Kepler problémája az általános relativitáselméletben

A Kepler-probléma általában két gömbszimmetrikus, gravitációs kölcsönhatásban lévő test mozgásának megtalálásának problémája. A klasszikus gravitációs elméletben ennek a problémának a megoldását maga Isaac Newton találta meg: kiderült, hogy a testek a kezdeti feltételektől függően kúpszelvények mentén mozognak - ellipszisek, parabolák vagy hiperbolák mentén. Az általános relativitáselmélet (GR) keretein belül, purisztikus szempontból ez a feladat rosszul feltettnek tűnik, hiszen egy abszolút merev test modellje a relativisztikus fizikában lehetetlen (lásd Bell-paradoxon , Born keménység ). , és a nem teljesen merev testek nem fognak gömbszerűen – szimmetrikusan – kölcsönhatásba lépni. Egy másik megközelítés a ponttestekre való átmenet, ami a newtoni fizikában legitim, de az általános relativitáselméletben problémákat okoz. Ezenkívül a testek helyzete és sebessége mellett a kezdeti gravitációs mezőt (metrikát) is be kell állítani a teljes térben - ez a kezdeti feltételek problémája az általános relativitáselméletben. Ezen okokból kifolyólag nincs pontos analitikai megoldás az általános relativitáselmélet Kepler-problémájára (hasonlóana newtoni gravitációelmélet háromtest -problémájához ), de létezik egy sor módszer, amely lehetővé teszi a testek viselkedésének kiszámítását. ez a probléma a szükséges pontossággal: teszttest közelítés , posztnewtoni formalizmus , numerikus relativitáselmélet .

Történelmi kontextus

1859-ben a francia csillagász, az Urbain Párizsi Obszervatórium igazgatója, Jean Joseph Le Verrier megállapította, hogy a Merkúr pályájának megfigyelések alapján meghatározott precessziója nem teljesen esik egybe az elméletileg megjósolttal - a pálya perihéliuma valamivel gyorsabban mozog, mint Newton elméletéből következik az összes bolygóközi perturbáció figyelembevétele után [2] . A hatás kicsi volt - 38" századonként, de jelentősen meghaladta a mérési hibákat - körülbelül 1". A felfedezés jelentősége nagy volt, és a 19. század számos fizikusa, csillagásza és égimechanikája foglalkozott ezzel a kérdéssel. A klasszikus fizika keretein belül számos megoldást javasoltak, ezek közül a leghíresebbek: egy láthatatlan bolygóközi porfelhő jelenléte a Nap közelében, a Nap ellapultsága (kvadrupólmomentum), a Merkúr fel nem fedezett műholdja vagy az új Vulkán bolygó. közelebb a Naphoz [3] [4] . Mivel ezek a magyarázatok egyike sem állta ki a megfigyelés próbáját, egyes fizikusok radikálisabb hipotéziseket kezdtek felállítani, miszerint magát a gravitációs törvényt meg kell változtatni, például módosítani kell a benne lévő kitevőt, vagy hozzáadni a testek sebességétől függően tagokat. a potenciál [5] .

A legtöbb ilyen próbálkozás azonban ellentmondásosnak bizonyult. Az égi mechanikával foglalkozó munkáiban [6] Laplace kimutatta, hogy ha a gravitációs kölcsönhatás két test között nem azonnal hat (ami egy sebességfüggő potenciál bevezetésével egyenlő), akkor az impulzus nem marad meg a mozgás rendszerében. bolygók - a lendület egy része átkerül a gravitációs mezőbe, hasonlóan ahhoz, ahogyan ez történik a töltések elektromágneses kölcsönhatásában az elektrodinamikában. Newtoni szempontból, ha a gravitációs hatás véges sebességgel sugároz, és nem függ a testek sebességétől, akkor a bolygó minden pontját arra a pontra kell vonzani, ahol a Nap kicsit korábban volt, és nem egyidejű elhelyezkedése. Ezen az alapon Laplace kimutatta, hogy a Kepler-probléma véges gravitációs sebességű pályáinak excentricitásának és fél-főtengelyének idővel növekednie kell - világi változásokat kell tapasztalnia. E mennyiségek változásának a Naprendszer stabilitásából és a Hold mozgásából adódó felső határaiból Laplace kimutatta, hogy a gravitációs newtoni kölcsönhatás terjedési sebessége nem lehet kisebb 50 millió fénysebességnél [3] [5] .

A vonzalom azonnal átkerül egyik testről a másikra? Az átviteli idő, ha észrevehető lenne számunkra, túlnyomórészt világi gyorsulásként jelenne meg a Hold mozgásában. Ezt az eszközt javasoltam az említett mozgás során észlelt gyorsulás magyarázatára, és megállapítottam, hogy a megfigyelések teljesítéséhez a vonzóerőnek hétmilliószor nagyobb sebességet kell tulajdonítani, mint a fénysugár sebessége. És mivel most a világi egyenlet oka - a Hold - jól ismert, azt mondhatjuk, hogy a vonzás legalább ötvenmilliószoros fénysebességgel terjed. Ezért, anélkül, hogy félnénk bármilyen észrevehető hibától, a gravitáció átadását azonnalinak tekinthetjük.

- P. S. Laplace A világ rendszerének kiállítása Párizs, 1797. [7]

Laplace módszere helyes a newtoni gravitáció közvetlen általánosítására, de nem biztos, hogy alkalmazható bonyolultabb modellekre. So, for example, in electrodynamics, moving charges are attracted/repelled not from the visible positions of other charges, but from the positions that they would currently occupy if they moved uniformly and rectilinearly from the visible positions - this is a property of Lienard- Wiechert potenciálok [8] . Hasonló megfontolás az általános relativitáselmélet keretein belül ugyanarra az eredményre vezet a [9] sorrendig . $(v/c)^{3}$

E problémák elkerülésére 1870 és 1900 között sok tudós megpróbálta alkalmazni a gravitációs kölcsönhatás törvényeit Weber , Gauss , Riemann és Maxwell elektrodinamikai potenciáljain [10] . 1890 -ben Levynek sikerült stabil pályákat és megfelelő mértékű perihélium-eltolódást elérnie a Weber- és a Riemann-törvények kombinálásával. Egy másik sikeres kísérletet P. Gerber tett 1898 -ban . Mivel azonban a kezdeti elektrodinamikai potenciálok tévesnek bizonyultak (például a Weber-törvény nem szerepelt Maxwell végső elektromágneses elméletében), ezeket a hipotéziseket mint önkényeseket elvetették [1] [11] . Néhány más próbálkozás, például G. Lorentz ( 1900 ) elmélete, amely már Maxwell elméletét alkalmazta, túl kevés precessziót adott [3] [12] .

1904-1905 körül H. Lorentz , A. Poincaré és A. Einstein munkái lefektették a speciális relativitáselmélet alapjait, kizárva a fénysebességnél gyorsabb kölcsönhatások terjedésének lehetőségét . Így felmerült a feladat, hogy a newtoni gravitációs törvényt egy másik, a relativitás elvével kompatibilis, de kis sebességnél és gravitációs térben szinte newtoni hatást adóval helyettesítsék. Ilyen kísérleteket tett A. Poincare (1905 és 1906), G. Minkowski (1908) és A. Sommerfeld (1910). Azonban minden vizsgált modell túl kicsi perihélium eltolódást adott [12] [13] .

