Felületi integrálok

A görbe vonalú integrálokhoz hasonlóan kétféle felületi integrál létezik.

Az első típusú felületi integrál

Definíció

Legyen sima, határolt teljes felület . Legyen a továbbiakban egy függvény . Tekintsük ennek a felületnek a felosztását részekre sima görbékkel, és válasszunk egy tetszőleges pontot minden ilyen részen . Miután kiszámolta a függvény értékét ezen a ponton , és figyelembe véve a felületet , tekintse az összeget $\Phi$ $\Phi$ $f(M)=f(x,y,z)$ $T$ $\Phi _{i}\ (i=1,\pontok ,n)$ $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$ $f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})$ $\sigma_i$ $\Phi _{i}$

I\{\Phi _{i},M_{i}\}=\sum _{i}f(M_{i})\sigma _{i}.

Ekkor a számot összeghatárnak nevezzük , ha $én$ $I\{\Phi _{i},M_{i}\}$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall T:d(T)<\delta \ \forall \{M_{i}\}\ {\bigl |}I\{\Phi _{i},M_{i}\}-I{\bigr |}<\varepsilon .

Az at összegek határértékét az első típusú függvény felületi integráljának nevezzük , és a következőképpen jelöljük: $én$ $I\{\Phi _{i},M_{i}\}$ $d(T)\to 0$ $f(M)$ $\Phi$

I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,d\sigma .

Paraméteres alakzat

Lehetővé válik a függvények segítségével egységes paraméterezés bevezetése a felületen $\Phi$

x=x(u,v),\quad y=y(u,v),\quad z=z(u,v),

a sík egy behatárolt zárt tartományában adott és ebben a régióban egy osztályhoz tartozik. Ha a függvény folytonos a felületen , akkor ennek a függvénynek az első fajtájának felületi integrálja létezik és a képlettel számítható $\Omega$ $(u,v)$ $C^1$ $f(M)=f(x,y,z)$ $\Phi$ $\Phi$

I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,d\sigma =\iint \limits _{\Omega }f{\big (}x(u,v),y(u, v),z(u,v){\big )}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv,

ahol:

E=(x_{u}')^{2}+(y_{u}')^{2}+(z_{u}')^{2},

F=x_{u}'x_{v}'+y_{u}'y_{v}'+z_{u}'z_{v}',

G=(x_{v}')^{2}+(y_{v}')^{2}+(z_{v}')^{2}.

Tulajdonságok

Az első típusú felületi integrál definíciójából az következik, hogy ez az integrál független attól, hogy az egységnormálok vektormezője milyen orientációt választ a felületre, vagy ahogy mondják, a felület oldalának megválasztásától. Legyen a függvények integrálhatók tartományok felett . Akkor: $f$ $g$ $\Phi ,\Phi _{1},\Phi _{2}$

Linearitás: bármilyen valós szám esetén . $\iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,d\sigma =\alpha \iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma +\beta \iint \limits _{\Phi }g\,d\sigma$ $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$
Additivitás : feltéve, hogy nincs közös belső pontjuk . $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma +\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma =\iint \limits _{\ Phi _{1}\cup \Phi _{2}}f\,d\sigma$ $\Phi _{1}$ $\Phi _{2}$
Monotonitás :
- ha , akkor ; $f\geqslant g$ $\iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma \geqslant \iint \limits _{\Phi }g\,d\sigma$
- mert , ha , akkor . $f \geqslant 0$ ${\displaystyle \Phi _{1}\subset \Phi _{2))$ $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma <\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma$
A középérték tétel folytonos függvényre és zárt korlátos felületre : $f$ $\Phi$ $\iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma =f(\xi )\iint \limits _{\Phi }d\sigma =f(\xi )\mu (\Phi )$ , ahol , és a régió területe . $\xi \in \Phi$ $\mu (\Phi)$ $\Phi$

Második típusú felületi integrál

Definíció

Vegyünk egy kétoldalas felületet , sima vagy darabonként sima, és rögzítsük annak két oldalát, ami egyenértékű egy bizonyos tájolás kiválasztásával a felületen. $\Phi$

A határozottság kedvéért először feltételezzük, hogy a felületet egy explicit egyenlet adja meg, és a pont a síkon egy darabonként sima kontúrral határolt tartományban változik . ${\megjelenítési stílus z=z(x,y)}$ $(x, y)$ ${\megjelenítési stílus (D)}$ $xy$

Legyen most az adott felület pontjain definiálva valamilyen függvény . Miután a felületet darabonként sima görbék hálózatával részekre osztottuk, és mindegyik ilyen részen kiválasztunk egy pontot , kiszámítjuk a függvény értékét egy adott pontban, és megszorozzuk az elemsíkra való vetítés területével , egy bizonyos jellel ellátva. Készítsünk integrál összeget $\Phi$ $f(M)=f(x,y,z)$ $\Phi _{i}\ (i=1,\pontok ,n)$ $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$ $f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})$ $D_{i}$ $xy$ $\Phi _{i}$

\sum _{i=1}^{n}f(M_{i})D_{i}=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i} ,z_{i})D_{i}.

Ennek az integrálösszegnek a végső határát, mivel az összes rész átmérője nullára hajlik, a második típusú felületi integrálnak nevezzük .

f(M)\,dx\,dy=f(x,y,z)\,dx\,dy,

kiterjesztve a felület kiválasztott oldalára , és a szimbólummal jelölve $\Phi$

I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,dx\,dy=\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dx\,dy

(itt egy felületelem síkra vetítési területére emlékeztet ). $dx\,dy$ $xy$

Ha a sík helyett a felületelemeket egy vagy síkra vetítjük , akkor két másik, második típusú felületi integrált kapunk: $xy$ $yz$ $zx$

\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dy\,dz

vagy

\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dz\,dx.

Az alkalmazásokban az ilyen típusú integrálok leggyakoribb kombinációi a következők:

\iint \limits _{\Phi }P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy,

hol vannak a felület pontjain definiált függvényei . $P,Q,R$ $(x,y,z)$ $\Phi$

Kapcsolat a második és az első típusú felületi integrálok között

\iint \limits _{\Sigma +}f(x,y,z)\,dy\,dz=\iint \limits _{\Sigma }f(x,y,z)\cos(\nu \wedge i)\,d\sigma ,

ahol a felület egységnyi normálvektora , az ort. $\nu$ $\Sigma$ $én$

Tulajdonságok

Linearitás: . $\iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,dx\,dy=\alpha \iint \limits _{\Phi }f\,dx\,dy+\beta \iint \ korlátok _{\Phi }g\,dx\,dy$
Additivitás: . $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,dx\,dy+\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,dx\,dy=\iint \limits _{ \Phi _{1}+\Phi _{2}}f\,dx\,dy$
Amikor a felület orientációja megváltozik, a felületi integrál előjelet vált.

Lásd még

Irodalom

Fikhtengolts, G. M. 17. fejezet Felületi integrálok // [A differenciál- és integrálszámítás menete]. - T. 3.
Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. 5. fejezet Felületi integrálok // A matematikai elemzés alapjai. - V. 2. - (Felsőfokú matematika és matematikai fizika tantárgy).

Linkek

A matematikai egyenletek világa archiválva 2019. november 21-én a Wayback Machine -nél .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	NKC : ph124123

Integrálszámítás

Fő

A Riemann-integrál általánosításai

Integrált
transzformációk

Numerikus
integráció

mértékelmélet

Kapcsolódó témák

Integrálok listái