Pi tétel

A pi-tétel ( -tétel , -tétel ) a dimenzióanalízis alaptétele . A tétel kimondja, hogy ha a fizikai mennyiségek között van olyan függés , amely nem változtatja meg alakját, amikor az egységrendszerek egy bizonyos osztályában az egységek léptéke megváltozik, akkor ez egyenértékű egy kisebb számú dimenzió nélküli függéssel . mennyiségek, ahol a legnagyobb számú független méretű mennyiség a kezdeti mennyiségek közül . A Pi-tétel lehetővé teszi a függőség általános szerkezetének megállapítását, ami csak abból a követelményből következik, hogy a fizikai függőség invariáns legyen az egységek skáláinak változásakor, még akkor is, ha a kezdeti értékek közötti függőség konkrét formája ismeretlen. . $\Pi$ $\pi$ $n$ $p=nk$ $k$ $n$

Névváltozatok

A dimenzióelmélet és modellezés orosz nyelvű szakirodalmában általában a pi-tétel ( -tétel , -tétel ) [1] [2] [3] [4] elnevezést használják , amely a dimenzió nélküli kombinációk hagyományos megnevezéséből származik a (nagy- vagy kisbetűs) görög " pi " betű. Az angol nyelvű irodalomban a tétel általában Edgar Buckingham , a francia nyelvű irodalomban pedig Aimé Vashí nevéhez fűződik . $\Pi$ $\pi$

Történelmi háttér

Nyilvánvalóan a pi-tételt először J. Bertrand [5] bizonyította 1878-ban. Bertrand az elektrodinamikából és a hővezetés elméletéből vett konkrét példákat a problémákra, de előadása egyértelműen tartalmazza a pi-tétel modern bizonyításának összes fő gondolatát, valamint egyértelműen jelzi a pi-tétel modellezési alkalmazását. fizikai jelenségek. A pi-tétel alkalmazási módszere ( a méretek módszere ) Rayleigh munkáinak köszönhetően vált széles körben ismertté (a pi-tétel első alkalmazása általános formában [6] a csővezeték nyomásesésének a A paraméterek definiálása valószínűleg 1892-re nyúlik vissza [7] , ez egy heurisztikus bizonyítás hatványsorok 1894-re történő kiterjesztésével [8] ).

A pi-tétel formális általánosítását tetszőleges számú mennyiség esetére először Vashí fogalmazta meg 1892-ben [9] , majd később és látszólag egymástól függetlenül A. Federman [10] , D. Ryabushinsky [11] 1911-ben és Buckingham [12] 1914-ben. Ezt követően a pi-tételt általánosítjuk Hermann Weil 1926 - ban .

tétel állítása

Az egyszerűség kedvéért az alábbiakban a pozitív értékek megfogalmazását adjuk meg . $q_{i}$

Tegyük fel, hogy a fizikai mennyiségek , , , között összefüggés van : $n$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$

f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0,

amelynek formája nem változik, ha a kiválasztott egységrendszer-osztályban az egységek skála megváltozik (például ha az LMT egységrendszer osztályt használjuk, akkor a függvény formája nem változik a szabványok változásaival hossz, idő és tömeg, mondjuk, amikor a kilogrammban, méterben és másodpercben mért mérésről fontban, hüvelykben és órában mért értékekre váltunk). $f$

A függvény argumentumai közül válasszuk ki a független dimenziójú mennyiségek legnagyobb halmazát (egy ilyen választás általánosságban többféleképpen is megtehető). Ekkor ha a független dimenziójú mennyiségek számát jelöljük , és azokat , , , indexekkel számozzuk (egyébként átszámozhatók), akkor a kezdeti függés ekvivalens a , , , dimenzió nélküli mennyiségek közötti függéssel : $k$ $egy$ $2$ $\ldots$ $k$ $f$ $p=nk$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$

F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,

ahol a dimenzió nélküli kombinációk, amelyeket a fennmaradó kezdeti értékekből kapunk , , , elosztva a kiválasztott értékekkel a megfelelő hatványokban: $\pi _{p}$ $q_{{k+1}}$ $q_{{k+2}}$ $\ldots$ $q_{n}$

\pi _{1}={\frac {q_{k+1}}{q_{1}^{a}\cdot q_{2}^{b}\cdot \ldots \cdot q_{k} ^{z}}},

\vdots

\pi _{p}={\frac {q_{n}}{q_{1}^{A}\cdot q_{2}^{B}\cdot \ldots \cdot q_{k}^{ Z}}}

(a dimenzió nélküli kombinációk mindig léteznek, mert , , , a legnagyobb méretű dimenziófüggetlen mennyiségek gyűjteménye , és ha még egy mennyiséget adunk hozzájuk, akkor egy függő méretű gyűjteményt kapunk). $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$