1907-ben Einstein arra a következtetésre jutott, hogy a gravitációs tér leírásához általánosítani kell az akkori, ma speciálisnak nevezett relativitáselméletet. 1907 és 1915 között Einstein következetesen egy új elmélet felé mozdult el, a relativitás elvét használva útmutatásul . Ennek az elvnek megfelelően az egységes gravitációs tér minden anyagra ugyanúgy hat, ezért azt a szabadon eső megfigyelő nem találhatja meg. Ennek megfelelően minden helyi gravitációs hatás reprodukálható gyorsított referenciakeretben és fordítva. Ezért a gravitáció tehetetlenségi erőként működik a vonatkoztatási rendszer gyorsulása miatt, mint például a centrifugális erő vagy a Coriolis-erő ; mint mindezen erők, a gravitációs erő is arányos a tehetetlenségi tömeggel . Ennek a körülménynek a következményeként kiderül, hogy a téridő különböző pontjain az inerciális vonatkoztatási keretek egymáshoz képest gyorsulnak. Ez csak akkor írható le, ha feláldozzuk azt a klasszikus feltevést, hogy terünket az euklideszi geometria írja le, és a Riemann-geometria görbe terébe megyünk. Ráadásul a tér és az idő kapcsolata görbültnek bizonyul, ami normál körülmények között gravitációs erőként nyilvánul meg [14] . Nyolc év munka után (1907-1915) Einstein talált egy törvényt, amely megmutatja, hogyan görbíti a téridőt a benne lévő anyag – Einstein-egyenletek . A gravitáció abban különbözik a tehetetlenségi erőktől, hogy a téridő invariánsan mérhető görbülete okozza. A kapott egyenletek legelső megoldásai, amelyeket Einstein (körülbelül) és Schwarzschild (pontosan) kapott, megmagyarázták a Merkúr rendellenes precesszióját, és kétszer akkora fényeltérést jósoltak meg a korábbi heurisztikus becslésekhez képest. Az elméletnek ezt a jóslatát 1919-ben angol csillagászok is megerősítették.

Egy teszttest közelítése

Ebben a megközelítésben úgy tekintjük, hogy az egyik test tömege m elhanyagolható a második M tömegéhez képest ; ez még a Nap körül keringő bolygókra is jó közelítés, űrhajóknál pedig szinte ideális. Ebben az esetben feltételezhetjük, hogy az első test próbatest, vagyis nem zavarja a második test gravitációs terét, hanem csak a második test által alkotott téridő geodéziai vonalait követi. Mivel a kéttest problémát általában a kozmológiainál jóval kisebb léptékben vizsgálják, a lambda-tag befolyása a metrikára elhanyagolható, és bármely gömbszimmetrikus test gravitációs terét a Schwarzschild-megoldás adja meg. Egy fénytest, a továbbiakban részecske mozgása tehát a Schwarzschild-tér geodéziai vonalai mentén történik, ha figyelmen kívül hagyjuk az árapály-erőket és a gravitációs sugárzás reakcióját.

Ebben a közelítésben Einstein először számította ki a Merkúr perihéliumának rendellenes precesszióját, amely az általános relativitáselmélet első megerősítéseként szolgált, és megoldotta az égi mechanika egyik leghíresebb akkori problémáját. Ugyanez a közelítés pontosan írja le a fény eltérülését, egy másik híres jelenséget, amelyet az általános relativitáselmélet jósolt. Ugyanakkor nem elegendő a pályák gravitációs sugárzás hatására bekövetkező relativisztikus csökkenésének folyamatát leírni.

Geometriai bevezetés

A közönséges euklideszi geometriában igaz a Pitagorasz-tétel , amely kimondja, hogy a tér két végtelenül közeli pontja közötti ds² távolság négyzete egyenlő a koordináta-különbségek négyzeteinek összegével.

ds^{{2}}=dx^{{2}}+dy^{{2}}+dz^{{2}},\,\!

ahol dx , dy és dz a végtelen kicsi különbségek a derékszögű koordinátarendszerben lévő pontok x , y és z koordinátái között . Most képzeljünk el egy világot, amelyben ez már nem igaz, és a távolságokat a reláció adja

ds^{{2}}=F(x,y,z)dx^{{2}}+G(x,y,z)dy^{{2}}+H(x,y,z)dz^ {{2}},\,\!

ahol F , G és H néhány pozíciófüggvény. Ezt nem nehéz elképzelni, hiszen egy ilyen világban élünk: a Föld felszíne ívelt, így nem ábrázolható torzítás nélkül egy lapos térképen. Nem derékszögű koordinátarendszerek is lehetnek erre példa: gömbkoordinátákban ( r , θ , φ ) az euklideszi távolságot így írjuk

ds^{{2}}=dr^{{2}}+r^{{2}}d\theta ^{{2}}+r^{{2}}\sin ^{{2}}\theta d\varphi ^{{2}}.\,\!

Végül általános esetben azt kell feltételeznünk, hogy a vonalzók nem csak pozícióváltáskor, hanem forduláskor is módosíthatják a koordinátahosszukat. Ez kereszttagok megjelenéséhez vezet a hossz kifejezésében

ds^{{2}}=g_{{xx}}dx^{{2}}+g_{{xy}}dxdy+g_{{xz}}dxdz+g_{{yy}}dy^{{2} }+g_{{yz}}dydz+g_{{zz}}dz^{{2}}\,\!

ahol 6 függvény g xx , g xy és így tovább transzformálódik a koordináták megváltoztatásakor a metrikának (vagy egyszerűen metrikának) nevezett tenzor összetevőiként , amely meghatározza a tér összes jellemzőjét ebben az általánosított Riemann-geometriában . A gömbkoordinátákban például nincsenek kereszttagok a metrikában, és annak egyetlen nem nullától eltérő összetevője: g rr = 1, g θθ = r ² és g φφ = r ² sin² θ.

Külön megjegyezzük, hogy a metrikus tenzor valamilyen koordinátarendszerben történő beállítása után a Riemann-tér teljes geometriája mereven meghatározottnak bizonyul, és nem változik a koordináta-transzformációk során. Egyszerűen fogalmazva, a koordináták tetszőleges számok, amelyek csak egy pontot jelölnek a térben, és a fizikai vonalzóval mért távolság két fix pont között nem függ attól, hogy milyen koordinátákat rendelünk hozzájuk - ez egy invariáns a koordináta-rácsok megváltoztatásakor.

A speciális relativitáselméletben Albert Einstein kimutatta, hogy a tér két pontja közötti ds távolság nem invariáns, hanem a megfigyelő mozgásától függ. Ez a távolság egy valóban invariáns mennyiség egyidejű terére vetítésének bizonyul - egy intervallum , amely nem függ a megfigyelő mozgásától, hanem tartalmazza a térbeli koordinátákon kívül a tér-idő pontok időkoordinátáját. , az úgynevezett események

ds^{2}=c^{{2}}dt^{{2}}-dx^{{2}}-dy^{{2}}-dz^{{2}}.\,\!

Hasonlóképpen átírhatjuk az intervallumot gömbkoordinátákkal

ds^{2}=c^{{2}}dt^{{2}}-dr^{{2}}-r^{{2}}d\theta ^{{2}}-r^{{ 2}}\sin ^{{2}}\theta d\varphi ^{{2}}.\,\!

Ez a képlet a Pitagorasz-tétel természetes általánosítása, és téridő görbület hiányában is érvényes. Az általános relativitáselméletben azonban a téridő görbült, így a "távolságot" az általános képlet fejezi ki.

ds^{2}=g_{{\mu \nu }}dx^({\mu }}dx^{{\nu }}),\,\!

ahol az Einstein-összegzési szabályt alkalmazzuk - a fent és lent előforduló index által, az összegzés az összes értékére vonatkozik, jelen esetben - négyre (három térbeli és egy időkoordináta). A metrikus komponensek pontos értékét a gravitációs anyag eloszlása, tömege, energiája és lendülete határozza meg az Einstein-egyenletek segítségével . Einstein ezeket az egyenleteket az energia- és impulzusmegmaradás ismert törvényeiből származtatta; ezeknek az egyenleteknek a megoldásai azonban korábban nem megfigyelt jelenségeket, például fényelhajlást jósoltak meg, amelyeket később megerősítettek.

