Jacobi integrál

Az égi mechanikában a Jacobi-integrál az egyetlen ismert konzervált mennyiség a korlátozott körkörös háromtest-problémában. [1] A kéttest problémával ellentétben a rendszer energiáját és momentumát nem tárolják külön, így az általános analitikai megoldás nem adható meg. A Jacobi-integrál segítségével egyedi esetekben numerikus megoldást kapunk.

Definíció

Szinódus rendszer

Az egyik kényelmes koordinátarendszer az úgynevezett szinódikus rendszer, amelynek origója a baricentrumban van, ahol a μ 1 és μ 2 tömegeket összekötő egyenest választottuk x tengelynek , és a távolság mértékegységeként a köztük lévő távolságot. Mivel a rendszer együtt forog a testekkel, azok mozdulatlanok maradnak, és a (− μ 2 , 0 ) és (+ μ 1 , 0) 1 koordinátájú pontokban helyezkednek el .

Az ( x , y ) koordinátarendszerben a Jacobi-konstans az

C_{J}=n^{2}(x^{2}+y^{2})+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+ {\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)-\left({\pont {x}}^{2}+{\pont {y}}^{2}+{ \pont {z}}^{2}\jobbra),

ahol:

$n={\frac {2\pi }{T))$ az átlagos mozgás ( T keringési periódus ),
$\mu _{1}=Gm_{1}\,\!,\mu _{2}=Gm_{2}\,\!$ , két m 1 , m 2 tömegre és G gravitációs állandóra ,
$r_{1}\,\!,r_{2}\,\!$ a tesztrészecske és két hatalmas test távolsága.

Figyeljük meg, hogy a Jacobi-integrál egyenlő az egységnyi tömegre eső összenergia mínusz kétszeresével egy forgó vonatkoztatási rendszerben: az első tag a centrifugális potenciálenergiára, a második a gravitációs potenciálra, a harmadik a kinetikus energiára vonatkozik. Ebben a vonatkoztatási rendszerben a részecskékre ható erők közé tartozik a testekből származó két gravitációs erő, a centrifugális erő és a Coriolis-erő . Mivel az első három erő potenciállal fejezhető ki, az utolsó pedig merőleges a pályára, ezért mindegyik konzervatív, így az adott energiarendszerben mért energia (tehát a Jacobi-integrál) megmarad.

Sidereal system

Inerciális (sziderális) vonatkoztatási rendszerben ( ξ , η , ζ ) tömegek keringenek a baricentrum körül. Ebben a koordinátarendszerben a Jacobi-konstans alakja

C_{J}=2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\ jobb)+2n\left(\xi {\pont {\eta }}-\eta {\pont {\xi }}\right)-\left({\pont {\xi }}^{2}+{\ pont {\eta }}^{2}+{\pont {\zeta }}^{2}\jobbra).

Következtetés

A szinódikus rendszerben a gyorsulások egy skaláris függvény deriváltjaként ábrázolhatók

U(x,y,z)={\frac {n^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2})+{\frac {\mu _{1} }{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}.

Tekintsük a Lagrange-egyenleteket egy test mozgására:

{\ddot {x}}-2n{\dot {y}}={\frac {\delta U}{\delta x)),

{\ddot {y}}+2n{\dot {x}}={\frac {\delta U}{\delta y)),

{\ddot {z}}={\frac {\delta U}{\delta z)),

Miután az egyenleteket rendre megszorozzuk és mindhárom kifejezést összeadjuk, megkapjuk az egyenlőséget ${\pont {x}},{\pont {y}}$ ${\pont {z))$

{\pont {x}}{\ddot {x}}+{\pont {y}}{\ddot {y}}+{\pont {z}}{\ddot {z}}={\ frac {\delta U}{\delta x}}{\pont {x}}+{\frac {\delta U}{\delta y}}{\pont {y}}+{\frac {\delta U} {\delta z}}{\pont {z}}={\frac {dU}{dt}}.

Az integráció után megkapjuk a kifejezést

{\pont {x}}^{2}+{\pont {y}}^{2}+{\pont {z}}^{2}=2U-C_{J},

ahol C J az integráció állandója.

Az egyenlet bal oldala a szinodikus vonatkoztatási rendszerben lévő tesztrészecske v sebességének négyzete.

1 Ez a koordinátarendszer nem inerciális, ami megmagyarázza a centrifugális erővel és a Coriolis-erővel kapcsolatos kifejezések megjelenését.

Jegyzetek

↑ Bibliothèque nationale de France archiválva : 2017. február 2. a Wayback Machine -nél . Jacobi, Carl GJ Sur le Motion d'un point et sur un cas particulier du problème des trois corps (francia) // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris :magazin. - 1836. - Kt. 3 . - P. 59-61 .

Irodalom

Carl D. Murray és Stanley F. Dermot Solar System Dynamics [Cambridge, Anglia: Cambridge University Press, 1999], 68–71. oldal. ( ISBN 0-521-57597-4 )