlan gravitációs középpontnak tételezzük fel, és az első pont tömegét „veszíti”, a paraméter kiesik a dinamikus egyenletek közül. Matematikai értelemben a kapott rendszer degeneratív, mivel az egyenletek és paraméterek száma felére csökken. Ezért a fordított aszimptotika lehetetlenné válik: Newton gravitációs törvénye nem következik Kepler törvényeiből. (Megjegyezzük, hogy Kepler törvényei egyáltalán nem említik a tömegeket.)

A három test problémájára 1912-ben Karl Zundman általános analitikai megoldást kapott sorozatok formájában. Bár ezek a sorozatok bármely pillanatban és bármilyen kezdeti feltétel mellett konvergálnak, rendkívül lassan konvergálnak [1] . A rendkívül lassú konvergencia miatt a Sundman sorozat gyakorlati alkalmazása lehetetlen [2] .

A háromtest-probléma esetében Heinrich Bruns és Henri Poincaré kimutatta, hogy általános megoldása nem fejezhető ki algebrai vagy egyértékű koordináták és sebességek transzcendentális függvényeivel [2] . Ezenkívül a háromtest-probléma mindössze 5 pontos megoldása ismert speciális kezdeti sebességekre és tárgykoordinátákra vonatkozóan.

Jelenleg a testek problémája általában csak numerikusan oldható meg, a Sundman sorozat esetében pedig még modern[ mikor? ] a számítástechnika fejlettségi szintjét szinte lehetetlen kihasználni.

Numerikus módszerek

A számítástechnika megjelenésével valódi lehetőség jelent meg a gravitációs testek rendszereinek tulajdonságainak tanulmányozására egy mozgásegyenlet-rendszer numerikus megoldásával . Ehhez például a Runge-Kutta módszert (negyedik vagy magasabb rendű) használják.

A numerikus módszerek ugyanazokkal a problémákkal szembesülnek, mint az analitikai módszerek - ha a testek közel vannak egymáshoz, akkor csökkenteni kell az integrációs lépést , és ebben az esetben a numerikus hibák gyorsan növekednek. Ráadásul a „közvetlen” integrációval az egyes lépésekre vonatkozó erőszámítások száma megközelítőleg a testek számával növekszik , ami szinte lehetetlenné teszi a több tíz- és százezer testből álló rendszerek modellezését.

A probléma megoldására a következő algoritmusokat (vagy azok kombinációit) használják:

A mozgás integráljai

A képletek látszólagos egyszerűsége ellenére nincs megoldás véges analitikai kifejezések formájában erre a problémára általános formában . Amint azt Heinrich Bruns kimutatta , a soktestes feladatnak mindössze 10 független algebrai mozgásintegrálja van , amelyeket a 18. században találtak meg, és amelyek nem elegendőek három vagy több test problémájának integrálásához [4] [5] . Painlevé és Poincare saját általánosításokat adott erre a tételre . Painlevének sikerült elhagynia azt a követelményt, hogy a koordinátáktól való függés algebrai legyen, míg Poincare azt sejtette, hogy nincs új egyértékű integrál (az energiaintegrál kivételével minden klasszikus integrál egyértékű függvény). Ez utóbbi kijelentés láthatóan még nem nyert szigorú bizonyítást ilyen általános megfogalmazásban.

1971 -ben V. M. Alekseev kommentálta a megfelelő részt Poincaré égi mechanikájában [6] :

Az egyértékű analitikus integrál hiánya a háromtest problémában még nem bizonyított teljes szigorral... Egy meglehetősen általános Hamilton-rendszer nem integrálhatóságának első pontos bizonyítéka Siegel [7] nevéhez fűződik . Érdekes megjegyezni, hogy nem analitikus integrálok is lehetségesek a vizsgált problémákban; létezésük Kolmogorov [8] [9] tételéből következik . Ellenkezőleg, abban az esetben, ha a változók száma több mint kettő, nagy valószínűséggel még egy folytonos integrál sem lehetséges [10] .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ K. L. Siegel. Előadások az égi mechanikáról. 2021. február 2-án kelt archív másolat a Wayback Machine -nél  – M .: IL, 1959.
  2. ↑ 1 2 A.P. Markeev. A háromtest-probléma és pontos megoldásai  // Soros Oktatási Folyóirat . - 1999. - 9. sz . ( Internet Archívum cikk másolat )
  3. ↑ Treecode - Szoftverterjesztés . Letöltve: 2008. szeptember 14. Az eredetiből archiválva : 2021. február 2..
  4. ↑ Bruns H. Ueber die Integrale der Vielkoerper-Problems // Acta math. bd. 11 (1887), p. 25-96.
  5. ↑ Whitaker. Analitikai dinamika.
  6. ↑ V. V. Kozlov. Szimmetriák, topológia és rezonanciák a Hamiltoni mechanikában. - Izevszk, 1995.
  7. ↑ Matematika. - 1961. - 5. szám, szám. 2. - S. 129-155.
  8. ↑ Kolmogorov A. N. // DAN, 1954, 48, 4. sz., 527-530
  9. ↑ Arnold V. I. // UMN, 1963, 18, 5-6.
  10. ↑ Arnold V. I. // DAN, 1964, 154, 1. sz., 9-12.

Irodalom

Linkek

  Ugrás a Wikidata elemre  Szótárak és enciklopédiák
Bibliográfiai katalógusokban
 Keringők