Sok test interakciója

A sok test kölcsönhatásával kapcsolatos problémaegyüttes meglehetősen kiterjedt, és a mechanika egyik alapvető, messze nem teljesen megoldott része . A newtoni koncepció keretein belül a probléma a következőkre ágazik:

két vagy több anyagi test ütközésének problémáinak komplexuma, amikor a testek egymásra gyakorolt hatását a közvetlen érintkezés ideje korlátozza;
az anyagi testek koherens rezgései, amelyek a szomszédos testek által egymásra gyakorolt korlátozott hatást fejtik ki;
a testek egymásra gyakorolt gravitációs, elektromos mezőinek hatására bekövetkező kölcsönös mozgásával kapcsolatos problémák halmaza.

Vagyis a feladatok komplexuma aszerint oszlik meg, hogy a testek egymás közötti kölcsönhatásának milyen feltétele van, amikor a kölcsönhatások bizonyos árnyalatai elhanyagolhatók. Az első esetben a testek közötti közvetlen érintkezésen kívüli interakciót figyelmen kívül hagyjuk. A második esetben a rendszer nem szomszédos elemeivel való interakciókat figyelmen kívül hagyjuk. A harmadik esetben általában nem veszik figyelembe a testek közötti közvetlen érintkezés problémáit. Ezek a korlátok a probléma általános megoldásának összetettségéből fakadnak, amelynek elméletileg mindhárom problémacsoportot magában kell foglalnia.

Két vagy több anyagi test szórása

Ezt a hatáselmélet keretében megoldott feladatsort pedig felosztjuk

abszolút rugalmas ütközések ;
abszolút rugalmatlan ütközések;
részlegesen rugalmas ütközések.

Ezenkívül ez a feladatsor központi és nem központi ütközési feladatokra van felosztva.

Két test esetén közvetlen vagy központi ütközésnek nevezzük, amelyben a testek felületének közös normálja az érintkezési ponton átmegy azok tömegközéppontjain, és amikor a tömegközéppontok sebessége az ütközés kezdetén a közös normál mentén irányulnak. Sok test esetében központinak tekinthető az ütközés, amelyben a rendszer mindkét testének a testek felületére az érintkezési pontban lévő normálisa átmegy tömegközéppontjukon, és amikor maguk a tömegek geometriai méretei. elhanyagolható.

Abszolút rugalmas ütközések

Két test központi ütközése esetén a probléma megoldása a következő formájú : [1] , [2]

u_{1}={\frac {{v_{1}\left({m_{1}-m_{2}}\right)+2m_{2}v_{2}}}{{m_{1}+m_ {2}}}}\,\,;

u_{2}={\frac {{v_{2}\left({m_{2}-m_{1}}\right)+2m_{1}v_{1}}}{{m_{1}+m_ {2}}}}\,\,\,.

hol vannak a testek sebessége az ütközés előtt; két test tömege, a testek ütközés utáni sebessége. $v_{1},\,v_{2}$ $m_{1},\,m_{2}$ $u_{1},\,u_{2}$

Az „n” testek esetében a megoldás így néz ki [3]

{\vec u}_{i}={\frac {{\left({m_{i}-M_{i}}\right){\vec v}_{i}+2{\vec v}_{ {mi}}M_{i}}}{{\sum \limits _{j}{m_{j}}}}}

ahol a rendszer vizsgált testének száma; $én$

${\vec v}_{{mi}}={\frac {1}{{M_{i}}}}\sum \limits _{{j\neq i}}^{n}{m_{j}{ \vec v}_{j}=}{\frac {1}{{M_{i))))\left({m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}+... +m_{{i-1}}v_{{i-1}}+m_{{i+1}}v_{{i+1}}+...+m_{{n-1}}v_{{ n-1}}+m_{n}v_{n}}\jobbra)$ ;

$M_{i}=\sum \limits _{{j\neq i}}^{n}{m_{j}=}\,\,m_{1}+m_{2}+...+m_{{ i-1}}+m_{{i+1}}+...+m_{{n-1}}+m_{n}$ .

http://selftrans.narod.ru/v5_1/many_body/many_body65/agfig9.gif

A középponton kívüli ütközésnél figyelembe kell venni a középponttól eltérő ütközés következtében fellépő nyomatékot, amelyre az ütköző testek energiájának és lendületének egy része eloszlik.