Schwarzschild metrika

Az Einstein-egyenletek egyetlen megoldása (a kozmológiai állandó nélkül) a gömbszimmetrikus eloszlású anyag külső gravitációs terére (energia-impulzusra) a Schwarzschild-metrika.

{ds}^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}dt^{{2}}-{\ frac {dr^{{2}}}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}-r^{{2}}d\theta ^{{2}}-r^ {{2}}\sin ^{{2}}\theta \,d\varphi ^{{2}}

ahol

c a fénysebesség méter per másodpercben, t - időkoordináta másodpercben (egybeesik egy végtelenül távoli álló óra által számlált idővel), r a radiális koordináta méterben (a szimmetriapont középpontjában lévő kör kerülete osztva 2π-vel), θ és φ szögek radiánban megadott gömbkoordinátákkal, r s a Schwarzschild-sugár (méterben), amely egy M és egyenlő tömegű testet jellemez

r_{{s}}={\frac {2GM}{c^{{2}}}}

ahol G a gravitációs állandó . [tizenöt]

Newton klasszikus gravitációs elmélete a kis r s / r határeset . A gyakorlatban ez az arány szinte mindig nagyon kicsi. Például a Föld esetében a Schwarzschild-sugár körülbelül 9 milliméter , míg egy geostacionárius pályán lévő műhold km -re van . A Naprendszer esetében ez az arány nem haladja meg a 2 milliomod részét, és csak a fekete lyukak és neutroncsillagok közelében lévő régióknál válik jelentősen (akár több tizedre is). $r\simeq 42164$

Geodéziai egyenletek

Az általános relativitáselméletnek megfelelően az elhanyagolható tömegű részecskék a téridő geodéziai vonalai mentén mozognak [16] . A nem ívelt térben, távol minden vonzó testtől, ezek a geodetikusok egyenes vonalak.

{\frac {d^{2}x^{{\mu }}}{dq^{2}}}+\Gamma _({\nu \lambda }}^{{\mu }}{\frac {dx ^{{\nu }}}{dq}}{\frac {dx^({\lambda }}}{dq}}=0

ahol Γ a Christoffel-szimbólumok , a q változó pedig a részecske téridőn keresztüli útját - világvonalát - paraméterezi, és a geodéziai vonal kanonikus paraméterének nevezzük . A Christoffel-szimbólumok csak a g μν metrikus tenzortól függenek , pontosabban attól, hogyan változik pontról pontra. Időszerű geodetikusoknál, amelyek mentén tömeges részecskék mozognak, a q paraméter egybeesik a megfelelő τ idővel egy állandó tényezőig, amelyet általában 1-gyel egyenlőnek vesznek. Tömeg nélküli részecskék (például fotonok ) fényszerű világvonalainál a q paraméter nem adható meg . a megfelelő idővel egyenlőnek vesszük, mivel egyenlő nullával, de a geodetikus formáját még mindig ez az egyenlet írja le. Ezen túlmenően fényszerű geodetikumok is elérhetők az időszerű geodetikusok határeseteként, amikor a részecske tömege 0-ra hajlik (ha a részecske energiáját állandóan tartjuk).

A feladat szimmetriájának felhasználásával leegyszerűsíthetjük a feladatot - így egy változót kizárunk a számításból. Minden gömbszimmetrikus esetben a mozgás a θ = π/2 síknak választható síkban történik . Ezen a síkon a metrika alakja

ds^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}dt^{{2}}-{\frac { dr^{{2}}}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}-r^{{2}}d\varphi ^{{2}}.

Mivel nem függ és -től, a mozgásnak két integrálja van (lásd a levezetést lent ) $\varphi$ $t$

r^{{2}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},

\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{{2}} }}.

Ha ezeket az integrálokat behelyettesítjük a metrikába, akkor azt kapjuk

c^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}\left({\frac {dt}{d\ tau }}\right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d \tau }}\right)^{{2}}-r^{{2}}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{{2}},

így a részecske mozgásegyenletei a következők lesznek

\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}={\frac {E^{{2}}}{m^{{2}}c^{{2 }}}}-\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left(c^{{2}}+{\frac {L^{{2}} }{m^{{2}}r^{{2}}}}\jobbra).

A megfelelő időtől való függés az L integrál használatával kiküszöbölhető

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}\ left({\frac {d\tau }{d\varphi }}\right)^{{2}}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}} \left({\frac {mr^{{2}}}{L}}\right)^{{2}},

ami miatt a pályák egyenlete azzá válik

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}={\frac {r^{{4}}}{b^{{2}}}}-\left (1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{{4}}}{a^{{2}}}}+r^{ {2}}\jobbra),

ahol a rövidség kedvéért két karakterisztikus a és b hosszúságot vezetünk be

a={\frac {L}{mc}},

b={\frac {cL}{E}}.

Ugyanez az egyenlet származtatható a Lagrange-féle megközelítésből [18] vagy a Hamilton–Jacobi egyenletből [19] (lásd alább ). A pályaegyenlet megoldását a kifejezés adja meg

\varphi =\int {\frac {dr}{r^{{2}}{\sqrt ({\frac {1}{b^{{2}}}}-\left(1-{\frac {r_ {{s}}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{{2}}}}+{\frac {1}{r^{{2}}}}\ jobb)}}}}.

Hozzávetőleges képlet a fény eltérítéséhez

Az m részecsketömeg nullára hajló határán (vagy ezzel egyenértékűen ) a pályaegyenlet $a\rightarrow \infty$

\varphi =\int {\frac {dr}{r^{{2}}{\sqrt {{\frac {1}{b^{{2}}}}-\left(1-{\frac {r_ {{s}}}{r}}\jobbra){\frac {1}{r^{{2}}}}}}}}.

Ezt a kifejezést az r s / r arány hatványaival bővítve az első közelítésben megkapjuk egy tömeg nélküli részecske δ φ eltérését a gravitációs középponton túli repülése során:

\delta \varphi \approx {\frac {2r_{{s}}}{b}}={\frac {4GM}{c^{{2}}b}}.

A b állandó itt ütési paraméterként , a legközelebbi közelítés távolságaként értelmezhető. A képlet levezetéséhez használt közelítés elég pontos a legtöbb gyakorlati alkalmazáshoz, beleértve a gravitációs lencsék mérését is . A napfelszín közelében áthaladó fény esetében az elhajlás körülbelül 1,75 ívmásodperc .

Kapcsolat a klasszikus mechanikával és az elliptikus pályák precessziójával

Részecskemozgási egyenletek a Schwarzschild-mezőben

\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}={\frac {E^{{2}}}{m^{{2}}c^{{2 }}}}-c^{{2}}+{\frac {r_{{s}}c^{{2}}}{r}}-{\frac {L^{{2}}}{m ^{{2}}r^{{2}}}}+{\frac {r_{{s}}L^{{2}}}{m^{{2}}r^{{3}}} }

átírható az r s gravitációs sugár definíciójával :

{\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}=\left[{\frac {E^{{2}} }{2mc^{{2))))-{\frac {1}{2}}mc^{{2}}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^ {{2}}}{2mr^{{2}}}}+{\frac {GML^{{2}}}{c^{{2}}mr^{{3}}}}

ami egyenértékű egy nem relativisztikus részecske mozgásával energiával egydimenziós effektív potenciálban ${\frac {E^{{2}}}{2mc^{{2}}}}-{\frac {1}{2}}mc^{{2}}$

V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{{2}}}{2mr^{{2}}}}-{\frac {GML^{{2} }}{c^{{2}}mr^{{3}}}}.

