A diofantin geometria a diofantin egyenletek elméletének egy olyan megközelítése, amely algebrai geometriával kapcsolatos problémákat fogalmaz meg egy algebrailag nem zárt K bázismezőn , mint például a racionális számok mezője vagy egy véges mező , vagy általánosabban egy kommutatív gyűrű , mint például az egész számok gyűrűje. Az azonosságegyenlet definiál egy hiperfelületet , és ugyanígy a diofantin egyenlet egy V algebrai változathoz megy K felett . Tipikus kérdés a V pontok V ( K ) halmazának természetére vonatkozóanA K -beli koordinátákkal a megoldások halmazának „nagyságának” kérdése: léteznek-e egyáltalán ilyen pontok, véges-e vagy végtelen a számuk. A geometriai megközelítésben alapvető fontosságú az egyenletek homogenitásának és a koordináták homogenitásának egyezése. A racionális számokban való megoldás a fő konvenció[ adja meg ] .
A diofantin geometria egyik jellemző eredménye Faltings tétele , amely kimondja, hogy a g > 1 nemzetségbe tartozó C algebrai görbe racionális számok feletti racionális pontjainak halmaza véges . A diofantin geometria első eredményének valószínűleg a Hilbert-Hurwitz tételt kell tekinteni, amely a g = 0 esetet elemzi.
1962-ben Serge Leng kiadta a " Diophantine Geometry " című könyvet, amely az anyagot hagyományos módon, diofantini egyenletekben mutatta be fokozatban és változók számában. Louis Mordell (1969) Diophantine Equations című könyve egy megjegyzéssel kezdődik az f = 0 homogén egyenletre egy racionális mező felett, Gaussnak tulajdonítva , hogy nullától eltérő egész megoldások akkor és csak akkor léteznek, ha léteznek nem nullától eltérő racionális megoldások, és megjegyzés Linord Dixon paraméteres megoldásokkal kapcsolatos kifogásaihoz. Hilbert és Hurwitz 1890-ben elért eredményeit, amelyek a 0. típusú görbék diofantini geometriáját 1 és 2 hatványokra korlátozzák ( kúpszeletek ) a 17. fejezetben írják le, ahol a g > 1 görbék általánosítását fogalmazzák meg (később ismerték). mint a Mordell-sejtés, és az állítás bizonyítása után Faltings tétel lett). Az egész pontokra vonatkozó Siegel-tételt a 28. fejezet tárgyalja. Az elliptikus görbén lévő racionális számok véges számú Mordell-Weil tételét a 16. fejezet, a Mordell-görbén szereplő egész számokat pedig a 26. fejezetben mutatjuk be. Mordell negatívan beszélt a Leng által alkalmazott geometriai megközelítésről.
Leng geometriai intuícióra támaszkodó koncepciója azonban később népszerűvé vált, és 2006-ban „látnokoknak” nevezték [1] [2] .