Rács (geometria)

A rács euklideszi térvektorok halmaza , amelyek összeadás útján diszkrét csoportot alkotnak . $\mathbb {R} ^{n}$

Kapcsolódó fogalmak

Egy lineárisan független vektorrendszert, amely rácsot generál , bázisának nevezzük . Két vektorhalmaz akkor és csak akkor állítja elő ugyanazt a dimenziós rácsot, ha ezeknek a halmazoknak a vektorainak koordinátáinak oszlopvektoraiból összeállított és mátrixok az egymoduláris mátrixszal jobbra szorozva vannak összekötve : , . Ezért lehetséges a -dimenziós térben a maximális rangú rácsokat koszetekkel [1] társítani . $n$ $B_1$ $B_{2}$ $B_{1}=B_{2}U$ $U\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$ $n$ $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

A rács determinánsa egy mátrix determinánsa, amely az azt generáló vektorok koordinátáiból áll. Ez egyenlő az alapterületének térfogatával , amely egy paralelepipedon , és a rács kovolumájának is nevezik .

A vektorok normáját az euklideszi tér rácselméletében általában nem a vektor hosszának, hanem négyzetének nevezik . $v$ $\|v\|^{2}$

A rács neve: $\Gamma \subset \mathbb{R} ^{n}$

Egész szám , ha bármelyik két vektorának skaláris szorzata egész szám:

\forall u,v\in \Gamma \quad \langle u,v\rangle \in \mathbb{Z } .

Még akkor is , ha bármelyik vektorának normája páros:

\forall v\in \Gamma \quad \langle v,v\rangle \in 2\mathbb {Z} .

Unimoduláris , ha az alapvető paralelepipedon 1-es térfogatú.

Egy rács egy nullától eltérő vektorát primitívnek nevezzük , ha nem kollineáris ennek a rácsnak egyetlen rövidebb, nullától eltérő vektorával sem.

A rács primitív vektorát a reflexió tekintetében, amely mentén a rács invariáns, a rács gyökerének nevezzük . A rácsgyökerek halmaza gyökérrendszert alkot . Minden gyökei által generált rács hasonló az 1-es vagy 2-es normájú vektorok által generált rácsokhoz. Az ilyen rácsot gyökérrácsnak nevezzük [2] .

A rács és a rács kettőse egy olyan rács, amelyet vagy jelöl, és definíciója: $\Gamma$ $\Gamma ^{*}$ $\Gamma ^{\vee }$

\Gamma ^{*}=\{u\mid \forall v\in \Gamma \quad \langle u,v\rangle \in \mathbb {Z} \}.

Egy rácsot önduálisnak nevezünk, ha egybeesik önmagához tartozó duálisával.

Az alrács egy rács alcsoportja.

Definiálhatunk egy objektumot, analóg egy rácsot egy affin térben - egy affin rácsot; egy pont pályája az affin térben a rácsvektorok eltolódásának hatására.

A fizikában a háromdimenziós térben a szimmetriájuk szerint osztályozott rácsokat Bravais -rácsnak nevezik , a kettős rácsot a reciprok rácsnak , az alapvető paralelepipedont a (primitív) egységcellának nevezik .

Egy rács Cayley-gráfját (végtelen) rácsnak is nevezik .

Tulajdonságok

Ha a rács egész szám, akkor . $\Gamma$ $\Gamma \subset \Gamma ^{*}$
A szorzatban a rács és a kettősének kovolumai 1-et adnak.
Egy teljes unimoduláris rács automatikusan önduális.
Az önduális rácsok is csak nyolccal osztható méretű terekben léteznek.
Egy rács izometriacsoportja mindig véges.

Példák

Izometria és hasonlóság osztályai

A rácsokat, más geometriai objektumokhoz hasonlóan, gyakran a körülvevő euklideszi tér mozgásaiig (önmagukba eső izometriákig) tekintik – az origó körüli forgások és a rajta áthaladó síkok visszaverődései. Egy ilyen transzformáció a rács alapjának koordinátáiból álló mátrixra hat, mint a bal oldali ortogonális mátrixszal való szorzás . Ezért a rácsok izometria osztályai - a rácsok izometriákra vonatkozó ekvivalencia osztályai - az invertálható mátrixok csoportjának kétoldali szomszédsági osztályaihoz rendelhetők : [3] . $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

