Trapéz módszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. február 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 7 szerkesztést igényelnek .

A trapéz módszer egy változó függvényének numerikus integrálásának módszere , amely abból áll, hogy minden elemi szegmensben az integrandust egy elsőfokú polinomra, azaz egy lineáris függvényre cseréljük. A függvény grafikonja alatti területet téglalap alakú trapézokkal közelítjük . A pontosság algebrai sorrendje 1.

Ha a szegmens elemi és nem esik át további particionáláson, akkor az integrál értéke a képlettel kereshető $\left[a,b\right]$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {f(a)+f(b)}{2}}(ba)+E(f),\qquad E(f )=-{\frac {f''(\xi )}{12}}\left(ba\right)^{3}.

Ez a képlet egyszerű alkalmazása a trapéz területének - az alapok összegének felének a szorzata, amelyek ebben az esetben a függvény értékei a szakasz szélső pontjain, a magassággal (az integrációs szegmens hossza). Egy elemi szegmens közelítési hibája a második derivált maximumán keresztül becsülhető meg

\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {\left(ba\right)^{3}}{12}}\max _{x\in [a,b]}\left |f''(x)\jobbra|

(a szegmens n részre való felosztásának eseteit lásd az alábbi összetett képletekben).

Összetett képlet

Ha a szegmenst , , integrációs csomópontokkal osztjuk fel úgy, hogy és , és mindegyik elemi szegmensre a trapézképletet alkalmazzuk , akkor az összegzés az összetett trapézképletet adja $\left[a,b\right]$ $x_{i}$ $i=0,1,\ldots ,n$ $x_{0}=a$ $x_{n}=b$ $[x_{i},x_{i+1}]$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{{i=0}}^{{n-1}}{\frac {f(x_{i})+f (x_{{i+1}})}{2}}(x_{{i+1}}-x_{{i}})=

={\frac {f(a)}{2}}(x_{1}-a)+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n-1} {f(x_{i})}(x_{i+1}-x_{i-1})+{\frac {f(b)}{2}}(b-x_{n-1}).

Cotes formula

Egységes rács esetén, ahol a rácslépés, az összetett trapézképlet egyszerűsödik: $x_{j}=a+jh$ $h=(ba)/n$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=h\left({\frac {f_{0}+f_{n}}{2}}+\sum _{{i=1} }^{{n-1}}f_{i}\right)+E_{n}(f),

és a hibára a következő becslés igaz:

E_{n}(f)=-{\frac {f''(\xi )}{12}}(ba)h^{2}.

Tulajdonságok

A trapéz módszer gyorsan konvergál az oszcilláló függvényeknél, mert a periódushiba megszűnik.
A módszert úgy kaphatjuk meg, hogy a jobb és bal téglalap képletek alkalmazása során kapott eredmények számtani átlagát számítjuk ki .

Lásd még

Irodalom

Demidovich B.P. , Maron I.A. A számítási matematika alapjai. - 2. - Phys-Mat. Lit., 1963. - S. 659.

Integrálszámítás

Fő

A Riemann-integrál általánosításai

Integrált
transzformációk

Numerikus
integráció

mértékelmélet

Kapcsolódó témák

Integrálok listái