D'Alembert operátor

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. január 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A d'Alembert- operátor ( d'Alembert-operátor, hullám-operátor, d'Alembertian ) egy másodrendű differenciáloperátor

\square u:=\Delta u-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},

ahol a Laplace operátor , egy állandó. Néha az operátort ellenkező előjellel írják. $\Delta$ $c$

Az alakja derékszögű koordinátákban van :

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}+{\frac { \partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^ {2}}},

lehetővé teszi a közvetlen általánosítást bármely véges térdimenzióra , háromnál nagyobbra és kisebbre is (az ilyen általánosítást d'Alembert-operátornak is nevezik, azzal a kiegészítéssel, hogy ha a szövegkörnyezetből nem világos, " -dimenziós"). $n$

Vektor esetén a d'Alembert operátor a következő alakot ölti:

${\displaystyle \square \mathbf {A} :=\Delta \mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} } {\részleges t^{2))))$ [1] , aholegy vektor, $\mathbf {A}$ $\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k}$

$\square \mathbf {A} :=\Delta A_{x}\mathbf {i} +\Delta A_{y}\mathbf {j} +\Delta A_{z}\mathbf {k} -{\ frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} )$

$\square \mathbf {A} :={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^ {2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\ mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y} }{\partial y^{2))}+{\frac {\partial ^{2}A_{y)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\ biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{ 2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k} -{\frac {1}{c^ {2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z }\mathbf {k} )$

J. D'Alembertről (1747) nevezték el , aki egydimenziós hullámegyenlet megoldása során annak legegyszerűbb formáját vette figyelembe .

Elektrodinamikában , akusztikában és más hullámterjedési problémákban (főleg lineáris) használják . A D'Alembert-operátor (a megfelelő dimenzióhoz) benne van bármely dimenzió hullámegyenletében , annak alapját képezve, valamint a Klein-Gordon-Fock egyenletben .

Könnyen belátható, hogy a d'Alembert-operátor a Laplace-operátor általánosítása a Minkowski-tér esetére .

Írás görbe vonalú koordinátákkal

D'Alembert operátor gömbi koordinátákban :

{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\ jobb)+{\frac {1}{r^{2}\sin \Theta }}{\frac {\partial }{\partial \Theta }}\left(\sin \Theta {\frac {\partial u} {\partial \Theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\Theta }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}};

hengeres koordinátákkal :

{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial u}{\partial \rho }}\right )+{\frac {1}{\rho ^{2))}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2))}+{\frac {\partial ^{2 }u}{\partial z^{2))}-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2))} ;

általános görbe vonalú koordinátákban (téridőhöz):

\square u\equiv {\frac {1}({\sqrt {-g)))){\frac {\partial }{\partial x^{\nu ))}\left({\sqrt {-g} }\,g^{{\mu \nu }}{\frac {\partial u}{\partial x^{\mu }}}\right),

ahol a metrikus tenzor együtthatóiból álló mátrix determinánsa . $g$ $\|g_{{\mu \nu ))\|$ $g_{\mu \nu }$

Jegyzetek

↑ I. V. Saveljev "Általános fizika tanfolyam" II. kötet, bekezdés "Hullámegyenlet" 398. o.

Irodalom

V.G.Vodnev, A.F.Naumovics, N.F.Naumovics "Felsőoktatási matematikai szótár". MPI Kiadó 1984.
I. V. Saveljev "Általános fizika tanfolyam" II

Differenciálszámítás

Fő

privát nézetek

Differenciális operátorok
( különböző koordinátákkal )

Első rendelés	Nabla operátor Gradiens Eltérés Forgórész Helmholtzian
másodrendű	Elliptikus operátor Laplace operátor Laplace vektor operátor D'Alembert operátor Laplace-Beltrami operátor
magasabb rendek	Hipoelliptikus operátor

Kapcsolódó témák