Fázistér

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2017. február 11-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 26 szerkesztést igényelnek .

A fázistér a matematikában és a fizikában olyan tér , amelynek minden pontja egy és csak egy állapotnak felel meg a rendszer összes lehetséges állapotának halmazából . A rendszer állapotának megfelelő térbeli pontot „ ábrázolónak ” vagy „ ábrázolónak ” nevezzük . Így a rendszer állapotainak változása, azaz dinamikája összevethető a reprezentáló pont mozgásával; ennek a pontnak a pályáját fázispályának nevezzük (meg kell jegyezni, hogy nem azonos a tényleges mozgáspályával), egy ilyen reprezentatív pont sebességét pedig fázissebességnek .. [A:1] [1]

A fázistér koncepcióját a 19. század végén fejlesztette ki Ludwig Boltzmann , Henri Poincaré és Willard Gibbs . [A:2]

Általános rendelkezések

Általában az euklideszi metrikával rendelkező tereket derékszögű vagy poláris koordinátarendszerrel választják ki .

Egy szabadságfokkal rendelkező rendszerek esetén a fázistér fázissíkká degenerálódik .

Fázispályák

A fázistérben (fázissíkban) lévő pálya egyenleteinek felhasználásával a vizsgált rendszerhez integrálgörbék készülnek , azaz olyan görbék a fázistérben, hogy az érintő minden pontjában a pályaegyenlet által megadott meredekség legyen. Az integrálgörbék geometriai felépítését " egyenletek minőségi integrációjának " nevezik . [2]

Az " integrálgörbe " és a " fázispálya " fogalmát általános esetben meg kell különböztetni, " mivel előfordulhat, hogy egy integrálgörbe nem egy, hanem egyszerre több fázispályából áll ." [3]

A görbék mintázata a fázistérben (a fázissíkon) a következőképpen írható le:

vagy egy egyenletet - koordináta formában , azaz időt nem tartalmazó egyenleteket használva - és vele integrálgörbéket tanulmányozva,
vagy egyenletrendszerrel írjuk le parametrikus formában , ahol a független változó , az idő, egy paraméter szerepét tölti be, és tanulmányozzuk a fázispályákat. [négy] $t$

Az ugyanazon görbecsalád ábrázolásának e két módja közötti különbségtétel szükségességét a legegyszerűbb konzervatív rendszer példáján mutatjuk be, amelyet az egyenletforma ír le . [négy] ${\ddot {x}}=f(x)$

A teljes fázispálya a fázistérben lévő görbe, amelyet a reprezentáló pont a mozgásának teljes idejére (-től -ig ) ír le. [3] $t=-\infty$ $t=+\infty$

Fázis portré

A vizsgált rendszer fázisportréja az összes lehetséges kezdeti feltételhez tartozó fázispályák halmaza . [3] Integrált elosztónak tekinthető . [A:3]

Mivel egy rendszer viselkedésének tanulmányozása során az embert elsősorban a rendszer stacionárius mozgásai érdeklik , [2] a fázisportrét a fázistér stacioner megoldások vonzási tartományaira való felosztásának is tekinthetjük. [A:1]

Az egyenletrendszer szinguláris pontjainak jellegének osztályozása elvégezhető a fázisportré jellemzői alapján, hiszen legalább néhány rendszer esetében a differenciálegyenlet-rendszer szinguláris pontjai egyben szinguláris pontok is. a differenciálgeometriában használt értelem . [négy]

F.p. általában valamilyen módon deformálódik a rendszerparaméterek megváltozásakor . Minőségi változás az f.p. megfelel a meglévő eltűnésének és új stacionárius megoldások megszületésének, és egy ilyen változás az f.p. bifurkációs helyzetnek nevezzük . [A:1]

A kényelem kedvéért a rendszer fázisportréjának tanulmányozása fel van osztva [4] a rendszermozgások természetének vizsgálatára:

közeli egyensúlyi állapotok,
az egész fázissíkon.