Bizonyítás

A pi-tétel bizonyítása nagyon egyszerű [13] . A , , , közötti kezdeti függést tekinthetjük , , , és , , , közötti függésnek : $f$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$

\Phi (q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k},\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0 ,

Ezenkívül a függvény formája sem változik az egységek skála megváltoztatásakor. Megjegyzendő, hogy a , , mennyiségek dimenziófüggetlensége miatt mindig lehet olyan mértékegység-skálát választani, hogy ezek a mennyiségek eggyel egyenlőek legyenek, míg a , , , , dimenzió nélküli kombinációk nem változtatják meg a mértékegységeket. értékeket tehát egy ilyen választott mértékegységskálával, ami azt jelenti, hogy az invariancia miatt és bármely mértékegységrendszerben a függvény valójában csak attól függ : $\Phi$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$ $\Phi$ $\pi _{p}$

\Phi (1,1,\ldots ,1,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})\equiv H(\pi _{1}, \pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0.

Különleges esetek

Alkalmazás egy mennyiségre vonatkozóan megoldott egyenletre

A pi-tétel egy változatát gyakran használják egy fizikai mennyiség funkcionális függésére több másiktól , , , : $q$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$

q=f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}).

Ebben az esetben a pi-tétel kimondja, hogy a függőség ekvivalens a kapcsolattal

\pi =F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p}),

ahol

\pi ={\frac {q}{q_{1}^{\alpha }\cdot q_{2}^{\beta }\cdot \ldots \cdot q_{k}^{\omega ))} ,

és a fentiekkel megegyező módon határozhatók meg. $\pi _{i}$

Az az eset, amikor a pi-tétel megadja a függőség formáját egy tényezőig

Egy fontos konkrét esetben, amikor attól függ

q=f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})

minden argumentum független dimenzióval rendelkezik, a pi-tétel alkalmazása ad

\pi ={\frac {q}{q_{1}^{\alpha }\cdot q_{2}^{\beta }\cdot \ldots \cdot q_{k}^{\omega ))} ={\text{const)),

vagyis a funkcionális függőség típusát egy állandóig határozzuk meg. Az állandó értékét nem a dimenzióelmélet módszerei határozzák meg, ennek megtalálásához kísérleti vagy egyéb elméleti módszerek alkalmazása szükséges.

Megjegyzések a pi-tétel alkalmazásához

A független dimenziójú argumentumok kiválasztása általánosságban sokféleképpen történhet, aminek eredményeként a pi-tétel alkalmazásakor formálisan eltérő kifejezések nyerhetők. Valójában azonban a kapott eredmények egyenértékűek, és az egyik jelölési formából egy másikat kaphatunk, ha áttérünk dimenzió nélküli paraméterek kombinációira.
A pi-tétel megfogalmazásánál fontos a függőségi invariancia követelménye. Ha például a Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI) a kísérletben dolgozva megkaptuk a zuhanó test által megtett út időfüggőségét $s$ $t$

s={\frac {9{,}81\cdot t^{2}}{2}},

akkor ebben a formában nem felel meg a pi-tétel feltételeinek.

A pi tétel alkalmazása fizikai modellezéshez

A pi-tételt különféle jelenségek fizikai modellezésére használják az aerodinamika , a hidrodinamika , a rugalmasságelmélet és a rezgéselmélet területén . A modellezés azon a tényen alapszik, hogy ha két természetes folyamatra („modell” és „természetes”, például egy szélcsatornában lévő repülőgépmodell körüli légáramlásra és egy valódi repülőgép körüli légáramlásra), akkor dimenzió nélküli érvek (ezek hasonlósági kritériumoknak nevezzük ) attól függően

\pi =F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})

egybeesik, ami a "modell" objektum paramétereinek speciális megválasztásával tehető meg, akkor a függvény dimenzió nélküli értékei is egybeesnek. Ez lehetővé teszi a paraméterek dimenziós kísérleti értékeinek "újraszámítását" a "modell" objektumról a "természetesre", még akkor is, ha a függvény formája ismeretlen. Ha lehetetlen elérni a „modell” és a „természetes” objektumok minden hasonlósági kritériumának egybeesését, akkor gyakran közelítő modellezéshez folyamodnak, amikor a hasonlóságot csak a legjelentősebb tényezők hatását tükröző kritériumok szerint érik el, míg a a másodlagos tényezők befolyását hozzávetőlegesen további (a dimenzióelméletből nem következő) megfontolások alapján vesszük figyelembe. $\pi$ $F$

Példák a pi-tétel alkalmazására

A csengő rezgési frekvenciája

A harang hangkibocsátása saját rezgései eredményeként jön létre, ami a lineáris rugalmasságelmélet keretein belül írható le . A kibocsátott hang frekvenciája függ annak a fémnek a sűrűségétől , Young-modulusától és Poisson -arányától, amelyből a harang készült, valamint a harang véges számú geometriai méretétől , , : $f$ $\rho$ $E$ $\nu$ $l_{1}$ $l_{2}$ $\ldots$ $l_{N}$

f=F(\rho ,E,\nu ,l_{1},l_{2},\ldots ,l_{N}).