Az első két tag megfelel a jól ismert klasszikusoknak: Newton gravitációs vonzási potenciáljának és taszító centrifugális potenciáljának, és csak a harmadik tagnak nincs analógja a klasszikus Kepler-probléma során. Amint az alábbiakban és máshol is látható , egy ilyen kifejezés az elliptikus pályákat δφ fordulatonkénti szöggel precessze.

\delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{{2}}A\left(1-e^{{2}}\right)))

ahol A a pálya fél- nagy tengelye , és e az excentricitása .

A harmadik tag vonzás jelleggel bír, és megváltoztatja a potenciál viselkedését kis r -nél – ahelyett, hogy a részecske felé menne , megakadályozva, hogy a részecske a középpontba essen (ahogy ez a klasszikus Kepler-probléma esetében volt), a potenciál a -be megy , lehetővé téve a részecske esik (további részletekért lásd: esés egy fekete lyukba ). $+\infty$ $-\infty$

Körpályák és stabilitásuk

A V effektív potenciál az a és b hosszparaméterekkel átírható

V(r)={\frac {mc^{{2}}}{2}}\left[-{\frac {r_{{s}}}{r}}+{\frac {a^{{2 }}}{r^{{2}}}}-{\frac {r_{{s}}a^{{2}}}{r^{{3}}}}\jobbra].

Körpályák nullával egyenlő effektív erővel lehetségesek

F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {mc^{{2}}}{2r^{{4}}}}\left[r_{{s}}r^{{ 2}}-2a^{{2}}r+3r_{{s}}a^{{2}}\right]=0,

vagyis amikor két vonzó erőt - a newtoni gravitációt (első tag) és annak relativisztikus korrekcióját (harmadik tag) - pontosan kiegyenlíti egy taszító centrifugális erő (második tag). Két sugáron érhető el ez a kompenzáció

r_{{{\mathrm {outer}}}}={\frac {a^{{2}}}{r_{{s}}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_ {{s}}^{{2}}}{a^{{2}}}}}}\jobbra),

r_{{{\mathrm {inner}}}}={\frac {a^{{2}}}{r_{{s}}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_ {{s}}^{{2}}}{a^{{{2}}}}}\right)={\frac {3a^{{2}}}{r_{{{\mathrm {külső } }}}}}},

amelyek közvetlenül a fenti másodfokú egyenletből származnak . A belső r belső sugár instabilnak bizonyul bármely a értéke esetén , mivel ott a vonzóerő gyorsabban növekszik, mint a taszító erő, így bármilyen zavarás hatására a részecske a középpontra esik. A külső sugár pályái stabilak - ott kicsi a relativisztikus vonzás, és jellegük szinte egybeesik a nem relativisztikus Kepler-probléma pályáival.

Ha a sokkal nagyobb, mint r s (a klasszikus eset), a pályák mérete hajlamos arra

r_{{{\mathrm {outer}}}}\approx {\frac {2a^{{2}}}{r_{{s}}}},

r_{{{\mathrm {inner}}}}\approx {\frac {3}{2}}r_{{s}}.

Az a és r s definícióit r külsőre behelyettesítve megkapjuk az M tömegközéppont körüli körpályán keringő részecske klasszikus képletét.

r_{{{\mathrm {outer}}}}^{{3}}\approx {\frac {GM}{\omega _{{\varphi }}^{{2}}}},

ahol ω φ a részecske keringési szögsebessége.

Ha egy ² 3 r s ²-re hajlamos (felülről), a külső és a belső sugár konvergál

r_{{{\mathrm {outer}}}}\rightarrow r_{{\mathrm {inner}}}}\rightarrow 3r_{{s}}.

A másodfokú egyenlet megoldása biztosítja, hogy r külső mindig nagyobb, mint 3 r s , az r belső pedig 3 ⁄ 2 r s és 3 r s között legyen . 3 ⁄ 2 r s -nál kisebb sugarú körpályák nem lehetségesek. Maga a pálya r belső = 3⁄2 r s a határeset a tömegnélküli részecskékre, amikor , ezért az ilyen sugarú gömböt néha fotongömbnek is nevezik . $a\rightarrow \infty$

Elliptikus pályák precessziója

Az orbitális precessziós sebesség a V effektív potenciálból származtatható . Egy kis eltérés a sugár mentén az r=r külső pályakörtől frekvenciával oszcillál

\omega _{{r}}^{{2}}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{{2}}V}{dr^{{2}}} }\right]_{{r=r_{({\mathrm {outer}}}}}}=\left({\frac {c^{{2}}r_{{s}}}{2r_{{{ \mathrm {külső}}}}^{{4}}}}\jobbra)\left(r_{({\mathrm {outer}}}}-r_{{\mathrm {belső}}}}\jobbra) =\omega _{{\varphi }}^{{2}}{\sqrt {1-{\frac {3r_{{s}}^{{2}}}{a^{{2}}}}} }.

A sorozatbővítés ad

\omega _{{r}}=\omega _{{\varphi }}\left(1-{\frac {3r_{{s}}^{{2}}}{4a^{{2}}}} +\cdots\right).

A T forradalom periódusával való szorzás egy fordulaton precesszióhoz vezet

\delta \varphi =T\left(\omega _{{\varphi }}-\omega _{{r}}\jobbra)\approx 2\pi \left({\frac {3r_{{s}}^{ {2}}}{4a^{{2}}}}\right)={\frac {3\pi m^{{2}}c^{{2}}}{2L^{{2}}} }r_{{s}}^{{2}},

ahol ω φ T = 2 n és a definícióját használjuk . Az r s -t behelyettesítve azt kapjuk

\delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{{2}}c^{{2}}}{2L^{{2}}}}\left({\frac {4G^{{2 }}M^{{2}}}{c^{{4}}}}\right)={\frac {6\pi G^{{2}}M^{{2}}m^{{2 }}}{c^{{2}}L^{{2}}}}.

Az A pálya félnagytengelyét és az e excentricitást használva , összefüggésben

{\frac {L^{{2}}}{GMm^{{2}}}}=A\left(1-e^{{2}}\right),

elérkezünk a leghíresebb precessziós képlethez

\delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{{2}}A\left(1-e^{{2}}\right))).

Pontos megoldás egy pályára elliptikus függvényekben

A dimenzió nélküli változó bemutatása

\zeta ={\frac {r_{{s}}}{4r}}-{\frac {1}{12}}

pálya egyenlet

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}={\frac {r^{{4}}}{b^{{2}}}}-\left (1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{{4}}}{a^{{2}}}}+r^{ {2}}\jobbra)

leegyszerűsíthető

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }},

ahol a konstans dimenzió nélküli együtthatók g 2 és g 3 úgy vannak definiálva

{\begin{aligned}g_{{2}}&={\frac {1}{12}}-{\frac {r_{{s}}^{{2}}}{4a^{{2}} )),\\g_{{3}}&={\frac {1}{216}}+{\frac {r_{{s}}^{{2}}}{24a^{{2}}} }-{\frac {r_{{s}}^{{2}}}{16b^{{2}}}}.\end{aligned}}

Ennek az egyenletnek a megoldását a pályára határozatlan integrálként adjuk meg

\varphi -\varphi _{{0}}=\int {\frac {d\zeta }{{\sqrt {4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }}}}}}.

Ebből következik, hogy fáziseltolásig , ahol a Weierstrass-elliptikus függvény g 2 és g 3 paraméterekkel , φ 0 pedig a (esetleg komplex) integrációs állandó. $\zeta =\wp (\varphi -\varphi _{{0}})$ $\wp$

A lehetséges pályák minőségi jellege

A Schwarzschild-mező lehetséges pályáinak teljes kvalitatív elemzését Yu. Hagihara végezte először 1931-ben.