A fázisportré tanulmányozása során elsősorban a fázissíkon történő mozgások általános topológiai képe az érdekes. [négy]

Fázissebesség

A fázissebesség az a sebesség, amellyel a rendszer állapota megváltozik; a fázistérben a reprezentáló pont mozgási sebességének felel meg. [négy]

A fázissebesség nagyságának kiszámításához bevezetik a " fázissugárvektor " fogalmát , ahogyan azt a klasszikus mechanikában teszik. [3]

Például az egyenlettel leírt legegyszerűbb konzervatív rendszernél a reprezentáló pont sebességét a következőképpen számítjuk ki: ${\ddot {x}}=f(x)$

\mathbf {v} =\mathbf {i} y+\mathbf {j} f(x)

és mindenhol egyedileg definiálva lesz, és csak egy szinguláris ponton tűnik el. [4] A fázissebesség modulus ebben az esetben a következőképpen kerül kiszámításra:

v={\frac {ds}{dt}}={\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy} {dt}}\jobbra)^{2}}}={\sqrt {y^{2}+\left[f(x)\jobbra]^{2}}}

ahol:

{\frac {dx}{dt}}=y

és .

{\frac {dy}{dt}}=f(x)

A fázissebesség kiszámítása lehetővé teszi a rendszer változásainak pontosabb nyomon követését. Így például nyereg-csomópont bifurkáció esetén találhatunk olyan rendszerállapot-tartományt, amelyben a fázissebesség-modulus jelentős csökkenése következik be. [A:1]

Különböző típusú rendszerek jellemzői

Mechanikai rendszerek

A klasszikus mechanikában a sima elosztók fázistérként szolgálnak . A mechanikai rendszerek esetében ez egy páros dimenziós tér, amelyben a koordináták a rendszer részecskéinek és momentumaik (vagy általános impulzus ) szokásos térbeli koordinátái (vagy általánosított koordinátái ). Ezenkívül a mechanikában a reprezentatív pont mozgását viszonylag egyszerű Hamilton-egyenletek határozzák meg , amelyek elemzése lehetővé teszi, hogy következtetéseket vonjunk le összetett mechanikai rendszerek viselkedésére. [5]

Például egy szabad anyagpontból álló rendszer fázisterének 6 dimenziója van, amelyek közül három három közönséges koordináta, és három további impulzuskomponens. Ennek megfelelően a két szabad anyagpontból álló rendszer fázistere 12 dimenziót fog tartalmazni, és így tovább.

Termodinamika és statisztikai mechanika

A termodinamikában és a statisztikai mechanikában a "fázistér" kifejezésnek két jelentése van: 1) ugyanabban az értelemben használják, mint a klasszikus mechanikában; 2) utalhat térre is, amelyet a rendszer makroszkopikus állapotai paramétereznek, mint nyomás, hőmérséklet stb.

Dinamikus rendszerek

A dinamikus rendszerek elméletében és a differenciálegyenletek elméletében a fázistér általánosabb fogalom. Nem feltétlenül páros dimenziós, és a benne lévő dinamikát nem feltétlenül a Hamilton-egyenletek adják meg .

Több rendszer esete

Ha több azonos rendszert veszünk figyelembe, akkor a fázistérben több pontot kell megadnunk. Az ilyen rendszerek összességét statisztikai együttesnek nevezzük . Liouville tétele szerint egy Hamilton-rendszer fázisterének pontjaiból álló zárt görbe (vagy felület) úgy fejlődik, hogy a benne lévő fázistér területe (vagy térfogata) időben megmarad.

Példák

A fázistér fogalmát széles körben használják a fizika különböző területein. [B: 1] [B: 2] Nagyon hasznosnak bizonyult a bifurkációs memória jelenségeinek tanulmányozásához . [A:1]

A mozgó objektum állapotának fázistérbeli pontként való értelmezése feloldja Zénó paradoxonát . (A paradoxon az, hogy ha egy objektum állapotát a konfigurációs térben elfoglalt helyzetével írjuk le, akkor az objektum nem tud mozogni.)

Harmonikus oszcillátor

A legegyszerűbb autonóm oszcillációs rendszert „ harmonikus oszcillátornak ” nevezték ; dinamikáját a következő alakú lineáris differenciálegyenlet írja le:

{\ddot x}+\omega _{0}^{2}x=0.

Egy ilyen rendszer periodikus szinuszos (harmonikus) mozgásokat végez; oszcilláló mozgás nem csak az és esetben következik be , vagyis amikor az oszcillátor a kezdeti pillanatban egyensúlyi állapotban van - ebben az esetben tovább is benne marad. Egy ilyen rendszer fázispályájának koordinátaegyenlete integrál görbéket határoz meg hasonló (állandó tengelyarányú) ellipszisek családja formájában, és az f.p minden egyes pontján keresztül. egy és csak egy ellipszisen halad át. A jelzett egyensúlyi állapot ennek a rendszernek egy szinguláris pontja , nevezetesen a középpontja . [3] $x_{0}=0$ ${\pont {x}}_{0}=0$

Kvantumoszcillátor

A kvantumoszcillátor állapotainak fázistere lehetővé teszi egy erősítő kvantumzajjának leírását a tér hermitikus és antihermitikus összetevőinek bizonytalanságai alapján; ebben az esetben az erősítő által végrehajtott fázistér-transzformáció linearitásának feltételezése nem szükséges. [A:4] Az erősítő átviteli függvényének deriváltjai a kvantumzaj szintjének alsó korlátját határozzák meg. Nagyjából elmondható, hogy minél összetettebb az átalakítás, annál nagyobb a kvantumzaj.

