Folytatólagos tört

A folytonos tört (vagy folytatólagos tört ) az alak véges vagy végtelen matematikai kifejezése

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1 }{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ldots )))))),

ahol egy egész szám , a többi pedig természetes szám (pozitív egész szám) [1] . Ebben az esetben a számokat hiányos hányadosoknak vagy a folytonos tört elemeinek nevezzük [2] . $a_{0}$ $a_n$ $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots$

Bármely valós szám ábrázolható folyamatos törtként (véges vagy végtelen). Egy szám akkor és csak akkor jelenik meg véges törtként , ha racionális .

A folyamatos törtek fő (de semmiképpen sem az egyetlen) célja az, hogy lehetővé teszik a valós számok jó közelítését közönséges törtek formájában. A folytatásos törteket széles körben használják a számelméletben és a számítási matematikában , és általánosításaik rendkívül hasznosnak bizonyultak a számításban és a matematika más ágaiban. Használják a fizikában, az égi mechanikában , a mérnöki tudományokban és más alkalmazott tevékenységi területeken is.

Folytatva a tört bővítést

Bármely valós szám ábrázolható (véges vagy végtelen, periodikus vagy nem periodikus) folytonos törttel , ahol $x$ $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$

a_{0}=\lfloor x\rfloor ,\quad x_{0}=x-a_{0},

a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{0}}}\right\rfloor ,\quad x_{1}={\frac {1}{x_{0}}} -a_{1},

\pontok

a_{n}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{n-1}}}\right\rfloor ,\quad x_{n}={\frac {1}{x_{n- 1}}}-a_{n},

\pontok

ahol a szám egész részét jelöli . $\lfloor x\rfloor$ $x$

Egy racionális szám esetében ez a bővítés akkor ér véget, amikor néhány esetén eléri a nullát . Ebben az esetben egy véges folytonos tört képviseli . Egy hatékony algoritmus a közönséges tört folyamatos törtté alakítására az Euklidész-algoritmus . Egy racionális szám folytonos tört reprezentációja nem egyértelmű: ha az itt megadott algoritmus folytonos törtet ad , akkor a folytonos tört ugyanannak a számnak felel meg. $x$ $x_{n}$ $n$ $x$ $x=[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$ $[\dots ,a_{n}]$ $[\dots ,a_{n}-1,1]$

Az irracionális esetében minden mennyiség nullától eltérő lesz, és a bővítési folyamat a végtelenségig folytatható. Ebben az esetben egy végtelen folytonos tört képviseli . Ha a sorozat ugyanazon számok (periódus) végtelenül ismétlődő halmazából áll, akkor a folyamatos törtet periodikusnak nevezzük. Egy szám akkor és csak akkor reprezentálható végtelen periodikus folytonos törttel, ha másodfokú irracionalitás , azaz egy egész együtthatós másodfokú egyenlet irracionális gyöke . $x$ $x_{n}$ $x$ $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$ $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$

Megfelelő törtek

Az n- edik („n-edik”) megfelelő törtet egy folytatólagos törtnek nevezzük véges folytonos törtnek , amelynek értéke valamilyen racionális szám . A páros számú megfelelő törtek növekvő sorozatot alkotnak, melynek határa . Hasonlóképpen a páratlan számú konvergensek csökkenő sorozatot alkotnak, amelynek határa szintén egyenlő . Így a folyamatos tört értéke mindig a szomszédos konvergensek értékei között van. $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$ $[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$ $p_{n}/q_{n}$ $x$ $x$

Az Euler által levezetett rekurzív képletek a konvergensek számlálóinak és nevezőinek kiszámításához:

p_{{-1}}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{{n-1}}+p_{{n-2}} ;

q_{{-1}}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{{n-1}}+q_{{n-2}}.

Így a és mennyiségek polinomok -ben , amelyeket folytonosoknak nevezünk : $p_n$ $q_{n}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n))$

p_{n}=K_{n+1}(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}),

q_{n}=K_{n}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}).

