Királis csomó

A csomóelméletben a királis csomó  olyan csomó , amely nem egyenértékű a tükörképével. A tükörképének megfelelő orientált csomót amfikirális csomónak vagy akirális csomónak nevezzük . A csomó kiralitása a csomóinvariáns . A csomók kiralitása tovább osztályozható aszerint, hogy reverzibilis -e vagy sem.

A kiralitás és a reverzibilitás által meghatározott csomószimmetriáknak mindössze 5 típusa van: teljesen királis, reverzibilis, pozitívan amfikirális irreverzibilis, negatívan amfikirális irreverzibilis és teljesen amfikirális reverzibilis [1] .

Háttér

Max Dehn 1914-ben régóta gyanította és bizonyította egyes csomók kiralitását . P. G. Tet sejtette, hogy minden amfikirális csomónak páros számú metszéspontja van , de Morven Thisluit 1998-ban talált egy ellenpéldát [2] . Tate sejtése azonban bebizonyosodott egyszerű váltakozó csomókra [3] .

• Mindkét lehetséges lóhere .

• Bal lóhere.

• Jobb lóhere.

A legegyszerűbb királis csomó a háromlevelű levél , amelynek kiralitását Max Dehn mutatta ki . Minden tóruszcsomó királis. Az Alexander-polinom nem tudja meghatározni a csomó kiralitását, de a Jones -polinom bizonyos esetekben igen. Ha V k ( q ) ≠  V k ( q −1 ), akkor a csomó királis, de ennek fordítva nem feltétlenül igaz. A HOMFLY polinom még jobban felismeri a kiralitást, de még nem ismert olyan polinomiális csomóinvariáns , amely teljes mértékben meghatározná a kiralitást [4] .

Kétoldali csomó

A reverzibilis királis csomót bilaterálisnak nevezzük [5] . A kétoldalas csomók példái közé tartozik a trefoil.

Teljesen királis csomó

Ha egy csomópont nem ekvivalens sem az inverzével , sem a tükörképével, akkor teljesen királisnak nevezzük, erre példa a 9 32 [5] csomópont .

Amphichiral csomó

Az amfikirális csomó olyan csomó, amelynek α 3 gömb autohomeomorfizmusa van , amely megfordítja az orientációt , és a csomót halmazként rögzíti.

Minden amfikirális váltakozónak páros számú metszéspontja van . Az első amfikirális csomót páratlan számú keresztezéssel, nevezetesen 15 keresztezéssel Hoste és munkatársai találták meg [3] .

Teljes amfichiralitás

Ha egy csomó izotóp az inverzéhez és a tükörképéhez képest, akkor azt teljesen amfikirálisnak mondják. A legegyszerűbb csomó ezzel a tulajdonsággal a nyolcas szám .

Pozitív amfichiralitás

Ha egy α autohomeomorfizmus megőrzi a csomó orientációját, akkor pozitív amfichiralitásról beszélünk. Ez megegyezik a csomópont izotópiájával a tükörképéhez képest. A 12-nél kevesebb metszésponttal rendelkező csomópontok egyike sem pozitívan amfikirális [5] .

Negatív amfichiralitás

Ha egy α autohomeomorfizmus megfordítja a csomó tájolását, akkor negatív amfichiralitásról beszélünk. Ez megegyezik a csomó izotópiájával fordított tükörképben. Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező csomópont minimális számú metszésponttal 8 17 [5] .

Jegyzetek

1. ↑ Hoste, Thistlethwaite, Weeks, 1998 , p. 33-48.
2. ↑ Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. " A csomóelmélet története és a csomók és hivatkozások bizonyos alkalmazásai archiválva 2011. augusztus 20-án a Wayback Machine -nél " , LinKnot .
3. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Amphichiral Knot  (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán . Hozzáférés: 2013. május 5.
4. ↑ P. Ramadevi, TR Govindarajan és RK Kaul "Chirality of Knots 9 42 and 10 71 and Chern-Simons Theory"
5. ↑ 1 2 3 4 Háromdimenziós invariánsok Csomotlasz

Irodalom

• Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. Az első 1 701 936 csomó // The Mathematical Intelligencer. - 1998. - T. 20 , sz. 4 . - doi : 10.1007/BF03025227 . Az eredetiből archiválva: 2013. december 15.