A fázistér lehetővé teszi a klasszikus és a kvantummechanika egységes formalizmusának felépítését. [A:5] Az evolúciós operátor a Poisson zárójelben van megfogalmazva; kvantum esetben ez a zárójel egy közönséges kommutátor. Ebben az esetben a klasszikus és a kvantummechanika ugyanazokra az axiómákra épül; olyan kifejezésekkel vannak megfogalmazva, amelyek mind a klasszikus, mind a kvantummechanikában értelmesek.

Káoszelmélet

Klasszikus példák a káoszelmélet fázisdiagramjaira :

Lorentz attraktor
Népességnövekedés (azaz logisztikai térképezés )
Komplex másodfokú polinomok paraméteres síkja Mandelbrot halmazzal .

Optika

A fázisteret széles körben használják a nem képalkotó optikában , [B: 3] az optika egy ága, amelyet világítással és napelemekkel foglalkoznak. A hamiltoni optikában is fontos fogalom .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Andronov, 1981 , p. 38-41.
↑ 1 2 Andronov, 1981 , Bevezetés, p. 15-34.
↑ 1 2 3 4 5 Andronov, 1981 , I. fejezet, lineáris rendszerek, p. 35-102.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Andronov, 1981 , II. fejezet. Konzervatív nemlineáris rendszerek, p. 103-167.
↑ V. I. Arnold , V. V. Kozlov , A. I. Neishtadt , A klasszikus és égi mechanika matematikai vonatkozásai , Dinamikus rendszerek - 3, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. mat. Fundam. irányok, 3, VINITI, M., 1985, 5-290.

Irodalom

Könyvek

↑ Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Az oszcillációk elmélete. - 2. kiadás, átdolgozva. és javítva - M . : Nauka , 1981. - 918 p.
↑ Lichtenberg A. A részecskék dinamikája a fázistérben. — M .: Atomizdat , 1972. — 304 p.
↑ Julio Chaves. Bevezetés a nem képalkotó optikába . - Második kiadás. - CRC Press , 2015. - 786 p. — ISBN 978-1482206739 . Archiválva : 2016. február 18. a Wayback Machine -nál

Cikkek

↑ 1 2 3 4 5 Feigin M.I. A bifurkációs memóriahatások megnyilvánulása egy dinamikus rendszer viselkedésében // Soros Educational Journal : Journal. - 2001. - T. 7 , 3. sz . - S. 121-127 . Az eredetiből archiválva : 2007. november 30. (Orosz)
↑ Nolte, DD A fázistér kusza meséje // Physics Today: Journal. - 2010. - 20. évf. 63 , sz. 4 . — P. 31–33 . - doi : 10.1063/1.3397041 .
↑ Neishtadt, Anatolij. A dinamikus bifurkáció stabilitásvesztési késleltetéséről (angol) // Discrete and Continuous Dymanical Systems - Series S: Journal. - 2009. - 1. évf. 2 , sz. 4 . - P. 897-909 . — ISSN 1937-1632 . - doi : 10.3934/dcdss.2009.2.897 .
↑ Kuznetsov D. , Roilich D. Kvantumzaj fázistér leképezésben // Optika és spektroszkópia : folyóirat. - 1997. - T. 82 , 6. sz . - S. 990-995 . (Orosz)
↑ Shirokov Yu. M. Kvantum- és klasszikus mechanika a fázistér ábrázolásában // ECHAYA : folyóirat. - 1979. - T. 10 , 1. sz . — S. 5–50 . (Orosz)

Linkek

A fogalom meghatározásához lásd még a szótárakat:
- Nagy szovjet enciklopédia.
- Matematikai enciklopédia. — M.: Szovjet Enciklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
- Fizikai enciklopédia.
- Közgazdasági és matematikai szótár.
A "Physical Encyclopedia" internetes portálon lásd az f.p fogalmát tisztázó cikkeket. statisztikai fizikában és f.p. a dinamikus rendszerek elméletében .
Állapottér a Scholarpedia.org oldalon