A konvergensek számlálóinak és nevezőinek sorozata szigorúan növekszik. $\{p_{n}\}$ $\{q_{n}\}$

A szomszédos konvergensek számlálóit és nevezőit a reláció kapcsolja össze

p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}.

(egy)

A megfelelő törtek, amint ebből az összefüggésből látható, mindig irreducibilisek . Írjuk át a relációt a formába

{\frac {p_{n}}{q_{n}}}-{\frac {p_{{n-1}}}{q_{{n-1}}}}={\frac {(-1) ^{{n-1}}}{q_{{n-1}}q_{n}}}.

Ebből következik [3] , hogy

\left|x-{\frac {p_{{n-1}}}{q_{{n-1}}}}\right|<{\frac {1}{q_{{n-1}}q_{ n}}}<{\frac {1}{q_{{n-1}}^{2}}}.

Valós számok közelítése racionális számokkal

A folytonos törtek lehetővé teszik a valós számok jó racionális közelítésének hatékony megtalálását. Ugyanis ha egy valós számot folyamatos törtté bővítünk, akkor a konvergensei kielégítik az egyenlőtlenséget. $x$

\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{2}}}.

Következmények [4] :

A megfelelő tört az eredeti szám legjobb közelítése az összes olyan tört közül, amelyek nevezője nem haladja meg $p_{n}/q_{n}$ $q_{n}.$
Bármely irracionális szám irracionalitásának mértéke legalább 2.

Példák

Bontsuk ki a számot folyamatos törtté, és számítsuk ki a konvergenseit: $\pi =3{,}14159265\dots$

3,\ {\frac {22}{7)),\ {\frac {333}{106)),\ {\frac {355}{113)),\ {\frac {103993}{33102 }},\ \pontok

A második konvergens a jól ismert arkhimédeszi közelítés. A negyedik alkalmas frakciót először az ókori Kínában szerezték be . $22/7$ $355/113$

Az aranymetszés tulajdonságai

A következő az aranymetszet bontása :

\Phi =[1;1,1,1,\pontok ].

Érdekes eredmény, ami abból a tényből következik, hogy a folytatólagos tört kifejezés nem használ 1-nél nagyobb számokat, hogy ez az egyik "rosszul" közelítő szám. Pontosabban a Hurwitz-tétel [5] kimondja, hogy bármely valós szám törttel közelíthető oly módon, hogy $\Phi$ $\Phi$ $r$ $m/n$

\left|r-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{n^{2}{\sqrt {5}}}}.

Bár gyakorlatilag minden valós számnak végtelen sok közelítése van, amelyek jóval kisebbek ennél a felső korlátnál, a közelítések (azaz az 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 stb. számok) a határértéken belül vannak. elérje ezt a határt [6] , a távolságot szinte pontosan a -tól tartva , így soha nem adunk olyan jó közelítéseket, mint például 355/113 π esetén. Kimutatható, hogy az alak bármely valós számának van ez a tulajdonsága , ahol és egész számok, és ; és azt is, hogy az összes többi valós szám sokkal jobban közelíthető. $r$ $m/n$ $r$ $\Phi$ $1/(n^{2}{\sqrt {5)))$ $\Phi$ $(a+b\Phi )/(c+d\Phi )$ $ABC$ $d$ $ad-bc=\pm 1$

Tulajdonságok és példák

Bármely racionális szám kétféleképpen ábrázolható véges törtként, például: $9/4=[2;3,1]=[2;4].$
Lagrange-tétel : Egy szám akkor és csak akkor ábrázolható végtelen periodikus törtként, ha az egész együtthatós másodfokú egyenlet irracionális megoldása.

Például:

{\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,\pontok ],

{\sqrt {42}}=[6;2,12,2,12,2,12\pontok ],

aranymetszés

\Phi =[1;1,1,1,\pontok ].