Abszolút rugalmatlan ütközések

Két test központi abszolút rugalmatlan ütközésére a megoldás a következő formájú : [4] , [5]

u={\frac {{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}{{m_{1}+m_{2}}}}

Az ütközéskor bekövetkező energiaveszteséget a Carnot-tétel határozza meg : A testrendszer által abszolút rugalmatlan ütközés során elvesztett kinetikus energia megegyezik azzal a kinetikus energiával, amelyet a rendszer vesztett sebességgel mozgatna [6] .

Azt az energiát, amely egy abszolút rugalmatlan ütközés következtében az ütköző testek felmelegedésére alakul át, a [4] kifejezés határozza meg.

\Delta W=-{\frac {{m_{1}m_{2}}}{{2\left({m_{1}+m_{2}}\right)}}}\left({v_{1 }-v_{2}}\jobbra)^{2}<0

A középponton kívüli ütközésnél, akárcsak a tökéletesen rugalmas ütésnél, figyelembe kell venni a nem központi ütközés következtében keletkező nyomatékot. Az ütközés után az elakadt testek együttes forgásához vezet.

Nem abszolút rugalmas ütés

Nem abszolút rugalmas (vagy egyszerűen rugalmatlan) ütés esetén az ütés-visszanyerési együttható fogalmát használják a megoldás megtalálására.

A visszanyerési tényező az ütközéselméletben egy olyan érték, amely az ütköző testek rugalmas tulajdonságaitól függ, és meghatározza, hogy ezeknek a testeknek a kezdeti relatív sebességének mekkora hányada áll helyre az ütközés végére . helyreállítási tényező. jellemzi az ütköző testek mechanikai energiaveszteségét a bennük lévő maradó alakváltozások megjelenése és felmelegedése következtében [7] . Általában a visszanyerési tényezőt a test visszapattanása határozza meg a masszív födémről. Ebben az esetben az együttható különösen egyenlő [8]

fa a fán 1/2;
acél acélon 5/9;
elefántcsont az elefántcsonton 8/9;
üveg az üvegen 15/16.

Két test rugalmatlan központi ütközése esetén, mivel az ütközés a sebességek különbségétől függ, a visszanyerési együtthatót a [5] összefüggés határozza meg.

k=-{\frac {{u_{1}-u_{2}}}{{v_{1}-v_{2}}}}

A rugalmatlan ütközés során az energiaveszteséget a [9] kifejezés határozza meg :

\Delta W={\frac {{1-k}}{{2\left({1+k}\right)}}}\left[{M_{1}\left({v_{1}-u_{ 1}}\jobbra)^{2}+M_{2}\left({v_{2}-u_{2}}\jobbra)^{2}}\jobbra]

Középponttól eltérő ütközés esetén, a súrlódást figyelmen kívül hagyva, a visszanyerési együtthatót csak a testek érintkezési felületére merőleges sebesség-vetületekre határozzuk meg [10] .

Anyagi testek koherens rezgései

Az anyagi testek koherens rezgéseit másodrendű egyenletrendszer írja le. Például egy véges, homogén rugalmas egyenesre, amelynek középső elemére külső harmonikus erő hat , ez az egyenletrendszer a következő alakkal rendelkezik: $F(t)$

$m{\frac {{d^{2}\Delta _{1}}}{{dt^{2}}}}=s(\Delta _{2}-\Delta _{1})\,\, ;$

$m{\frac {{d^{2}\Delta _{2}}}{{dt^{2}}}}=s(\Delta _{3}+\Delta _{1}-2\Delta _ {2})\,\,;$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

$m{\frac {{d^{2}\Delta _{k}}}{{dt^{2}}}}=F(t)+s(\Delta _{{k+1}}+\Delta _{{k-1}}-2\Delta _{k})\,\,;$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

${m{\frac {{d^{2}\Delta _{n}}}{{dt^{2}}}}=s(\Delta _{{n-1}}-\Delta _{n} )\,}$ .