Ha az LMT egységrendszerek osztályát használjuk, akkor például a , és független méretű mennyiségként választható (a maximális méretfüggetlen alrendszerben szereplő kiválasztott mennyiségek alá vannak húzva): $\rho$ $E$ $l_{1}$

f=F({\aláhúzott {\rho )),{\aláhúzás {E_{\!}}},\nu ,{\aláhúzás {l_{1}}},l_{2},\lpontok, l_{N}),

és a pi-tétel alkalmazása azt adja

{\frac {fl_{1}}{\sqrt {E/\rho }}}}=G\left(\nu ,{\frac {l_{2}}{l_{1}}},{ \ frac {l_{3}}{l_{1}}},\ldots ,{\frac {l_{N}}{l_{1}}}\jobbra).

Ha van két geometriailag hasonló , azonos anyagból készült harang, akkor ezekre a függvény argumentumai megegyeznek, így gyakoriságuk aránya fordítottan arányos méretük arányával (vagy fordítottan arányos a kockagyökével). tömegük aránya). Ezt a mintát kísérletileg is megerősítették [14] . $G$

Vegye figyelembe, hogy ha más mennyiségeket, például , , és , független méretű mennyiségként választunk, akkor a pi-tétel alkalmazása formálisan más eredményt adna: $\rho$ $E$ $l_{2}$

{\frac {fl_{2}}{\sqrt {E/\rho }}}=H\left(\nu ,{\frac {l_{1}}{l_{2}}},{\ frac {l_{3}}{l_{2}}},\ldots ,{\frac {l_{N}}{l_{2}}}\right),

de a levont következtetések természetesen ugyanazok maradnának.

Ellenállás a golyó lassú mozgása során viszkózus folyadékban

A gömb lassú (alacsony Reynolds-számoknál ) álló mozgása esetén viszkózus folyadékban az ellenállási erő a folyadék viszkozitásától , valamint a gömb sebességétől és sugarától függ (a folyadéksűrűség nem tartozik a meghatározó paraméterek közé, mivel alacsony fordulatszámon a folyadéktehetetlenség hatása elhanyagolható) . Alkalmazása a függőségre $F$ $\mu$ $V$ $R$

F=f(\mu ,V,R)

pi-tétel, kapjuk

{\frac {F}{\mu VR}}={\text{const)),

azaz ebben a feladatban az ellenállási erőt egy állandóig találjuk. A konstans értéke dimenziós megfontolások alapján nem található meg (a megfelelő hidrodinamikai probléma megoldása adja a konstans értékét , amit kísérletileg igazolunk). $6\pi$

Lásd még

Linkek

Néhány áttekintő cikk és elsődleges forrás a pi-tétel és a hasonlóság-elmélet történetéről Archiválva : 2021. április 13., a Wayback Machine -nél