Gauss-Kuzmin tétel : szinte minden valós szám (kivéve a nulla mértékhalmazt) esetében a megfelelő folytatólagos törtek elemeinek eloszlása megfelel a Gauss-Kuzmin statisztikának ; konkrétan minden elemnek van geometriai átlaga , és ez egyenlő a Khinchin-állandóval .
Marshall Hall tétele . Ha egy szám folytatólagos törtté való bővítésekora második elemtől kezdve nincsenek nagy számok, akkor azt mondják, hogy a számaz osztályba tartozik. Bármely valós szám ábrázolható az osztályból származó két szám összegeként és az osztálybólszármazó két szám szorzataként [7] Továbbá megmutattuk, hogy bármely valós szám ábrázolható három osztályból származó szám összegekéntés mint osztály négy számának összege. Ebben a tételben a szükséges tagok száma nem csökkenthető – bizonyos számok ilyen módon történő ábrázolásához nem elegendő kevesebb tag [8] [9] . $x$ $n$ $x$ $F(n)$ $F(4)$ $F(4).$ $F(3)$ $F(2)$

Nyitott kérdések

Kísérleteket tettek arra, hogy mintákat találjanak a köbös irracionalitások [10] , valamint más , 2-nél nagyobb fokú algebrai számok és transzcendentális számok [11] folytonos törtbővítésében . Néhány transzcendentális szám esetében egyszerű minta található. Például a természetes logaritmus alapja ábrázolható [12]

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots ,1,1,2n-2,1,1,2n,\ldots ] ,

és az 1 radián szög érintője a következő formában van: [13]

\operatorname {tg} 1=[1;1,1,3,1,5,1,7,\ldots ,1,2n+1,1,2n+3,\ldots ].

Egy egyszerű minta száma nem látható [14] : $\pi$

\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1, 1,15,\pont ]

Az általánosított folytonos tört esetében azonban (lásd a Változatok és általánosítások részt alább ) egyértelmű minta követhető.

Nem ismert , hogy a nem teljes részleges kiterjesztések , mint például a [ 11] [15] számok felülről korlátosak-e . ${\sqrt[ {3}]{2}}$ $\pi$

Folyamatos törtek alkalmazásai

Naptárelmélet

A naptár kidolgozásakor meg kell találni egy racionális közelítést az év napjainak számához , ami 365,2421988 ... Számítsuk ki ennek a számnak a tört részének megfelelő törtrészeit:

\frac{1}{4};\ \frac{7}{29};\ \frac{8}{33};\ \frac{31}{128};\ \frac{132}{545} \cdots

Az első töredék azt jelenti, hogy 4 évente hozzá kell adni egy plusz napot; ez az elv képezte a Julianus-naptár alapját . Ebben az esetben 1 napos hiba halmozódik fel 128 év alatt. A második értéket (7/29) soha nem használtuk, mert alig tér el a következőtől, ami sokkal pontosabb. A harmadik törtet (8/33), azaz 8 szökőévet 33 év alatt, Omar Khayyam javasolta a 11. században, és lefektette a perzsa naptár alapjait , amelyben a napi hiba 4500 év alatt halmozódik fel. ( gregorián - több mint 3280 év). Egy nagyon pontos, negyedik törtrészes változatot (31/128, a napi hiba csak 100 000 évre halmozódik fel [16] ) Johann von Medler német csillagász (1864) hirdetett, de nem váltott ki nagy érdeklődést.