Egy adott egyenletrendszerben az első, az utolsó és a harmadik egyenlet eltér a többitől, és meghatározza az adott dinamikus rendszerben előforduló rezgések határ- és kezdeti feltételeit . Így egy csomópontos paraméterekkel rendelkező dinamikus rendszerhez nincs szükség további feltételekre, kivéve magát a differenciálegyenlet-rendszert. Az egzakt analitikai megoldások megtalálásakor a modellező egyenletrendszerben ezek a jellemzők a probléma megoldásainak eltéréséhez vezetnek. Különösen leírják az egyik ágban az oszcillációk előfordulásának feltételeit, valamint a progresszív és állóhullám egyidejű létezését egy dinamikus rendszerben. $k$

A diszkrét dinamikus rendszereket leíró egyenletrendszereknek általában három megoldása van: periodikus, kritikus és aperiodikus [11] . Kivételt képeznek a rezonáns alrendszerekkel rendelkező dinamikus rendszerek. Ezekben a rendszerekben létezik a "negatív tehetetlenségi fok" [12] .

Fontos megjegyezni, hogy amikor a differenciálegyenletek modellezésének szintjén elosztott paraméterekkel rendelkező dinamikus rendszerekre lépünk a határértékre, a kezdeti és a peremfeltételek eltűnnek, és a rendszer hullámegyenletté redukálódik . Ebben az esetben további kiindulási és peremfeltételek bevezetése válik sürgetővé. Ugyanakkor felvetődik ezeknek a feltételeknek a felírásának problémája, különösen a különböző paraméterű vonalszakaszok közötti átmenetek nem triviális esetekben, nem stacionárius határvonalakkal stb. Másrészt, ha a határig való áthaladást nem modellezésre használjuk egyenletek, de megoldásaik esetében a modellező egyenletrendszerbe ágyazott szingularitások a megoldásokban eltárolódnak és a határértékre való átlépéskor megjelennek a megoldásokban elosztott dinamikus rendszerre. Ez kiküszöböli a határproblémát, amikor komplex határokkal és kezdeti feltételekkel rendelkező dinamikus rendszerekre keresünk megoldást.

A többdimenziós dinamikus rendszereket elsősorban a numerikus módszerekkel és a diszkrét matematikai módszerekkel vizsgálják. Különösen a Krylov-Bogolyubov módszer -dimenziós rendszerekre való kiterjesztésére irányulnak ki [13] ; numerikus modellezés a diszkrét matematika módszereivel [14] ; a differenciálegyenletek kvalitatív elméletén alapuló módszerek és az absztrakt algebra gráf-analitikai módszerei [15] stb. $n$

Számos kutató foglalkozik a hatásproblémák és a sima rendszerek problémáinak megfeleltetésének problémáival [16] .

Az alapvető többdimenziós modellekre vonatkozó egzakt megoldások hiánya arra kényszerít bennünket, hogy bizonyos közelítéseket keressünk, és gyakran csak a dinamikus diszkrét rendszerek viselkedésének távoli külső becsléseire korlátozódjunk. Ma „tágabb értelemben az a probléma, hogy megtaláljuk azt a feltételrendszert, amely egy tipikus dinamikus rendszerre teljesülne, és egyben nagymértékben meghatározná a lehetséges tulajdonságait, többé-kevésbé láthatóvá téve a helyzetet. Egy ilyen általános kijelentés nem olyan egyértelmű. Kétségtelen azonban, hogy ez a probléma a fázistér kis dimenziója esetén megoldódott, általános esetben pedig nem” [17] .

Az N -test probléma

A testek problémája a következőkre oszlik: $N$

a testek szétszóródásának problémája (instabil mozgás) egymás kölcsönös mezőiben való kölcsönhatás miatt;
a testek kölcsönös álló mozgásának problémája egymás mezőiben.