A Schwarzschild-mező pályáit a mozgásegyenlet írja le

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }}.

Ha a diszkrimináns nagyobb, mint 0, akkor a köbegyenlet $\Delta =g_{{2}}^{{3}}-27g_{{3}}^{{2}}$

G(\zeta )=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3}}=0\,

három különböző valós gyöke van e 1 , e 2 és e 3 , amelyek csökkenő sorrendbe rendezhetők

e_{{1}}>e_{{2}}>e_{{3}}.

Ebben az esetben a megoldás egy elliptikus függvény két félperiódussal, amelyek közül egy teljesen valós $\zeta =\wp (\varphi -\varphi _{{0}})$

\omega _{{1}}=\int _{{e_{{1}}}}^{{\infty }}{\frac {dz}{{\sqrt {4z^{{3}}-g_{ {2}}z-g_{{3}}}}}},

a második pedig pusztán képzeletbeli

\omega _{{3}}=i\int _{{-e_{{3}}}}^{{\infty }}{\frac {dz}{{\sqrt {4z^{{3}}- g_{{2}}z-g_{{3}}}}}}.

A fennmaradó köztes gyök határozza meg az ω 2 \u003d -ω 1 - ω 3 komplex félperiódust . Ezek a mennyiségek az ( i = 1, 2, 3) egyenletek révén a megfelelő gyökökhöz kapcsolódnak . Ezért amikor ( n egész szám), ζ deriváltja 0 lesz, vagyis a pálya eléri a periastron vagy apoaster - a maximális megközelítési és eltávolítási pontot: $\wp (\omega _{{i}})=e_{{i}}$ $\varphi -\varphi _{0}=n\omega _{i}$

{\frac {d\zeta }{d\phi }}=0\ {\mathrm {mikor}}\ \zeta =\wp (-\omega _{{i}})=e_{{i}}

mert

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=G(\zeta )=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\ zeta -g_{{3}}=4\left(\zeta -e_{{1}}\right)\left(\zeta -e_{{2}}\right)\left(\zeta -e_{{3 }}\jobb).

A pálya minőségi jellege a φ 0 megválasztásától függ . A φ 0 = ω 2 megoldások vagy ζ= e 2 -ről ζ= e 3 -ra oszcilláló pályáknak vagy a végtelenbe tartó pályáknak felelnek meg (ζ=-1/12). Megfordítva, az olyan megoldások, amelyekben φ 0 egyenlő ω 1 -gyel vagy bármely más valós számmal, a középpont felé konvergáló pályákat írnak le, mivel a valós ζ nem lehet kisebb e 1 -nél, és ezért elkerülhetetlenül a végtelenségig nő.

Kvázi-elliptikus pályák

Azok a megoldások , amelyekben φ 0 = ω 2 ζ valós értékeit adják, feltéve, hogy az E energia kielégíti az E 2 < m 2 c 4 egyenlőtlenséget . Ebben az esetben ζ az e 3 ≤ ζ ≤ e 2 intervallumban vesz fel értékeket . Ha mindkét gyök nagyobb, mint −1 ⁄ 12 , akkor ζ nem tudja felvenni ezt az értéket, ami a végtelenbe tartó részecskének felel meg, így a test véges mozgást hajt végre, ami egy precesszáló ellipszis mentén történő mozgásként ábrázolható. A test radiális koordinátája végtelenül ingadozik között $\zeta =\wp (\phi -\phi _{{0}})$

r_{{min}}={\frac {3r_{{s}}}{1+12e_{{2}}}}

és

r_{{max}}={\frac {3r_{{s}}}{1+12e_{{1}}}},

amelyek ζ szélső értékeinek felelnek meg . A Weierstrass-elliptikus függvény valós periódusa 2ω 1 ; így a részecske visszatér ugyanabba a sugárba, ha a szögkoordináta 2ω 1 -gyel nő , ami általában véve eltér 2π-től. Ezért a pálya általában precesszál, de -nál a precessziós szög fordulatonként (2ω 1 − 2π) meglehetősen kicsi. $r_{{min}}\ll r_{g}$

Stabil körpályák

A 2 e 2 = 2 e 3 = − e 3 speciális eset megfelel a ζ = const = e 2 = e 3 megoldásnak . Kiderül, hogy egy körpálya r = r külső legalább 3 r s . Az ilyen pályák stabilak, mivel a paraméterek kis perturbációja a gyökerek felhasadásához vezet, ami kvázi elliptikus pályákhoz vezet. Például, ha egy részecskét enyhén „löknek” a sugárirányban, akkor az oszcillálni kezd a zavartalan sugár körül, ami egy precesszáló ellipszist ír le.

Végtelen pályák

Ahogy r a végtelen felé hajlik, ζ -1 ⁄ 12 -re . Ezért a végtelenből a központi test felé korlátlanul távolodó vagy közeledő pályák olyan periodikus megoldásoknak felelnek meg, amelyekben −1 ⁄ 12 az elérhető ζ intervallumba esik , azaz e 3 ≤ − 1 ⁄ 12 ≤ ζ ≤ e 2 esetén .

Aszimptotikusan körpályák

Egy másik speciális eset a − e 3 = 2 e 2 = 2 e 1 -nek felel meg, vagyis G ( ζ ) két gyöke pozitív és egyenlő egymással, a harmadik pedig negatív. A pályák ebben az esetben spirálok, csavarodnak vagy tekercselnek, mivel φ a végtelenbe hajlik (nem számít pozitív vagy negatív) egy r sugarú körön , amelyet a reláció határoz meg.

{\frac {r_{{s}}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e.

Az ismétlődő e = n ²/3 gyöket jelölve megkapjuk a pályaegyenletet, amely direkt helyettesítéssel könnyen ellenőrizhető:

\zeta ={\frac {r_{{s}}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e-{\frac {n^{{2}}}{\cosh ^{{ 2}}n\varphi}}.

Ilyen esetekben a részecske radiális koordinátája 2 r s és 3 r s között van .

Az ilyen pályák egyenlete a Weierstrass elliptikus függvény Jacobi elliptikus függvényekkel való kifejezéséből adódik.

\zeta =\wp (\phi -\phi _{{0}})=e_{{1}}+\left(e_{{1}}-e_{{3}}\right){\frac {{ \mathrm {cn}}^{{2}}w}{{\mathrm {sn}}^{{2}}w}},

hol van a modul $w=(\phi -\phi _{{0}}){\sqrt {e_{{1}}-e_{{3}}}}$

k={\sqrt {{\frac {e_{{2}}-e_{{3}}}{e_{{1}}-e_{{3}}}}}}.

Az e 2 és e 1 egybeesésének határában a modulus egységre törekszik, w pedig n - re megy (φ − φ 0 ). Ha φ 0 képzetes értéket választunk, amely egyenlő (a periódus negyedével), a fenti képlethez jutunk. $iK^{{\prime }}$

Essen középre

Valós megoldásokban , amelyekben φ 0 egyenlő ω 1 -gyel vagy más valós számokkal, ζ nem lehet kisebb e 1 -nél . A mozgásegyenletek miatt $\zeta =\wp (\phi -\phi _{{0}})$

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }}=4\left(\zeta -e_{{1}}\right)\left(\zeta -e_{{2}}\right)\left(\zeta -e_{{3}}\right)

ζ korlátlanul növekszik, ami megfelel annak, hogy az r = 0 középpontra esik, miután végtelen számú fordulat körülötte.