Zeneelmélet

A zeneelméletben az egységes temperamentumrendszer felépítésénél megkövetelik, hogy az oktáv hangközét egyenlő részekre ossza fel , ugyanakkor az ilyen részek intervallumának a lehető legközelebb kell lennie az ötödik hangközhöz . Ezek a követelmények a racionális közelítés megtalálásának problémájához vezetnek . A harmadik alkalmas tört az egyenlő tempójú pentaton skálát adja . A negyedik konvergens az oktáv klasszikus felosztásához vezet 12 egyenlő félhangra [17] . $2:1$ $n$ $m$ $3:2$ $\log _{2}1{,}5\approx 0{,}585$ $3/5$ $7/12$

Elsőfokú összehasonlítások megoldása

Tekintsük a : , összehasonlítást , ahol ismertek, és feltételezhetjük, hogy koprím -val . Meg kell találni . $ax\equiv b{\pmod m}$ $a, \ b$ $a$ $m$ $x$

Bővítsük ki egy folyamatos törtté. Ez lesz a végső, és az utolsó megfelelő frakció . Helyettesítse be az (1) képletbe: ${\frac {m}{a))$ ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}={\frac {m}{a}}$

mq_{n-1}-ap_{n-1}=(-1)^{n-1}.

Ebből következik:

ap_{n-1}\equiv (-1)^{n}{\pmod {m)),

vagy

\ a(-1)^{n}p_{n-1}\equiv 1{\pmod {m)).

Következtetés: A maradékosztály a megoldás az eredeti összehasonlításra. $x\equiv (-1)^{n}p_{{n-1}}b{\pmod m}$

Egyéb alkalmazások

A számok irracionalitásának bizonyítása. Például a folytonos törtek felhasználásával bebizonyították a Riemann zéta függvény értékének ( Aperi-állandó ) irracionalitását. $\zeta (3)$
A Pell-egyenlet [18] megoldása egész számokban : és a Diofantin-analízis egyéb egyenletei $\;x^{2}-ny^{2}=1\;$
Ismert transzcendentális szám definíciója (lásd Liouville tételét )
SQUFOF és CFRAC faktorizációs algoritmusok .
Ortogonális polinomok jellemzése
Stabil polinomok jellemzése

Változatok és általánosítások

Számos forrás általánosított definíciót ad a folytatólagos törtre, lehetővé téve a hivatkozásokban nem csak az 1-et, hanem más egész számokat is (egyes forrásokban az összetettek is megengedettek ) [1] :

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\ cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+\ldots }}}}}}.

Ez az általánosítás növeli az elmélet rugalmasságát, de két hátránya is van: a valós szám folyamatos törtté való kiterjesztése kétértelművé válik, ráadásul a konvergensek határának megléte már nem garantált - a határ lehet végtelen vagy akár. hiányzó.

Az általánosított folytatólagos törtek esetében az Euler-képletek a következő formájúak : [19] :

p_{-1} = 1,\quad p_0 = a_0,\quad p_n = a_n p_{n-1} + b_n p_{n-2};

q_{-1} = 0,\quad q_0 = 1,\quad q_n = a_n q_{n-1} + b_n q_{n-2}.

Ahol

p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}b_{1}b_{2}\dots b_{n}.

Egy speciális eset, amelyben mindent Hirzebruch folytonos törtnek neveznek [20] . $b_{n}=-1$

Fentebb elhangzott, hogy egy szám klasszikus folytatólagos törtté való kiterjesztése nem tartalmaz látható mintát. Egy általánosított tört esetében a Braunker-képlet [21] a következő : $\pi$

{\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+ {\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}} }}}

Az általánosítás másik iránya abban áll, hogy a folytonos törtek apparátusát nem számokra, hanem polinomokra szerkesztjük és alkalmazzuk – azt a tényt használják, hogy a polinomok oszthatósága tulajdonságaiban közel áll az egész számok oszthatóságához [22] . Bármely polinomiális vagy tört-racionális függvény kiterjeszthető egy folyamatos törtté [23] :

{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}x}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}x}{a_{3}+ \ldots }}}}}}.

Példa: kérje le a függvény dekompozícióját : ${\displaystyle f(x)={\frac {1-x}{1-5x+6x^{2))))$

f(x)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {4x}{1-{\cfrac {2x}{-4+6x)))))))

Megfeleltetést hozhat létre a folyamatos törtek és a szögek között a síkban lévő rácsokon . Ebben a tekintetben a "többdimenziós folytonos frakcióknak" különféle változatai léteznek [24] .

