Cayley-Dixon eljárás

A Cayley-Dixon eljárás ( kettőzési eljárás ) egy iteratív eljárás algebrák felépítésére egy mezőn (vagy egy gyűrűn ), a méret megkettőzésével minden lépésben. Arthur Cayley és Leonard Dixon nevéhez fűződik .

Ez az eljárás lehetővé teszi, hogy a valós számokból egymás után építsük fel a kiterjesztéseket : komplex számok , kvaterniók , oktonok , sedenionok stb. Hurwitz tételében is használják az összes normált osztási algebra megtalálására . Tehát e tétel szerint a valós számok , a komplex számok , a kvaterniók és az oktonok az egyetlen normált osztási algebrák (a valós számok mezején).

A Cayley-Dixon algebrák tulajdonságai

Algebra	Méret ( n )	Rendezettség _	Szorzás tulajdonságai				A semlegesek hiánya . nulla osztó
Algebra	Méret ( n )	Rendezettség _	Kommutativitás _	asszociativitás _	Alternatív _	Hatalom asszociativitás _	A semlegesek hiánya . nulla osztó
Valós számok ( ) $\mathbb {R}$	egy	Igen	Igen	Igen	Igen	Igen	Igen
Komplex számok ( ) $\mathbb {C}$	2	Nem	Igen	Igen	Igen	Igen	Igen
Quaterniók ( ) ${\mathbb {H}}$	négy	Nem	Nem	Igen	Igen	Igen	Igen
Octonions ( ) ${\mathbb {O}}$	nyolc	Nem	Nem	Nem	Igen	Igen	Igen
Sedenions ( ) $\mathbb{S}$	16	Nem	Nem	Nem	Nem	Igen	Nem
	> 16	Nem	Nem	Nem	Nem	Igen	Nem

A mezőszimmetriák száma a Cayley-Dixon eljárás minden egyes alkalmazásával csökken: először a rendezés tűnik el , majd a szorzás kommutativitása , majd a szorzás asszociativitása , végül a szorzás alternatívája (lásd a táblázatot). De ugyanakkor minden algebra megtartja a szorzás hatványasszociativitását , és definíció szerint [1] egységesek, és szorzásuk elosztó az összeadáshoz képest .

Általánosabb értelemben a Cayley-Dixon eljárás bármely involúciós algebrát átvesz egy másik algebrába, amelynek involúciója kétszer akkora [2] :45 .

Általános eset

Ha egyes számokra vannak fogalmak: szorzás , konjugált szám és számnorma as (lásd összetétel algebra ), akkor ezek a fogalmak rendezett számpárokra is bevezethetők : $a$ $b$ $\ |a|^{2}=a{\bar {a}}$ $(a,b)$

$(a,b)(c,d)=(ac-{\bar {d}}b,da+b{\bar {c}})$ - a párok szorzásának törvénye,

${\overline {(a,b)))=({\bar {a)),-b)$ - konjugált pár.

Tulajdonságok

rendezett pár (bővített) normája:

|(a,b)|^{2}=(a,b){\overline {(a,b)}}=(a,b)({\bar {a}},-b)= (a{\bar {a}}+b{\bar {b}},ba-ba)=(|a|^{2}+|b|^{2},0)=|a|^{2 }+|b|^{2}

— csak akkor egyenlő nullával, ha a = b = 0 .

Ha az eredeti algebra asszociatív osztási algebra volt , akkor a (bővített) osztást vagy mintával definiáljuk , ami azt jelenti, hogy az előző tulajdonság nulla osztók hiányát jelenti . $\r/q$ ${\displaystyle {\frac {r{\bar {q}}}{|q|^{2))))$ ${\displaystyle {\frac {{\bar {q}}r}{|q|^{2))))$

Ha ez igaz a számokra, akkor igaz a rendezett párokra: $\ {\overline {ab}}={\bar {b}}\cdot {\bar {a)),$

{\overline {(a,b)(c,d)}}=({\bar {c}}{\bar {a}}-{\bar {b}}d,-da-b{ \bar {c)))=({\bar {c)),-d)({\bar {a)),-b)={\overline {(c,d)))\cdot {\overline { (a,b)}}.

Ha az eredeti algebra asszociatív , akkor a kiterjesztett algebra normalizálódik , mert:

|rq|^{2}=(rq){\overline {(rq)))=(rq)({\bar {q)){\bar {r)))=r(q{\bar {q))){\bar {r}}=|r|^{2}\cdot |q|^{2}.

Általános esetben az eredmény egy nem asszociatív algebra.

Öröklött

Ha az eredeti algebrának van egysége , akkor (1, 0) a kiterjesztett algebra egysége.

Ha az eredeti algebrában minden x + x * vagy x x * alakú elem az összes elemhez kapcsolódik és ingázik, akkor a kiterjesztett algebra is így van ezzel. Konkrétan bármely elem kommutatív *-algebrát generál , ami a hatványok asszociativitási tulajdonságát jelenti .