A pályák egyenletének levezetése

A Hamilton-Jacobi egyenletből

Ennek a levezetésnek az az előnye, hogy mind a részecskék mozgására, mind a hullámterjedésre vonatkozik, ami könnyen a gravitációs térben a fény eltérítésének kifejezéséhez vezet a Fermat-elv alapján . Az alapötlet az, hogy a gravitációs idődilatáció miatt a hullámfront azon részei, amelyek közelebb vannak a gravitációs tömeghez, lassabban mozognak, mint a távolabbiak, ami a hullámfront terjedésének görbületéhez vezet.

Az általános kovariancia miatt a Hamilton-Jacobi egyenlet egy tetszőleges koordinátájú részecskére így írható fel.

g^{{\mu \nu }}{\frac {\partial S}{\partial x^({\mu }}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{{\nu }} }}=m^{{2}}c^{{2}}.

A Schwarzschild-metrikában ez az egyenlet a következő alakot veszi fel

{\frac {1}{c^{{2}}\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)))\left({\frac {\partial S} {\partial t}}\right)^{{2}}-\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left({\frac {\partial S} {\partial r}}\right)^{{2}}-{\frac {1}{r^{{2}}}}\left({\frac {\partial S}{\partial \varphi }} \right)^{{2}}=m^{{2}}c^{{2}},

ahol a gömbkoordináta-rendszer referenciasíkja a pálya síkjában található. A t idő és a φ hosszúság ciklikus koordináták , így az S műveleti függvény megoldása így írható fel. $\theta$

S=-Et+L\varphi +S_{{r}}(r)\,,

ahol E és L a részecske energiáját és szögimpulzusát jelöli. A Hamilton-Jacobi egyenlet az S r (r) radiális rész integrált megoldásához vezet .

S_{{r}}(r)=\int {\frac {Ldr}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}{\sqrt {{\frac {1}{b ^{{2}}}}-\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{{2}}} }+{\frac {1}{r^{{2}}}}\jobbra)}}.

Az S függvény megkülönböztetése a szokásos módon

{\frac {\partial S}{\partial L))=\varphi +{\frac {\partial S_{{r))}{\partial L))={\mathrm {konstans)),

eljutunk a korábban kapott pályaegyenlethez

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}={\frac {r^{{4}}}{b^{{2}}}}-\left (1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{{4}}}{a^{{2}}}}+r^{ {2}}\jobbra).

Ezzel a megközelítéssel elegánsan levezethető az orbitális precessziós sebesség [20] .

Az m tömegű nulla határon (vagy ennek megfelelően a végtelen a ) az S cselekvés sugárirányú része lesz

S_{{r}}(r)={\frac {E}{c}}\int dr{\sqrt {{\frac {r^{{2}}}{\left(r-r_{{s} }\right)^{{2}}}}-{\frac {b^{{2}}}{r\left(r-r_{{s}}\right)}}}},

ebből a kifejezésből származtatjuk a fénysugár eltérítésének egyenletét [20] .

Az általános relativitáselméletben elhanyagolható m tömegű szabad részecskék, az ekvivalencia elvnek engedelmeskedve , a gravitációs tömegek által létrehozott téridőben a geodetikusok mentén mozognak . A tér-idő geodéziát olyan görbékként határozzuk meg, amelyek kis eltérései – rögzített kezdő- és végpontok esetén – nem változtatják meg s hosszukat . Ez matematikailag kifejezhető a variációszámítással

0=\delta s=\delta \int ds=\delta \int {\sqrt {g_({\mu \nu }}{\frac {dx^({\mu }}}{d\tau }}{\ frac {dx^{{\nu }}}{d\tau }}}}d\tau =\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau ,

ahol τ a megfelelő idő , s = cτ a téridő hossza, és a T mennyiséget a következőképpen definiáljuk:

2T=c^{{2}}=\left({\frac {ds}{d\tau }}\right)^{{2}}=g_{{\mu \nu }}{\frac {dx^ {{\mu }}}{d\tau }}{\frac {dx^{{\nu }}}{d\tau }}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{ r}}\right)c^{{2}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}-r^{{2}}\left({ \frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{{2}},

a kinetikus energiával analógiával . Ha a rövidség kedvéért a megfelelő idő deriváltját ponttal jelöljük

{\pont {x}}^{{\mu }}={\frac {dx^({\mu }}}{d\tau }},

akkor T úgy írható fel

2T=c^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}\left({\pont {t}} \jobbra)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\pont {r}}\jobbra)^ {{2}}-r^{{2}}\left({\pont {\varphi }}\jobbra)^{{2}}.

Az állandó értékek, mint például a c vagy a kettő négyzetgyöke, nem befolyásolják a variációs probléma megoldását, így a variációt az integrál alatt hordozva eljutunk a Hamilton-féle variációs elvhez.

0=\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau =\int {\frac {\delta T}({\sqrt {2T}}}}d\tau ={\frac {1}{c} }\delta \int Td\tau .

Решение вариационной задачи даётся уравнениями Лагранжа

{\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}^({\sigma }}}}\right)={\frac { \partial T}{\partial x^{{\sigma )))).

Ha t -re és φ -re alkalmazzuk, ezek az egyenletek konzervált mennyiségek létezéséhez vezetnek

{\frac {d}{d\tau }}\left[r^{{2}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0,

{\frac {d}{d\tau }}\left[\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }} \right]=0,

amelyek átírhatók L és E egyenletként

r^{{2}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},

\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{{2}} }}.

Amint fentebb látható, ha ezeket az egyenleteket behelyettesítjük a Schwarzschild-metrika definíciójába , az a pályaegyenlethez vezet.

Hamilton elvéből

A gravitációs térben lévő részecske cselekvési integráljának formája van

S=\int {-mc^{2}d\tau }=-mc\int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=-mc\int {{\sqrt {g_{{\ mu \nu }}{\frac {dx^{{\mu }}}{dq}}{\frac {dx^({\nu }}}{dq}}}}dq},

ahol τ a megfelelő idő és q a részecske világvonalának egyenletes paraméterezése. Ha a variációszámítást alkalmazzuk , akkor ebből a kifejezésből azonnal következnek a geodetikus egyenletek. A számítások egyszerűsíthetők az integrandus négyzetének variációjával. A Schwarzschild mezőben ez a négyzet egyenlő

\left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=g_({\mu \nu }}{\frac {dx^{{\mu }}}{dq}} {\frac {dx^{{\nu }}}{dq}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}\left ({\frac {dt}{dq}}\jobbra)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left( {\frac {dr}{dq}}\right)^{{2}}-r^{{2}}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{{2} }.

A variációt kiszámítva azt kapjuk

\delta \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=2c^{{2}}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=\delta \left[\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}\left({\ frac {dt}{dq}}\jobbra)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\jobbra)^{{2}}-r^{{2}}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\jobbra)^{{2}}\jobbra ].

A változást csak a φ hosszúságban véve

2c^{{2}}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-2r^{{2}}{\frac {d\varphi } {dq}}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}

osszuk el, hogy megkapjuk az integrandus variációját $2c{\frac {d\tau }{dq))$

c\,\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\ delta {\frac {d\varphi }{dq}}=-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d \delta \varphi }{dq}}.

Ily módon

0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\delta {\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {-{\ frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}dq},

az alkatrészek általi integráció pedig ahhoz vezet

0=-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta \varphi -\int {{\frac {d}{dq} }\left[-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]\delta \varphi dq}.

A hosszúság változása a határpontoknál eltűnik, és az első tag eltűnik. A δφ tetszőleges megválasztása esetén az integrál csak akkor tehető nullával egyenlővé, ha az integrál alatti többi tényező mindig nulla. Így jutunk el a mozgásegyenlethez

{\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0.

