Weierstrass-Enneper paraméterezés

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. február 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A minimális felületek Weierstrass-Enneper paraméterezése a differenciálgeometria klasszikus ága .

Alfred Enneper és Karl Weierstrass már 1863 -ban tanulmányozta a minimális felületeket .

Parametrizálás

Legyen és legyen függvények a teljes komplex síkon vagy az egységkorongon, ahol meromorf és analitikus , úgy, hogy van egy rendű pólusa , van rendje nulla (vagy ezzel egyenértékű, hogy a szorzat holomorf függvény ), és legyen állandók. Ekkor a koordinátákkal rendelkező felület minimális, ahol a komplex integrál valós részeként van definiálva : $f$ $g$ $g$ $f$ $g$ $m$ $f$ $2 m$ ${\displaystyle fg^{2))$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3))$ $(x_1,x_2,x_3)$ $x_k$

${\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&{}=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz \right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2 }&{}=\mathbf {i} f(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{igazított}}$

Ennek a fordítottja is igaz - bármely nem síkbeli, egy összekapcsolt tartomány felett meghatározott minimális felület paraméterezhető így [1] .

Például az Enneper felület paraméterezéssel rendelkezik . ${\displaystyle f(z)=1,g(z)=z^{m))$

Komplex változók paraméteres felülete

A Weierstrass-Enneper modell a minimális felületet ( ) határozza meg a komplex síkon ( ). Legyen (a komplex sík mint tér ), a felület Jacobi-mátrixa felírható összetett bejegyzésekkel rendelkező oszlopként: $x$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {C}$ $\omega =u+vi$ $UV$

\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}\left(1-g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\i\left(1+g^{2} (\omega )\right)f(\omega )\\2g(\omega )f(\omega )\end{bmatrix}}

Itt és a holomorf függvények találhatók . $f(\omega)$ $g(\omega )$ $\omega$

A jakobi két ortogonális érintőt jelöl a vektorfelületre [2] : ${\mathbf {J}}$

\mathbf {X_{u}} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \mathbf {J} _{1}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{2}\\ \operátornév {Re} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}\;\;\;\;\mathbf {X_{v}} ={\begin{bmátrix}-\operátornév {Im} \ mathbf {J} _{1}\\-\operátornév {Im} \mathbf {J} _{2}\\-\operátornév {Im} \mathbf {J} _{3}\end{bmátrix}}

A felszín normálértékét az adja

\mathbf {\hat {n)) ={\frac {\mathbf {X_{u)) \times \mathbf {X_{v)) }{|\mathbf {X_{u)) \times \mathbf {X_{v}} |}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}2\operátornév {Re} g\\2\operátornév {Im} g \\|g|^{2}-1\end{bmátrix}}

A jakobiánus számos fontos tulajdonsághoz vezet: , , , ${\mathbf {J}}$ $\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} =0$ $\mathbf {X_{u}} ^{2}=\operátornév {Re} (\mathbf {J} ^{2})$ $\mathbf {X_{v)) ^{2}=\operátornév {Im} (\mathbf {J} ^{2})$ $\mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0.$

A bizonyíték Sharma dolgozatában található: A Weierstrass-reprezentáció mindig minimális felületet ad [3] . A származékok felhasználhatók az első másodfokú mátrix összeállítására :

{\begin{bmatrix}\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} \\\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{v}} \end{bmatrix}}= {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}

és a második másodfokú alak mátrixai

{\begin{bmatrix}\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{uv}} \cdot \mathbf {\hat {n } )) \\\mathbf {X_{vu)) \cdot \mathbf {\hat {n)) &\;\;\mathbf {X_{vv)) \cdot \mathbf {\hat {n)) \end { bmátrix}}

Végül a komplex sík egy pontja a minimális felület egy pontjára van leképezve ${\displaystyle \omega _{t))$ $\mathbf {X}$ $\mathbb {R} ^{3}$

\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{1}d \omega \\\operátornév {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{2}d\omega \\\operátornév {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{3}d\omega \end{bmatrix}}

ahol minden minimális felületre, kivéve a minimális Costa felületet , ahol . $\omega _{0}=0$ $\omega _{0}=(1+i)/2$

Beágyazott minimális felületek és példák

A véges topológiájú beágyazott minimális felületek klasszikus példái közé tartozik a sík, a katenoid , a helicoid és a Costa minimális felülete . A Costa felület a Weierstrass elliptikus függvényt tartalmazza [4] : $\mathbb {R} ^{3}$ ${\displaystyle\wp}$

g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )))

f(\omega )=\wp (\omega )

ahol egy állandó [5] . $A$

Helikatenoid

A és a funkciók kiválasztásával minimális felületek családját kapjuk. $f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}$ $g(\omega )=e^{-\omega /A}$

