Projektív tér

A mező feletti projektív tér egy adott mező feletti $K$ lineáris tér vonalaiból (egydimenziós altereiből ) álló tér . Az egyenes tereket a projektív tér pontjainak nevezzük . Ez a definíció tetszőleges testre általánosítható, abban az esetben, ha a mezőt vagy a megfelelő projektív teret valósnak vagy komplexnek nevezzük . $L(K)$ $L(K)$ $K.$ $K=\mathbb {R}$ $K=\mathbb {C}$

Ha dimenziója van , akkor a projektív tér dimenzióját számnak nevezzük , magát a projektív teret pedig jelöljük és társítva nevezzük (ennek jelzésére a jelölést veszik át ). $L$ $n+1$ $n$ $KP^n$ $L$ $P(L)$

A dimenziós vektortérből a megfelelő projektív térbe való átmenetet térprojektivizációnak nevezzük . $L(K)$ $n+1$ $KP^n$ $L(K)$

A pontok homogén koordinátákkal írhatók le . $KP^n$

A definíció hányadostérként

Azonosítva azokat a pontokat , ahol különbözik a nullától, egy tényezőhalmazt kapunk (az ekvivalencia relációval ) $(x_{0},\ldots ,x_{n})\sim (\lambda x_{0},\ldots ,\lambda x_{n})$ $\lambda$ $\sim$

\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} ):=(\mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{\mathbf {0} \})/{\sim }

A projektív tér pontjait jelöljük , ahol a számokat homogén koordinátáknak nevezzük [1] . Például, és jelölje ugyanazt a pontot a projektív térben. $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ $x_{i}$ $[1:2:3]$ $[2:4:6]$

Axiomatikus definíció

A projektív teret Hilbert -típusú axiómarendszerrel is meghatározhatjuk . Ebben az esetben a projektív teret olyan rendszerként definiáljuk, amely pontok halmazából , vonalak halmazából és egy beesési relációból áll , amelyet általában úgy fejeznek ki, hogy "egy pont egy egyenesen fekszik", a következő axiómák kielégítésével: $P$ $L$ $én$

Bármely két különálló pont esetén mindkét pontra egyedi vonal esik;
Minden vonal legalább három pontra esik;
Ha a és a vonalak metszik egymást (közös beesési pontjuk van), a és pontok a vonalon fekszenek , és a pontok és a vonalon fekszenek, akkor a és a vonalak metszik egymást. $L$ $M$ $p$ $q$ $L$ $s$ $r$ $M$ $ps$ $qr$

A projektív tér altere a halmaz egy olyan részhalmaza , amelynél ezen részhalmazok bármelyikéhez az egyenes minden pontja tartozik . Egy projektív tér dimenziója a legnagyobb szám úgy, hogy létezik az alakzat altereinek szigorúan növekvő lánca . $T$ $P$ $p,q\in P$ $pq$ $T$ $P$ $n$

\varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P

Osztályozás

0. dimenzió: a tér egyetlen pontból áll.
1. dimenzió ( projektív vonal ): tetszőleges, nem üres ponthalmaz, és az egyetlen egyenes, amelyen ezek a pontok fekszenek.
2. dimenzió ( projektív sík ): ebben az esetben az osztályozás bonyolultabb. Egyes testek minden látósíkja kielégíti Desargues-féle axiómát , de vannak nem desarguesi síkok is . $KP^n$ $K$
Nagy dimenziók: A Veblen - Young tétel [2] szerint bármely kettőnél nagyobb dimenziójú projektív tér megkapható egy modul valamilyen osztásgyűrű feletti projektivizálásaként.

Kapcsolódó definíciók és tulajdonságok

Legyen egy hipersík egy lineáris térben . A projektív teret projektív hipersíknak nevezzük . $M$ $L$ $P(M)\részhalmaz P(L)$ $P(L)$
A projektív hipersík komplementerén természetes affin térstruktúra található . $A=P(L)\backslash P(M)$
Ezzel szemben, ha az affin teret vesszük alapul , egy projektív teret kaphatunk affinként, amelyre az ún. pont a végtelenben. A projektív teret eredetileg így vezették be. $A$
Legyen és két projektív altér. A halmazt a halmaz projektív héjának nevezzük, és jelöli . [3] $P(L')$ $P(L'')$ $P(L'+L'')$ $P(L') \pohár P(L'')$ $P(L' + L'') = \overline {P(L') \cup P(L'')}$

Tautológiai köteg

A tautologikus köteg olyan vektorköteg, amelynek kötegtere a közvetlen szorzat részhalmaza $\gamma ^{n}\colon E\to \mathbb {R} P^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1))$

E(\gamma ^{n}):={\big \{}(\{\pm x\},v)\in \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}:v=\lambda x,\;\lambda \in \mathbb {R} {\big \))

és a réteg egy valódi vonal . A kanonikus vetület leképezi a pontokon áthaladó egyenest a projektív tér megfelelő pontjára. Ráadásul ez a csomag nem triviális . Amikor a kötegtér a Möbius-szalag . $\mathbb {R}$ $\gamma^n$ $\pm x\in \mathbb {R} ^{n+1}$ $n\geqslant 1$ $n=1$

Jegyzetek

↑ Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Lineáris algebra és geometria, 3. rész, par. 6, M .: Nauka 1986
↑ Veblen, Oswald; Young, John Wesley . projektív geometria. Vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn és Társa. New York-Toronto-London, 1965 (1910-es kiadás utánnyomása)
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria, ch. 9, par. 1, - Fizmatlit, Moszkva, 2009.

Irodalom

Artin E. Geometriai algebra - M .: Nauka, 1969.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometria. Módszerek és alkalmazások. - M .: Nauka, 1979.
Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Lineáris algebra és geometria - M .: Nauka 1986.
Hartshorne R. A projektív geometria alapjai - M. : Mir, 1970.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria, Fizmatlit, Moszkva, 2009.
Alexandrov A. D. , Netsvetaev N. Yu. Geometria. - Nauka, Moszkva, 1990.
Baer R. Lineáris algebra és projektív geometria. - URSS, Moszkva, 2004.
Finikov S.P. Analitikus geometria: előadások kurzusa. – URSS, Moszkva, 2008.

A tér mérete
Terek méret szerint	Nulla dimenziós egydimenziós 2D 3D négydimenziós ötdimenziós Hatdimenziós Hétdimenziós nyolcas Kilencdimenziós n-dimenziós Negatív dimenzió
Politópok és figurák	Simplex hiperkocka tesserakt Hipertéglalap (ortotop) Félhiperkocka Keresztpolitóp hiperszféra
A terek típusai	véges dimenziós tér Euklideszi tér affin tér projektív tér Ingyenes modul Elosztó Egy algebrai változó mérete téridő
Egyéb dimenziós fogalmak	Krull dimenzió Lebesgue dimenzió Induktív dimenzió Törtdimenzió ( Minkowski - dimenzió , Hausdorff - dimenzió ) fraktál dimenzió A szabadság fokai
Matematika