Az álló mozgás problémáját viszont hagyományosan kéttest-problémára, háromtest-problémára és testproblémára osztják . Ezenkívül hagyományosan a testek nem-stacionárius mozgásának problémáit használják a mozgás tanulmányozására az elemi részecskefizikában, vagyis az elektromos mezőkben, az álló mozgás problémáit pedig az asztrofizikában, vagyis a gravitációs terekben. $N$

Kéttestű probléma

Jelenleg úgy gondolják, hogy a kéttest problémát pontosan megoldották, „mert ez a Kepler-problémára redukálható, vagyis olyan parciális differenciálegyenlet-rendszerre, amely leírja a gravitációs vonzás hatására mozgó részecske mozgását. egy második részecske rögzítve az origóban. A Kepler-probléma megoldása a kúpszeletek – körök, ellipszisek, parabolák és hiperbolák” [18] . Pontosabban: „a kéttest problémája egy pont mozgásának ekvivalens problémájára redukálódik – egy képzeletbeli pont tömeg- és sugárvektorral – egy központilag szimmetrikus, rögzített középpontú mezőben” [19] . A modellezési konstrukció az ábrán látható formában [1] $\mu$ $\mu$

Az egyenlet így jön le:

\mu {{\mathbf {{\ddot r}}}}={{\mathbf {F}}}_{{12}}\left({\left|({\mathbf {r}}}\right| }\jobb)

hol van a csökkentett tömeg; a pontok relatív elhelyezkedését jellemző vektor. $\mu =m_{1}m_{2}/\bal ({m_{1}+m_{2}}\jobb)$ ${{\mathbf {r}}}={\frac {{m_{2}}}{{m_{1}+m_{2}}}}{{\mathbf {r'}}}_{2}= -{\frac {{m_{1}}}{{m_{1}+m_{2}}}}{{\mathbf {r'}}}_{1}$

Ennek az egyenletnek a megoldása a következő formában van: ; ${{\mathbf {M'}}}_{0}{{\mathbf {r}}}=\mu \left[{({\mathbf {rv}}}}\right]{{\mathbf {r} }}=0$

$t=\pm \int {{\frac {{dr}}{({\sqrt {{\frac {2}{\mu }}\left({E'_{0}-U_{{eff}}} \jobbra)}}}}}}+konst$ ;

$\varphi =\pm \int {{\frac {({\frac {{M'_{0))}({\mu r^{2))))dr)){({\sqrt {{\frac {2}{\mu }}\left({E'_{0}-U_{{eff}}}\jobb)}}}}}}+konst$ ;

$U_{{eff}}=U\left(r\right)+{\frac {{\left({M'_{0}}\right)^{2}}}{{2\mu r^{2 }}}}$ ; ; , $U\left(r\right)=-{\frac {\alpha }{r))$ $E'_{0}={\frac {{\mu v^{2}}}{2}}-U\left(r\jobb)$

ahol egyenlő a gravitációs kölcsönhatásra és az elektrosztatikus kölcsönhatásra [20] . $\alpha$ $\gamma m_{1}m_{2}$ $-q_{1}q_{2}$

Az előjeltől függően a pálya hiperbolikus ( ), parabolikus ( ), elliptikus ( ) vagy kör ( ) lesz. $E'_{0}$ $E'_{0}>0$ $E'_{0}=0$ $0>E'_{0}>U_{{eff}}$ $E'_{0}=U_{{eff}}$