Jegyzetek

↑ Barenblatt G. I. Hasonlóság, önhasonlóság, köztes aszimptotika. Elmélet és alkalmazások a geofizikai hidrodinamikában. - L .: Gidrometeoizdat , 1978. - S. 25. - 208 p.
↑ Sedov L. I. A hasonlóság és dimenzió módszerei a mechanikában . - M . : Nauka , 1981. - S. 31. - 448 p.
↑ Bridgman P. Dimenzióanalízis . - Izhevsk: RHD, 2001. - S. 45. - 148 p.
↑ Huntley G. Dimenzióanalízis . - M .: Mir , 1970. - S. 6. - 176 p. (előszó az orosz kiadáshoz)
↑ Bertrand J. Sur l'homogénété dans les formules de physique // Comptes rendus. - 1878. - T. 86 , 15. sz . - S. 916-920 .
↑ Amikor a pi-tétel alkalmazása után dimenzió nélküli kombinációkból tetszőleges függvény keletkezik.
↑ Rayleigh. A folyadékok áramlásának stabilitásának kérdéséről // Filozófiai folyóirat. - 1892. - T. 34 . - S. 59-70 .
↑ Strett J.W. (Lord Rayleigh). Hangelmélet . - M. : GITTL, 1955. - T. 2. - S. 348. - 476 p.
↑ Vaschy A. Sur les lois de similitude en physique // Annales Telegraphiques. - 1892. - T. 19 . – S. 25–28 . Vash cikkének idézeteit a pi-tétel megfogalmazásával a cikk tartalmazza: Macagno E. O. Historico-critical review of dimensional analysis // Journal of the Franklin Institute. - 1971. - T. 292 , sz. 6 . - S. 391-402 .
↑ Federman A. Az elsőrendű parciális differenciálegyenletek integrálásának néhány általános módszeréről // Proceedings of the St. Petersburg Polytechnic Institute of the Emperor the Great Peter. Műszaki, Természettudományi és Matematikai Tanszék. - 1911. - T. 16 , sz. 1 . - S. 97-155 .
↑ Riabouchinsky D. Method des variables de dimension zéro et son application en aerodynamique // L'Aérophile. - 1911. - S. 407-408 .
↑ Buckingham E. Fizikailag hasonló rendszereken: a méretegyenletek használatának illusztrációi // Fizikai áttekintés. - 1914. - V. 4 , 4. sz . - S. 345-376 .
↑ Sena L. A. Fizikai mennyiségek mértékegységei és méreteik. - M .: Tudomány , 1977. - S. 91-92.
↑ Pukhnachev Y. Szórás, csillapítás, fénytörés – három kulcs a paradoxon feloldásához // Tudomány és élet. - 1983. - 2. sz . - S. 117-118 .

Dimenzió nélküli mennyiségek a fizikában
Fogalmak	Fizikai mennyiség mérete Mérettelen mennyiség π - Tétel hasonlósági kritérium
hasonlósági kritériumok	Alfvén szám (Al) Archimedes-szám (Ar) Atwood szám (A) Bagnold-szám (Ba) Burstow szám (Be) Életrajzi szám (Bi) Boltzmann-szám (Bo) Kötvény/Eötvös szám (Bo, Bd vagy Eo) Brinkmann-szám (Br) Bulygin szám (Bu) Weisenberg szám (Wi vagy We) Weber szám (mi) Galilei szám (Ga) Hartmann szám (ha) Gay-Lussac szám (Gc vagy GaL) Homokronitási szám (Ho) Grashof szám (gr) Graetz-szám (Gz) Gouche szám (Go) Damköhler-szám (Da) Deborah száma (De) Deryagin-szám (Dg vagy De) Dékánszám (Dn vagy D ) A burkolat száma (Co) Kapillárisszám (Cp vagy Ca) Kármán szám (Ka) Keleghan-Carpenter szám ( K C ) Kibel-szám (Ki) Kirpicev-szám (Ki) Clausius-szám (Cl) Knudsen-szám (Kn) Kossovich-szám (Ko) Cauchy-szám (Ca) Laplace-szám (La) Lundquist-szám (Lu vagy S) Lykov-szám (Lk vagy Lu) Lewis-szám (Le) Lyascsenko-szám (Ly) Marangoni-szám (Mg) Mach szám (M) Morton-szám (hó) Nusselt szám (Nu) Newton-szám (Ne vagy Nt) Onesorge szám (Ó) Peclet szám (Pe) Posnov-szám (Pn) Prandtl szám (Pr) Mágneses Prandtl-szám (Pr m ) Turbulens Prandtl-szám (Pr t ) Poiseuille-szám (Po) Reynolds-szám (Re) Akusztikus Reynolds-szám (Re a ) Mágneses Reynolds-szám (Re m ) Richardson-szám (Ri) Rossby-szám (Ro) Rózsaszám (Rs) Roshko szám (Rk vagy Ro) Ruark szám (ru) Rayleigh-szám (Ra) Soret szám (Sr) Stanton-szám (St) Stokes-szám (Sk vagy Stk) Strouhal-szám (S, Sh vagy St) Stewart-szám (St vagy N ) Suratman-szám (Su) Taylor-szám (Ta) Womersley-szám (Wo vagy α) Fedorov szám a hidrodinamikában szárításelméletben (Fe) Froude-szám (Fr) Fourier-szám (Fo) Hagen-szám (Hg) Chandrasekhar szám (Ch vagy Q ) Schmidt-szám (Sc) Sherwood szám (Sh) Euler-szám (Eu) Eckert szám (Ec vagy E ) Ekman szám (Ek) Elsasser-szám (El vagy Λ) Eriksen-szám (Er) Jacob szám (Ja)
Egyéb méretnélküli mennyiségek	Abbe száma kvantumszámok