Történelmi háttér

Az ókori matematikusok képesek voltak összemérhetetlen mennyiségek arányait egymást követő megfelelő arányok láncaként ábrázolni, és ezt a láncot az Euklidész-algoritmus segítségével kapták meg . Nyilvánvalóan így kapta meg Arkhimédész a közelítést - ez a 12. alkalmas tört vagy a 4. alkalmas tört egyharmada . ${\sqrt {3}}\approx {\frac {1351}{780}}$ $\sqrt{3}$ ${\sqrt {27}}$

Az 5. században Aryabhata indiai matematikus hasonló "finomítási módszert" alkalmazott határozatlan első és másodfokú egyenletek megoldására. Ugyanezen technika segítségével valószínűleg megkaptuk a szám jól ismert közelítését (355/113). A 16. században Rafael Bombelli négyzetgyököket vont ki folyamatos törtekkel (lásd az algoritmusát ). $\pi$

A folytonos törtek modern elméletének kezdetét Pietro Antonio Cataldi 1613 -ban helyezte el . Megjegyezte fő tulajdonságukat (az alkalmas törtek közötti helyzetet), és bevezette a modernre emlékeztető elnevezést. Később elméletét kibővítette John Vallis , aki javasolta a „folytonos tört” kifejezést . A 18. század végén jelent meg az ezzel egyenértékű „ folyamatos lövés ” kifejezés.

Ezeket a törteket elsősorban valós számok racionális közelítésére használták; például Christian Huygens ezeket használta planetáriumának fogaskerekeinek megtervezéséhez . Huygens már tudta, hogy a konvergensek mindig irreducibilisek, és ezek jelentik az eredeti szám legjobb racionális közelítését.

A 18. században a folytonos törtek elméletét általánosságban Leonhard Euler és Joseph Louis Lagrange fejezte be .

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Folytatás tört // Matematikai enciklopédia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1985. - T. 5.
↑ Arnold, 2000 , p. 12.
↑ Vinogradov, 1952 , p. tizennyolc.
↑ Vinogradov, 1952 , p. 22. cikk (2) bekezdése.
↑ Hardy, G.H.; Wright, EM 193. tétel // Bevezetés a számelméletbe . — Ötödik. – Oxford, 1979.
↑ Davenport, 1965 , p. 93-95.
↑ M. Hall, A folyamatos törtek összegéről és szorzatáról, Annals of Math. 48 (1947) 966-993.
↑ B. Diviš, A folytonos törtek összegeiről, Acta Arith. 22 (1973) 157-173.
↑ TW Cusick és R. A. Lee, Folytatott törtek készleteinek összegei, Proc. amer. Math. szoc. 30, 241-246 (1971).
↑ Calculations in Algebra and Number Theory, 1976 , H. M. Stark. A Brillhart által talált néhány egzotikus folytonos frakció magyarázata, p. 155-156.
↑ 1 2 P. Shiu. Folyamatos törtek kiszámítása bemeneti értékek nélkül . – 1995.
↑ OEIS szekvencia A003417 : e . _
↑ OEIS sorozat A093178 : folyamatos frakcióbővítés . $\operátornév{tg}\,1$
↑ OEIS sorozat A001203 : folyamatos frakcióbővítés . $\pi$
↑ OEIS sorozat A002945 : folyamatos frakcióbővítés . ${\sqrt[ {3}]{2}}$
↑ Valójában a Föld forgásának fokozatos lassulása, és ennek megfelelően az év napjai számának fokozatos csökkenése miatt egy ilyen naptár 4000 év után egy nap tényleges hibát halmozott volna fel.
↑ Shilov G. E. Egyszerű gamma. Zene mérleg eszköz . — Népszerű matematikai előadások . - M. : Fizmatgiz , 1963. - S. 14-15. - 20-as évek.
↑ Bugaenko V. O. Pell - egyenletek _ _ _
↑ A számítási matematika alapjai, 1963 , p. 57.
↑ E. Yu. Szmirnov. Frizek és folytatólagos frakciók . MCNMO (2020. március 17.). Letöltve: 2020. április 17. Az eredetiből archiválva : 2021. április 21. (határozatlan)
↑ John Wallis , Arithmetica Infinitorum (Oxford, Anglia: Leon Lichfield, 1656), 182. oldal . Archiválva 2021. április 24-én a Wayback Machine -nél . Brouncker folyamatos törtként fejezte ki a kör területének és a körülírt négyzet területének arányát (azaz 4/ π ). A folytatólagos tört a 182. oldal tetején jelenik meg (nagyjából) a következőképpen: ☐ = 1 1/2 9/2 25/2 49/2 81/2 stb, ahol a négyzet a keresett arányt jelöli. (Megjegyzés: Az előző oldalon Wallis így nevezi Brounkert: "Dom. Guliel. Vicecon, & Barone Brouncher " (Lord William Viscount és Brounker báró).)
↑ Khovansky A. N. Folyamatos törtek alkalmazásai és általánosításai közelítő elemzési kérdésekre (1. és 2. fejezet). - M .: Gostekhizdat, 1956.
↑ A számítási matematika alapjai, 1963 , p. 70-73.
↑ Karpenkov, 2013 .