A három test problémája

Úgy gondolják, hogy a három test problémájának minden megoldása nem írható le. Ezért a három test problémájával foglalkozó tanulmányok szinte mindegyike a kis testek librációjának sajátos problémáinak megoldására vonatkozik, feltételezve, hogy a vizsgált test kicsi két másik test területén, és a periodikus megoldások stabilitásának vizsgálatával . 21] [22] . Ebben az esetben a probléma gyakran kéttestes problémává redukálódik. Newton volt az egyik első, aki megpróbálta megoldani az ilyen típusú sajátos problémákat a Hold tanulmányozása során a Föld és a Nap területén, az általa talált egyetemes gravitáció törvényének felhasználásával. Megmutatta, hogy a Hold átlagos mozgásának éves egyenlete a Hold pályájának a Nap ereje általi eltérő megnyúlásából származik. Azt is megállapította, hogy a Föld perihéliumában a Nap nagyobb ereje miatt a Hold apogeusai és csomópontjai gyorsabban mozognak, mint az apogéjében, ráadásul a kockák távolságának fordított arányában. Föld a Naphoz; ebből származnak e mozgások éves egyenletei, amelyek arányosak a napközéppont egyenletével. Ezzel egyidejűleg kiszámította a Hold pályájának eltéréseit a Föld apogeus- és perihéliumában a Naphoz képest stb. [23] .

A háromtestes probléma legegyszerűbb periodikus megoldásait Euler [1765] és Lagrange [1772] fedezte fel. A Kepleri-ellipszisekből építettek, ezek az egyetlen implicit megoldások [22] .

Poincaré megtalálta a periodikus megoldások invariánsait, felépített egy megoldást sorozat formájában, és figyelembe vette a stabilitási feltételeket [24] .

Ennek eredményeként ma hat fő megközelítés létezik a probléma megoldására:

Laplace-Newcomb módszer;
Hill planetáris módszere;
Tetszőleges állandók változtatásának módszere;
Hill holdmódszere;
Periodikus keringési módszer;
Cowell módszer.

A K. Zundman által 1912-ben talált megoldást lassan konvergáló sorozatok formájában mutatjuk be. A Riemann-tétel szerint ez a terület leképezhető egy egységsugarú körre , vagyis a háromtestű feladat megoldása a ½ paraméter függvényeiként ábrázolható, holomorf a körben . Az ilyen függvények pozitív hatványú sorozatokként ábrázolhatók, amelyek a körben konvergálnak . Így a háromtestes feladat megoldása formában is ábrázolható $\left|\tau \right|<1$ $\left|\tau \right|<1$ $\tau$

q_{j}={{\rm {B}}}_{j}\left(\tau \right),\,\,\,t={{\rm {B}}}_{0}\left (\tau \jobbra),\,\,\,\left|\tau \jobbra|<1

Sundman (1912) meglehetősen nehéz becslésekkel bebizonyította, hogy el lehet fogadni a csíkot $G$

\left|{\operátornév {Im}v}\right|<\delta

és megadott egy kifejezést a számára . Ahogy Beloritsky megmutatta, a "konvergáló" Sundman-sorozatban a számítási csillagászat szükségleteihez legalább kifejezéseket kell venni, és ezért azok nem alkalmasak a koordináták kiszámítására. $\delta$ $10^{{8\cpont 10^{6}}}$

Periodikus megoldásokat, mint kis perturbációkat egy kis test egyenletes mozgásában két nagy test mezőjében, a Jacobi-integrálon keresztül találjuk [25] .

A periodikus megoldások osztálya az anyagtestek kapcsolt rezgésének egzakt analitikai megoldásaival bővíthető. Ebben az esetben a probléma általános esetben három algebrai egyenletrendszerre redukálódik.

Általános N -test probléma

Ma már széles körben elterjedt az a vélemény, hogy a testek problémája nem oldható meg abban az értelemben, mint két test problémája. Valójában nagyon jó bizonyítékok vannak arra, hogy az általános N-test probléma megoldhatatlan. Newton kora óta azonban több ezer dolgozat született az N-test problémájáról. Ezek a cikkek konkrét megoldásokat, aszimptotikus becsléseket, ütközésekre, integrálok létezésére és nemlétére vonatkozó információkat, megoldások sorozatait, ütközésmentes szingularitásokat stb. tartalmaznak [18] . $N$ $N\geqslant 3$

Ennek megfelelően a három test összekapcsolt oszcillációira vonatkozó megoldás megalkotásának technikájával számos testprobléma redukálható algebrai egyenletrendszerre, majd mátrixos módszerekkel. A jövőben ez a megközelítés lehetővé teszi az analitikai módszereket a testek nem periodikus véges mozgásának problémaosztályának megoldására. $N$ $N$