$\varphi _{1}=e^{-i\alpha }\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)$

$\varphi _{2}=ie^{-i\alpha }\cosh \left({\frac {\omega }{A))\right)$

${\displaystyle \varphi _{3}=e^{-i\alpha ))$

$\mathbf {X} (\omega )=\operátornév {Re} {\begin{bmatrix}e^{-i\alpha }A\cosh \left({\frac {\omega }{A))\ jobb)\\ie^{-i\alpha }A\sinh \left({\frac {\omega }{A))\right)\\e^{-i\alpha }\omega \\\end{bmátrix }}=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {\operátornév {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operátornév {Im} (\omega )}{A}}\right)\\-A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operátornév {Re} (\omega )\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ) {\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A))\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname { Im} (\omega )}{A}}\jobbra)\\\operátornév {Im} (\omega )\\\end{bmátrix}}$

Válasszunk felületi paramétereket : $\omega =s+i(A\phi )$

$\mathbf {X} (s,\phi )=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left (\phi \right)\\-A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\s\\\end{bmátrix}}+ \sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\A\sinh \left({ \frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\A\phi \\\end{bmatrix}}$

A szélsőséges pontokon a felület katenoid vagy helikoid . Ellenkező esetben az igazítási szöget jelöli. A kapott felület a definíciós tartomány kiválasztásánál az önmetszéspontok elkerülése érdekében a tengely körül spirálisan forgó lánc. $(\alpha =0)$ $(\alpha =\pi /2)$ $\alpha$ ${\displaystyle \mathbf {X} _{3))$

Görbületi vonalak

A második alapmátrix minden eleme átírható például és függvényeiként $f$ $g$

\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}\operátornév { Re} \left((1-g^{2})f'-2gfg'\right)\\\operátornév {Re} \left((1+g^{2})f'i+2gfg'i\right )\\\operátornév {Re} \left(2gf'+2fg'\right)\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmátrix}\operátornév {Re} \left(2g\right)\\\ operátornév {Re} \left(-2gi\right)\\\operátornév {Re} \left(|g|^{2}-1\right)\\\end{bmátrix}}=-2\operátornév {Re} (fg')

Ezért a második alapforma leegyszerűsíthető

{\begin{bmatrix}-\operatorname {Re} fg'&\;\;\operatorname {Im} fg'\\\operatorname {Im} fg'&\;\;\operatorname {Re} fg' \end{bmatrix}}

Az egyik mátrix sajátvektor az

{\displaystyle {\overline {\sqrt {fg'))))

és ez jelenti a fő irányt a komplex területen [6] . Ezért a tér két fő iránya az $UV$

\phi =-{\frac {1}{2}}Arg(fg')\pm k\pi /2

Lásd még

Társult család
Bryant-felület , a hiperbolikus térben is van hasonló paraméterezés

Jegyzetek

↑ Dierkes, Hildebrandt, Küster, Wohlrab, 1992 , p. 108.
↑ Andersson, Hyde, Larsson, Lidin, 1988 , p. 221–242.
↑ Sharma, 2012 .
↑ Lawden, 2011 .
↑ Abbena, Salamon, Gray, 2006 , p. 719–766.
↑ Hua, Jia, 2018 , p. 985–995.

Irodalom

Dierkes U., Hildebrandt S., Küster A., Wohlrab O. Minimális felületek. - Springer, 1992. - T. I. - ISBN 3-540-53169-6 .
Andersson S., Hyde ST, Larsson K., Lidin S. Minimális felületek és szerkezetek: szervetlen és fémkristályoktól sejtmembránokig és biopolimerekig // Chem. Rev .. - 1988. - T. 88 , no. 1 . - doi : 10.1021/cr00083a011 .
Sharma R. A Weierstrass-ábrázolás mindig minimális felületet ad. — 2012.
Lawden D.F. Elliptikus függvények és alkalmazások. - Berlin: Springer, 2011. - T. 80. - (Alkalmazott matematikai tudományok). - ISBN 978-1-4419-3090-3 .
Abbena E., Salamon S., Gray A. Minimal Surfaces via Complex Variables // Modern differenciálgeometria görbék és felületek a Mathematica segítségével. - Boca Raton: CRC Press, 2006. - ISBN 1-58488-448-7 .
Hua H., Jia T. Kétoldalas minimális felületek huzalvágása // The Visual Computer. - 2018. - T. 34 , sz. 6–8 . - doi : 10.1007/s00371-018-1548-0 .

Minimális felületek
Társult család Bura Catalana katenoid Chena-Guckstatter Costa Ennepera Helicoid Henneberg k -noid Richmond Riemann Pilon nyereg Sherka Háromszor időszakosan Gyroid Lidinoid Neovius Schwartz