Irodalom

Arnold V. I. Folytatás törtek . - M. : MTsNMO , 2000. - T. 14. - 40 p. - ( "Matematikai oktatás" könyvtár ).
Beskin NM Folytatódik frakciók // Kvant . - 1970. - T. 1 . - S. 16-26,62 .
Beskin NM Végtelen folyamatos frakciók // Kvant . - 1970. - T. 8 . - S. 10-20 .
Bodnar D.I. Elágazó folytatólagos frakciók. - K . : Nauka, 1986. - 174 p.
Bukhshtab A. A. Számelmélet . - M . : Nevelés, 1966. - 384 p.
Vinogradov I.M. A számelmélet alapjai . - M. - L. : GITTL, 1952. - 180 p.
Számítások algebrában és számelméletben / Per. angolról. E. G. Belagi, szerk. B. B. Venkova és D. K. Faddeeva. - M .: Mir , 1976. - (Matematika. Új a külföldi tudományban).
Gladkovsky S. N. Feltételesen periodikus folytatólagos frakciók elemzése, 1. rész . - Szelíd, 2009. - 138 p.
Demidovich B. P., Maron I. A. A számítási matematika alapjai. - Szerk. 2. - M. : Fizmatlit, 1963. - S. 53-73. — 660 p.
Depman I. Ya. Számtantörténet . Útmutató tanároknak . - Második kiad. - M . : Nevelés, 1965. - S. 253-254.
Davenport G. Felső aritmetika. Bevezetés a számelméletbe . - M .: Nauka, 1965.
Siziy SV Előadások a számelméletről . - Jekatyerinburg: az Uráli Állami Egyetem névadója. A. M. Gorkij , 1999.
Skorobogatko V. Ya. Az elágazó törtek elmélete és alkalmazása a számítási matematikában. — M .: Nauka, 1983. — 312 p.
Khinchin A. Ya. Folytatás törtek . — M .: GIFML, 1960.
Khovansky AN Folyamatos törtek és általánosításaik alkalmazása közelítő elemzési kérdésekre. — M.: Gostekhizdat, 1956. — 204 p.
Brezinski C. Folyamatos törtek és Padé-közelítők története. NY: Springer, 1980.
Karpenkov O. Folyamatos törtek geometriája. - Springer, 2013. - ISBN 978-3-642-39367-9 .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy katalán Nagy orosz a világ körül Kis Brockhaus és Efron Új Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	J9U : 987007548245805171 LCCN : sh85051149 NDL : 00569391 NKC : ph441076