Jegyzetek

↑ Yavorsky B. M. Általános fizika kurzus, 1. kötet, M., Higher School, 1963, p. 61
↑ Targ S. M. Az elméleti mechanika rövid kurzusa. M., Nauka, 1970, p. 419
↑ Három vagy több ponttömeg rugalmas kölcsönhatásának problémájának pontos megoldása az ütközéselméletben . Letöltve: 2011. szeptember 26. Az eredetiből archiválva : 2016. március 4.. (határozatlan)
↑ 1 2 Yavorsky B. M. Általános fizika kurzus, 1. kötet, M., Higher School, 1963, p. 62
↑ 1 2 Targ S. M. Az elméleti mechanika rövid kurzusa. M., Nauka, 1970, p. 418
↑ Targ S. M. Az elméleti mechanika rövid kurzusa. M., Nauka, 1970, p. 420
↑ Megtérülési együttható - cikk a Great Soviet Encyclopedia- ból .
↑ Targ S. M. Az elméleti mechanika rövid kurzusa. M., Nauka, 1970, p. 416
↑ Targ S. M. Az elméleti mechanika rövid kurzusa. M., Nauka, 1970, p. 421
↑ Targ S. M. Az elméleti mechanika rövid kurzusa. M., Nauka, 1970, p. 417
↑ A kényszerrezgések szimulációjának néhány jellemzője . Hozzáférés dátuma: 2011. szeptember 26. Az eredetiből archiválva : 2006. július 13. (határozatlan)
↑ Komplex rezonanciájú oszcillációs rendszerek kiszámításához . Letöltve: 2011. szeptember 26. Az eredetiből archiválva : 2012. február 13. (határozatlan)
↑ "Egy Krylov-altér algoritmus több négyzetes interpolációhoz sok dimenzióban". A. Briginshaw, G. Goodsell és MJD Powell, IMA Journal of Numerical Analysis (2005)
↑ Yu. B. Kolesov, Yu. B. Szenicsenkov Összetett dinamikus rendszerek szimulációja A Wayback Machine 2011. február 13-i archív példánya
↑ Anosov D.V. Sima dinamikus rendszerek. Ch. 2. Elemi elmélet . Hozzáférés dátuma: 2011. szeptember 26. Az eredetiből archiválva : 2013. február 19. (határozatlan)
↑ A DINAMIKUS RENDSZEREK HELYI JELLEMZŐI HATÁSKÖLCSÖNHATÁSOKKAL
↑ D.V. Sima dinamikus rendszerek. Ch. 2. Elemi elmélet, p. 181-182
↑ 1 2 Meyer Kenneth R. Jegyzetek matematikából. Az N-test probléma periodikus megoldásai. Springer. 1999, ISBN 3-540-66630-3
↑ Olkhovsky I. I. Elméleti fizika tanfolyam fizikusok számára. M., Nauka, 1970, p. 106-107
↑ Olkhovsky I. I. Elméleti fizika tanfolyam fizikusok számára. M., Nauka, 1970, p. 107-108
↑ A. V., Popov Yu. P. Időszakos megoldások kidolgozása a korlátozott három test problémájára (elérhetetlen link)
↑ 1 2 Montgomery R. Új megoldás a három test problémájára? Az AMS közleményei, 2001. május, 5 , v. 48
↑ Newton I. A természetfilozófia matematikai alapelvei. M., Nauka, 1989, III. rész . Hozzáférés dátuma: 2011. szeptember 26. Az eredetiből archiválva : 2009. november 28.. (határozatlan)
↑ Poincare A. Három test problémájáról és a dinamika egyenleteiről Sobr. cit., 1. kötet, p. 357
↑ Brower D., Clemens J. Az égi mechanika módszerei. M., Mir, c. 223 . Letöltve: 2011. szeptember 26. Az eredetiből archiválva : 2011. október 12.. (határozatlan)