Ezenkívül néhány feladatban a rácsokat a hasonlóságig figyelembe veszik ; az ilyen transzformációk egy mátrixra úgy hatnak, mint az elemekkel való szorzás (nullatól eltérő valós számok halmazai). A rácsok hasonlósági osztályai a szomszédsági osztályoknak felelnek meg [3] . $\mathbb {R} ^{*}$ $\mathbb {R} ^{*}\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm { GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

Bilineáris és másodfokú formák

A rács szorosan összefüggő, " számelméleti " definíciója egy véges rangú (vagyis izomorf ) absztrakt szabad Abel-csoport , amelyen pozitív-definit szimmetrikus bilineáris forma található; bilineáris alak helyett másodfokút is megadhatunk . Ahhoz, hogy ez a definíció ekvivalens legyen a rácsok (pontosabban izometria osztályai) fent megadott "geometriai" definíciójával, figyelembe kell venni a másodfokú formákat egy bizonyos ekvivalencia relációig. $\mathbb{Z } ^{n}$

Ha adott egy rács és az alapja, akkor a megfelelő másodfokú alak mátrixa ennek a bázisnak a Gram -mátrixa . Pozitív határozott másodfokú alak mint funkcionális on megadható , (akkor a másodfokú alak mátrixa ), és ez nem változik, ha a vektort ortogonális transzformációnak vetjük alá, tehát a pozitív határozott másodfokú formák egy-egyben vannak. -egy levelezés cosetekkel . Ha olyan ekvivalens formákat tekintünk, amelyek mátrixai és mátrixai egy unimoduláris mátrixon keresztül kapcsolódnak egymáshoz , akkor a másodfokú formák ekvivalenciaosztályai egy az egyhez megfelelnek a koszetekkel – és így a rácsok izometriaosztályaival [3] . $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle v\mapsto \|Av\|^{2))$ $A\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ $Q=A^{\mathrm {T} }A$ $Av$ $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ $Q_1$ $Q_{2}$ $U$ $U^{\mathrm {T} }Q_{1}U=Q_{2}$ $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

Az összetett síkon

Kétdimenziós esetben a környező euklideszi teret a komplex síkkal , a rácsvektorokat pedig komplex számokkal azonosíthatjuk. Ha a rács pozitívan orientált bázisát egy komplex számpár reprezentálja , akkor hasonlósági transzformációval át lehet lépni egy bázisú rácsba, amely után a rácsban a bázis változása az orientáció megőrzésével egy a felső félsík lineáris-tört transzformációja - a moduláris csoport eleme . $(\omega _{1},\omega _{2})$ $(1,\omega _{2}/\omega _{1})$

Alkalmazások

Különféle geometriai problémák kapcsolódnak a rácsokhoz, mint például az egyenlő gömbök szoros egymáshoz illeszkedése . A hibajavító kódolás kódjai is rácsokon alapulnak . A rácsos kriptográfia mögött sok rácselmélet probléma áll .

Általánosítások

Ha egy szabad Abel-csoporthoz olyan bilineáris alakot társítunk, amely nem pozitív határozott, akkor az eredmény egy rács lesz egy pszeudo-euklideszi térben .
A maximális rangú rácsnak véges térfogatú alapvető tartománya van . A Lie-csoportok és néhány más terület elméletében egy csoportban lévő rács egy diszkrét részcsoport, amelyhez képest a csoport hányadosterének térfogata véges, ami általánosítja ezt a tulajdonságot. $\mathbb {R} ^{n}$ $G$ $G$
Általánosabb algebrai szempontból a rács egy szabad modul , amely egy vektortérbe van beágyazva egy számmező felett , amely -ben található . Ezt a koncepciót általánosíthatjuk úgy, hogy egy tetszőleges, véges torziómentes modult vizsgálunk egy integrálgyűrű felett , amely vektortérbe van beágyazva a [4] hányadosainak mezője fölött . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $R$ $R$

Jegyzetek

↑ Martinet, 2003 , p. 3.
↑ Martinet, 2003 , p. 131-135.
↑ 1 2 3 Martinet, 2003 , p. 20-22.
↑ Reiner, I. Maximális rendelések . - Oxford University Press , 2003. - Vol. 28. - P. 44. - (London Mathematical Society Monographs. New Series). — ISBN 0-19-852673-3 .

Irodalom

J. Conway, N. Sloan. Labdák, rácsok és csoportok csomagolása. — M.: Mir, 1990.
Jacques Martinet. Tökéletes rács az euklideszi terekben. - Springer, 2003. - Erratum . - ISBN 978-3-642-07921-4 . - doi : 10.1007/978-3-662-05167-2 .