Legyengült

Ha az eredeti algebra kommutatív és a konjugáció azonos , akkor a kiterjesztett algebra kommutatív.
Ha az eredeti algebra kommutatív és asszociatív , akkor a kiterjesztett algebra asszociatív.
Ha az eredeti algebra asszociatív, és az eredeti algebrában minden x + x * vagy x x * alakú elem ingázik az összes elemmel, akkor a kiterjesztett algebra alternatív .

A számok példáján nyomon követhető, hogy a C mező (nem triviális ragozású *-algebra) hogyan keletkezik az azonos ragozású R mezőből , amelyből egy nem kommutatív H *-algebra ( test ) , amelyből egy nem asszociatív O algebrát kapunk , de alternatív és normalizált, így nulla osztók nélkül. A további algebráknak nulla osztói lesznek, mivel a szorzás már nem lesz kompatibilis a normával.

Alkalmazások

Komplex számok

A Cayley-Dixon eljárás a komplex számok valós számok rendezett párjaként való definíciójának felel meg.

Quaternions

Egy tetszőleges kvaternió ábrázolható a következővel: vagy ezzel egyenértékűen, ahol a komplex számok , mivel ez mind a komplex számokra, mind a kvaterniókra vonatkozik, és . $\q=a+bi+cj+dk$ $\ q=(a+bi)+(c+di)j$ $\ q=z_{1}+z_{2}\cdot j,\quad z_{1}=a+b\cdot i,\quad z_{2}=c+d\cdot i,$ $\z_{1},z_{2}$ $\ i^{2}=-1$ $k=i\cdot j$

Vegyünk még egy kvaterniót A zárójeleket megszorozva és kibővítve (mivel a kvaterniók szorzása asszociatív ), a következőt kapjuk: $\ r=w_{1}+w_{2}j.$

\ qr=(z_{1}+z_{2}j)(w_{1}+w_{2}j)=z_{1}w_{1}+z_{1}w_{2}j+ z_ {2}jw_{1}+z_{2}jw_{2}j.

Azóta a tényezőket átrendezve a következőket kapjuk: $\zj=j{\bar {z)),\;zw=wz,$ $\ qr=(z_{1}w_{1}-{\bar {w_{2))}z_{2})+(w_{2}z_{1}+z_{2}{\bar { w_{1}}})j.$

Ezért a kvaterniók definiálhatók a forma kifejezéseiként , kielégítve a fenti szorzási képletet. Ez a képlet abból a szempontból érdekes, hogy kibővíti a szorzási képletet tisztán komplex számokra (vagyis a -vel rendelkező kvaterniókra ). $\z_{1}+z_{2}\cdot j$ $z_{2}=w_{2}=0$

Általánosítások

Az előző képletek hiperkomplex rendszereket építenek fel, amikor a " képzeletbeli kiterjesztési egység" négyzete " -1 " -gyel egyenlő . De párok létrehozásakor az új "képzetes egység" négyzete [3] felvehető "+1"-nek vagy akár "0"-nak, és a párszorzás (kiterjesztett) törvénye is megváltoztatható (lásd Clifford algebra ). Igaz, akkor a normát és a ragozásokat (különböző típusú) nehezebben kell felépíteni, és nem triviális nullaosztók is felmerülhetnek.

Jegyzetek

↑ Kantor I. L., Solodovnikov A. S. Hiperkomplex számok . - Moszkva: Nauka , 1973. - S. 33-34. — 144 p. (Orosz)
↑ Schafer, Richard D. (1995), Bevezetés a nem asszociatív algebrákba , Dover Publications , ISBN 0-486-68813-5 , < https://archive.org/details/introductiontono0000scha >
↑ Albert, Abraham Adrian . A másodfokú formák lehetővé teszik a kompozíciót. A matematika évkönyvei. Második sorozat, vol. 43, pp. 161–177

Linkek

Dickson, L.E. (1919), A kvaterniókról és azok általánosításáról, valamint a nyolc négyzettétel története , Annals of Mathematics , Second Series (Annals of Mathematics). – T. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1967865
HyperJeff felvázolja a hiperkomplex számok történetét 1996–2006
I.L. Kantor, A.S. Szolodovnyikov. hiperkomplex számok. - Moszkva, "Nauka". – 1973.
E.A. Karataev „Hiperkomplex számok. osztályozó"

Numerikus rendszerek
Megszámlálható készletek	Természetes számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Egész számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racionális ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrai ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Időszakok Kiszámítható Számtan
Valós számok és kiterjesztéseik	Igazi ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaterniók ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-számok (oktávok, oktonok) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternionok Dupla Hiperkomplex Szuperreális Hiperanyag szürreális
Numerikus bővítő eszközök	Cayley-Dixon eljárás Frobenius tétel Hurwitz-tétel
Egyéb számrendszerek	tőszámnevek Sorszámok (transzfinit, sorszámok) p-adic Természetfeletti számok intervallum számok
Lásd még	dupla számok Irracionális számok transzcendentális számok számsugár Biquaternion