A csomóelméletben a királis csomó olyan csomó , amely nem egyenértékű a tükörképével. A tükörképének megfelelő orientált csomót amfikirális csomónak vagy akirális csomónak nevezzük . A csomó kiralitása a csomóinvariáns . A csomók kiralitása tovább osztályozható aszerint, hogy reverzibilis -e vagy sem.
A kiralitás és a reverzibilitás által meghatározott csomószimmetriáknak mindössze 5 típusa van: teljesen királis, reverzibilis, pozitívan amfikirális irreverzibilis, negatívan amfikirális irreverzibilis és teljesen amfikirális reverzibilis [1] .
Max Dehn 1914-ben régóta gyanította és bizonyította egyes csomók kiralitását . P. G. Tet sejtette, hogy minden amfikirális csomónak páros számú metszéspontja van , de Morven Thisluit 1998-ban talált egy ellenpéldát [2] . Tate sejtése azonban bebizonyosodott egyszerű váltakozó csomókra [3] .
A kereszteződések száma | 3 | négy | 5 | 6 | 7 | nyolc | 9 | tíz | tizenegy | 12 | 13 | tizennégy | tizenöt | 16 | OEIS sorozat |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Királis csomók | egy | 0 | 2 | 2 | 7 | 16 | 49 | 152 | 552 | 2118 | 9988 | 46698 | 253292 | 1387166 | N/A |
Kétoldalú csomók | egy | 0 | 2 | 2 | 7 | 16 | 47 | 125 | 365 | 1015 | 3069 | 8813 | 26712 | 78717 | A051769 |
Teljesen királis csomók | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 27 | 187 | 1103 | 6919 | 37885 | 226580 | 1308449 | A051766 |
Amphichiral csomók | 0 | egy | 0 | egy | 0 | 5 | 0 | 13 | 0 | 58 | 0 | 274 | egy | 1539 | A052401 |
Pozitívan amfikirális csomópontok | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | egy | 0 | 6 | 0 | 65 | A051767 |
Negatívan amfikirális csomópontok | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | egy | 0 | 6 | 0 | 40 | 0 | 227 | egy | 1361 | A051768 |
Teljesen amfikirális csomópontok | 0 | egy | 0 | egy | 0 | négy | 0 | 7 | 0 | 17 | 0 | 41 | 0 | 113 | A052400 |
Bal lóhere.
Jobb lóhere.
A legegyszerűbb királis csomó a háromlevelű levél , amelynek kiralitását Max Dehn mutatta ki . Minden tóruszcsomó királis. Az Alexander-polinom nem tudja meghatározni a csomó kiralitását, de a Jones -polinom bizonyos esetekben igen. Ha V k ( q ) ≠ V k ( q −1 ), akkor a csomó királis, de ennek fordítva nem feltétlenül igaz. A HOMFLY polinom még jobban felismeri a kiralitást, de még nem ismert olyan polinomiális csomóinvariáns , amely teljes mértékben meghatározná a kiralitást [4] .
A reverzibilis királis csomót bilaterálisnak nevezzük [5] . A kétoldalas csomók példái közé tartozik a trefoil.
Ha egy csomópont nem ekvivalens sem az inverzével , sem a tükörképével, akkor teljesen királisnak nevezzük, erre példa a 9 32 [5] csomópont .
Az amfikirális csomó olyan csomó, amelynek α 3 gömb autohomeomorfizmusa van , amely megfordítja az orientációt , és a csomót halmazként rögzíti.
Minden amfikirális váltakozónak páros számú metszéspontja van . Az első amfikirális csomót páratlan számú keresztezéssel, nevezetesen 15 keresztezéssel Hoste és munkatársai találták meg [3] .
Ha egy csomó izotóp az inverzéhez és a tükörképéhez képest, akkor azt teljesen amfikirálisnak mondják. A legegyszerűbb csomó ezzel a tulajdonsággal a nyolcas szám .
Ha egy α autohomeomorfizmus megőrzi a csomó orientációját, akkor pozitív amfichiralitásról beszélünk. Ez megegyezik a csomópont izotópiájával a tükörképéhez képest. A 12-nél kevesebb metszésponttal rendelkező csomópontok egyike sem pozitívan amfikirális [5] .
Ha egy α autohomeomorfizmus megfordítja a csomó tájolását, akkor negatív amfichiralitásról beszélünk. Ez megegyezik a csomó izotópiájával fordított tükörképben. Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező csomópont minimális számú metszésponttal 8 17 [5] .