Ha t időt változtatunk, azt kapjuk

2c^{{2}}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=2\left(1-{\frac {r_{{s}} }{r}}\right)c^{{2}}{\frac {dt}{dq}}\delta {\frac {dt}{dq}},

amely osztás után az integrandus variációját adja $2c{\frac {d\tau }{dq))$

c\delta {\frac {d\tau }{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta {\frac {dt}{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau } }{\frac {d\delta t}{dq}}.

Innen

0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right) {\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}dq}

és ismét a részenkénti integráció vezet a kifejezéshez

0=c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta t-\int {{\frac {d }{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]\delta tdq },

amelyből a mozgásegyenlet következik

{\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\ jobbra]=0.

Ha ezeket a mozgásegyenleteket integráljuk és meghatározzuk az integráció állandóit, akkor ismét az egyenletekhez jutunk.

r^{{2}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},

\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{{2}} }}.

Az L és E mozgás integráljaira vonatkozó két egyenlet összevonható egy olyanná, amely még a fotonokra és más tömeg nélküli részecskékre is működik, amelyeknél a geodézia mentén a megfelelő idő nulla:

{\frac {r^{{2}}}{bc}}{\frac {d\varphi }{dt}}=1-{\frac {r_{{s}}}{r}}.

Poszt-newtoni megközelítések

Mivel a valós problémákban a teszttest-közelítés néha nem elég pontos, vannak olyan megközelítések, amelyek finomítják, ezek egyike a poszt-newtoni formalizmus (PN-formalizmus), amelyet Eddington, Fock, Damour és más relativisztikus munkákban fejlesztettek ki. tudósok. Némi túlzással azt mondhatjuk, hogy ebben a megközelítésben az Einstein-egyenletekből kapott testek mozgásegyenleteit egy kis PN-paraméter alapján sorozatokká bővítjük , és a kifejezéseket csak egy bizonyos mértékig veszik figyelembe. ezt a paramétert. Már a 2,5PN szint alkalmazása is a gravitációs sugárzás előrejelzéséhez és a gravitációsan kötött rendszer forgási periódusának ennek megfelelő csökkenéséhez vezet. A magasabb rendű korrekciók az objektumok, például a bináris pulzárok mozgásában is megjelennek. A bolygók és műholdaik, aszteroidák, valamint az űrhajók mozgását a Naprendszerben most az első PN-közelítésben számítják ki. $1/c^{2}$ $(1/c^{5})$

A geodéziai megoldás korrekciói

Gravitációs hullámok kisugárzása és energia- és szögimpulzusveszteség

Az általános relativitáselmélet szerint két egymás körül keringő test gravitációs hullámokat bocsát ki , ami miatt a pályák eltérnek a fent kiszámított geodetikustól. A Naprendszer bolygóinál ez a hatás rendkívül kicsi, de jelentős szerepet játszhat a közeli kettőscsillagok evolúciójában .

Orbitális változások több rendszerben is megfigyelhetők, ezek közül a leghíresebb a PSR B1913+16 néven ismert bináris pulzár , amelyért Alan Hulse és Joseph Taylor 1993 -ban fizikai Nobel-díjat kapott kutatásaiért . Ebben a rendszerben a két neutroncsillag nagyon közel van egymáshoz, és 465 perc alatt teszik meg a pályát . A pályájuk egy megnyúlt ellipszis, amelynek excentricitása 0,62. Az általános relativitáselmélet szerint a rövid forgási periódus és a nagy excentricitás kiváló gravitációs hullámforrássá teszi a rendszert, ami energiaveszteséghez és a forradalom időtartamának csökkenéséhez vezet. A harminc év alatt megfigyelt periódusváltozások jó összhangban vannak az általános relativitáselmélet előrejelzéseivel, a most elérhető legjobb pontossággal ( 2009 -től kb. 0,2% ).

A Kepler-probléma során két test gravitációs sugárzása miatti energia- és impulzusveszteséget leíró képletet 1963 -ban állították elő [21] . Az energiaveszteség mértéke (az időszak átlagában) a következőképpen van megadva: [22]

-\left\langle {\frac {dE}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{{4}}m_{{1}}^{{2}}m_{{2}}^ {{2}}\left(m_{{1}}+m_{{2}}\right)}{5c^{{5}}a^{{5}}\left(1-e^{{2 }}\jobbra)^{{7/2}}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{{2}}+{\frac {37}{96}}e^ {{4}}\jobbra),

ahol e az excentricitás és a az elliptikus pálya fél- főtengelye . A kifejezés bal oldalán lévő szögletes zárójelek egy pályán való átlagolást jelölik. Hasonlóképpen a szögimpulzus elvesztésére is írhatunk

-\left\langle {\frac {dL_{{z}}}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{{7/2}}m_{{1}}^{{2}} m_{{2}}^{{2}}{\sqrt {m_{{1}}+m_{{2}}}}}{5c^{{5}}a^{{7/2}}\ balra(1-e^{{2}}\jobbra)^{{2}}}}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{{2}}\jobbra).

Az energiaveszteség és a szögimpulzus jelentősen megnő, ha az excentricitás 1-re hajlik, vagyis ha az ellipszis erősen megnyúlt. A sugárzás intenzitása is növekszik a pálya a méretének csökkenésével. A szögimpulzus-veszteség a sugárzás során olyan mértékű, hogy idővel a pálya excentricitása csökken, és folyamatosan csökkenő sugarú kör alakúra hajlamos.

A bolygórendszerek gravitációs sugárzásának ereje elhanyagolható, például a Naprendszer esetében - 5 kW , amelynek körülbelül 90%-a a Nap-Jupiter rendszerre esik. Ez a bolygók mozgási energiájához képest elhanyagolható (a Naprendszer várható élettartama 13 nagyságrenddel hosszabb, mint a világegyetem kora). A közeli kettőscsillagok sugárzása jóval nagyobb, például a fent említett kettős Hulse-Taylor pulzár ( PSR B1913+16 ), amelynek összetevőit a Nap sugarának nagyságrendjének megfelelő távolság választja el egymástól, gravitációs hullámokat bocsát ki 7,35 × 10 24 W teljesítmény , ami a Nap teljesítményének 2%-a. Az energiaveszteség miatt ennek a kettős rendszernek a komponensei közötti távolság évente 3,5 méterrel csökken, és 300 millió év múlva a csillagok eggyé olvadnak. A kettőscsillag összetevőinek egymáshoz közeledésével a gravitációs sugárzás ereje a köztük lévő távolság ötödik hatványával fordított arányban növekszik, és közvetlenül az egyesülés előtt a teljesítmény óriási értékeket ér el: több naptömegnek megfelelő energia sugárzik ki. tizedmásodpercen belül, ami 10 47 W teljesítménynek felel meg. Ez 21 nagyságrenddel nagyobb, mint a Nap fényessége, és milliárdszor nagyobb, mint Galaxisunk fényessége (ez a nagy teljesítmény teszi lehetővé a gravitációs hullámok észlelését a neutroncsillagok összeolvadása során több száz távolságból millió fényév). A gravitációs hullámok ereje a fekete lyukak egyesülése során még nagyobb: az egyesülés előtti utolsó ezredmásodpercekben tízszer nagyobb, mint az Univerzum megfigyelhető részén található összes csillag fényessége.

Numerikus relativitáselmélet

Ha a testek olyan tömörek, hogy külön-külön is tudnak mozogni, még akkor is, ha a keringési sebesség eléri a fénysebesség jelentős hányadát, a Newtoni utáni tágulás megbízhatóan megszűnik. Ez a neutroncsillagokból vagy fekete lyukakból álló kettős rendszerek fejlődésének utolsó szakaszaiban lehetséges - a gravitációs sugárzás hatására a komponensek egyre közelebb esnek egymáshoz, végül összeolvadnak. Ebben az esetben a testek már nem ábrázolhatók pontként vagy gömbszimmetrikusan, és az Einstein-egyenletek pontos háromdimenziós numerikus megoldására, illetve neutroncsillagok esetében a relativisztikus magnetohidrodinamikára módszereket kell alkalmazni, amelyek numerikus relativitáselméletnek nevezzük . Az első kísérleti teszt, amely 94%-os pontossággal igazolta az általános relativitáselmélet és a numerikus relativitáselmélet módszereinek előrejelzéseit, a gravitációs hullámok felfedezése volt 2015 szeptemberében.

