Alapvető Mátrix

A lineáris homogén differenciálegyenlet -rendszer alapmátrixa egy olyan mátrix, amelynek oszlopai a rendszer alapvető megoldási rendszerét alkotják [ 1] .

A pontban normalizált alapmátrixot a feltétel különbözteti meg az adott rendszer összes alapmátrixának halmazától , ahol az azonosságmátrix , és mátrixnak nevezzük . $t_0$ $\F(t)$ $F(t_{0})=E$ $E$

Az alapvető mátrix determinánsát Wronski -nak nevezik, és jelölése van . Az alapvető mátrix Wronski-féle fontos tulajdonsága, hogy egyetlen ponton sem tűnik el. $F(t)$ $W_{F}(t)$

Fundamentalitás kritériuma

Egy lineáris homogén differenciálegyenlet-rendszerrel együtt

{\pont {x}}=A(t)x,\qquad \ \ \ (1)

tekintsük a megfelelő mátrixegyenletet

{\pont {X}}=A(t)X,\qquad (2)

ahol egy ismeretlen négyzetmátrix. $X=X(t)$

Tétel. Az adott mátrixfüggvény akkor és csak akkor az (1) lineáris differenciálegyenlet-rendszer alapmátrixa, ha a (2) mátrixegyenlet megoldása, és valamilyen (tetszőleges) pontban nullától eltérő determinánsa van. $X=F(t)$

Bizonyíték. Vegyük észre, hogy a mátrixfüggvény akkor és csak akkor lesz megoldása a (2) mátrixegyenletre, ha bármelyik oszlopa az (1) lineáris homogén rendszer megoldása. Valójában a (2) mátrixegyenlet bal és jobb oldali részében a számokkal rendelkező oszlopok egyenlősége alakja , amely egybeesik az (1) lineáris homogén rendszerrel. Most a megfogalmazott kritérium a fent említett Wronski -féle definíciókból és tulajdonságokból következik , mivel egy mátrix oszlopainak lineáris függetlensége megegyezik a mátrix determinánsának nullától való különbségével. $X=F(t)$ $\varphi_k$ $k$ $\varphi '_{k}(t)=A(t)\varphi _{k}(t)$

Jegyzetek

↑ Encyclopedia of Mathematics , szerk. kollégium: I. M. Vinogradov (a szerkesztő vezetője) [és mások] M., "Soviet Encyclopedia", 1977-1985.

Irodalom

Arnold V. I. Közönséges differenciálegyenletek. — M.: Nauka, 1966.
Petrovsky IG Előadások a közönséges differenciálegyenletek elméletéről. - M.: Nauka, 1970.
Pontryagin L. S. Közönséges differenciálegyenletek. - M.: Nauka, 1974.