Lásd még

Jegyzetek és linkek

↑ 1 2 Rosever N. T. Mercury perihelion. Le Verriertől Einsteinig = Roseveare NT Mercury perigelionja Le Verriertől Einsteinig / Per. angolról. A. S. Rastorguev, szerk. V. K. Abalakina. - Moszkva: Mir, 1985. - 246 p. — 10.000 példány.
↑ Le Verrier, UJJ Sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète (francia) // Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences :magazin. - 1859. - Kt. 49 . - P. 379-383 .
↑ 1 2 3 Pais 1982
↑ Marie-Antoinette Tonnela AZ ELEKTROMÁGNESSÉG ALAPJAI ÉS A RELATIVITÁSELMÉLET MOSZKVA: IDEGEN IRODALOM KIADÓJA, 1962. II. fejezet, 1.2.
↑ 1 2 A. F. Bogorodsky Univerzális gravitáció Kijev: Naukova Dumka, 1971. 2. fejezet.
↑ PS Laplace Mecanique celeste, 4, Livre X Paris, 1805.
↑ Idézet a könyvből: Borisz Nyikolajevics Voroncov-Velyaminov Laplace Moszkva: Zhurgazob'edinenie, 1937.
↑ Feynman ezzel a problémával foglalkozik a The Feynman Lectures on Physics 6. kötetében , 21. fejezet, 1. §.
↑ A. F. Bogorodszkij Uo. 5. fejezet, 15. bekezdés.
↑ Kereskedő G.-Yu. I. fejezet // A tehetetlenség relativitáselmélete = Hans-Jürgen Treder. Die Relativit der Tragheit. Berlin, 1972 / Per. vele. K. A. Bronnikova. Szerkesztőségében prof. K. P. Sztanyukovics. — M .: Atomizdat , 1975. — 128 p. - 6600 példány.
↑ Zenneck, J. Gravitáció (német) // Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. - 1903. - Bd. 5 . - S. 25-67 . (nem elérhető link)
↑ 1 2 Vizgin V.P. I. fejezet, 2. szakasz // A gravitáció relativisztikus elmélete (eredetei és kialakulása. 1900-1915). - Moszkva: Nauka, 1981. - 352 p. - 2000 példány.
↑ Walter, S. (2007), Breaking in the 4-vectors: the négydimenziós mozgás a gravitációban, 1905–1910 , Renn, J., The Genesis of General Relativity (Berlin: Springer). – T. 3: 193–252
↑ Newton gravitációs elmélete ennek az összefüggésnek a görbületeként fogalmazható meg, lásd: Mizner Ch., Thorne K., Wheeler J. Gravity. M.: Mir, 1977. 1. kötet. Archív példány 2016. április 9-én a Wayback Machine 12. fejezetében.
↑ Landau 1975.
↑ Ez igaz a poros anyag részecskéire és azokra a testekre, amelyek nem forognak túl gyorsan, ahogyan az J. L. Sing Általános relativitáselmélet című könyve IV. fejezetének 4. és 7. pontjában látható , Moszkva, IL, 1963.
↑ Weinberg 1972.
↑ Whittaker 1937.
↑ Landau és Lifshitz (1975), pp. 306-309.
↑ 1 2 Landau L. D., Lifshits E. M. Theoretical Physics: Proc. juttatás: Egyetemek számára. 10 kötetben T. II. Mezőelmélet. - 8. kiadás, sztereó. — M.: FIZMATLIT, 2003. — 536 p. - ISBN 5-9221-0056-4 (II. kötet). 101. szakasz.
↑ Peters PC, Mathews J. Gravitational Radiation from Point Masses in a Keplerian Orbit // Physical Review . - 1963. - 1. évf. 131 . - P. 435-440 . - doi : 10.1103/PhysRev.131.435 .
↑ Landau és Lifshitz, p. 356-357.

Irodalom

Adler, R; Bazin M. és Schiffer M. Bevezetés az általános relativitáselméletbe. - New York: McGraw-Hill Education , 1965. - S. 177-193. - ISBN 978-0-07-000420-7 .
Albert Einstein . A relativitáselmélet jelentése . — 5. - Princeton, NJ: Princeton University Press , 1956. - 92-97 . - ISBN 978-0-691-02352-6 .
Hagihara, YTheory of the relativist trajectories in a gravitational field of Schwarzschild (angol) // Japanese Journal of Astronomy and Geophysics : folyóirat. - 1931. - 1. évf. 8 . - 67-176 . o . — ISSN 0368-346X .
Lanczos, C A mechanika variációs alapelvei . — 4. - New York: Dover Publications , 1986. - S. 330-338 . — ISBN 978-0-486-65067-8 .
Landau L. D., Lifshits E. M. Theoretical Physics: Proc. juttatás: Egyetemek számára. 10 kötetben T. II. Mezőelmélet . - 8. kiadás, sztereó .. - M . : FIZMATLIT, 2003. - 536 p. — ISBN 5-9221-0056-4 . (Orosz) - 101. §.
Misner, CW ; Kip S. Thorne és Wheeler, JA . gravitáció. – San Francisco: W. H. Freeman, 1973. – S. 25. fejezet (636–687. o.), 33.5. § (897–901. o.) és 40.5. § (1110–1116. o.). - ISBN 978-0-7167-0344-0 . (Lásd Gravitáció (könyv) .)
Pais, A. Finom az Úr: Albert Einstein tudománya és élete (angol) . - Oxford University Press , 1982. - P. 253-256. — ISBN 0-19-520438-7 .
Pauli, W Relativitáselmélet . - New York: Dover Publications , 1958. - S. 40-41 , 166-169. — ISBN 978-0-486-64152-2 .
Rindler, W. Alapvető relativitáselmélet: speciális, általános és kozmológiai . — átdolgozott 2. - New York: Springer Verlag , 1977. - S. 143-149 . - ISBN 978-0-387-10090-6 .
Rosever N. T. Merkúr perihélium. Le Verriertől Einsteinig = Roseveare NT Mercury perigelionja Le Verriertől Einsteinig / Per. angolról. A. S. Rastorguev, szerk. V. K. Abalakina. - Moszkva: Mir, 1985. - 246 p. — 10.000 példány.

Synge, JL . Relativitáselmélet: Az általános elmélet. - Amszterdam: North-Holland Publishing , 1960. - S. 289-298. - ISBN 978-0-7204-0066-3 .
Robert Wald . Általános relativitáselmélet. - Chicago: The University of Chicago Press , 1984. - 136-146. - ISBN 978-0-226-87032-8 .
Walter, S. Betörés a 4-vektorban: a négydimenziós mozgás a gravitációban, 1905–1910 // The Genesis of General Relativity / Renn, J.. - Berlin: Springer, 2007. - Vol. 3. - P. 193-252.

Weinberg , S. Gravitáció és kozmológia . - New York: John Wiley and Sons , 1972. - S. 185-201 . — ISBN 978-0-471-92567-5 .
Whittaker, ET Értekezés a részecskék és merev testek analitikai dinamikájáról, bevezetővel a három test problémájába . — 4. - New York: Dover Publications , 1937. - P. 389-393. — ISBN 978-1-114-28944-4 .