Hozd görbe

A Bring görbe (más néven Bring felület ) az a görbe , amelyet a

A görbe nevét Klein [1] adta Erland Samuel Bring után, aki hasonló konstrukciót tanulmányozott 1786-ban a Lundi Egyetemen bemutatott disszertációjában .

A görbe automorfizmusai a 120-as rendű S 5 szimmetrikus csoport , amelyet 5 koordináta permutációi adnak meg . Ez a 4. típusú komplex görbe automorfizmusainak lehetséges legnagyobb csoportja.

A görbe a gömb hármas fedőjeként valósítható meg, amely 12 pontban elágazik, és egy Riemann-felület , amely a kis csillagú dodekaéderhez kapcsolódik . A felszínen 4 nemzetség található. A teljes szimmetriacsoport (beleértve a reflexiókat is) a közvetlen szorzat , amelynek 240-es a sorrendje.

Fundamental area and systole

A Bring-görbe egy hiperbolikus hatszög oldalainak azonosításával kapható meg Riemann-felületként (lásd alapsokszög ), rajza a jobb oldalon látható. Egy kétszög (területe a Gauss-Bonnet képlet szerint ) 240 (2,4,5) háromszögből rakható ki. Azok a műveletek, amelyek e háromszögek egyikét a másikba helyezik át, a felületi automorfizmusok teljes csoportját adják (beleértve a visszaverődéseket is). Ha figyelmen kívül hagyjuk a tükröződéseket, akkor a fent említett 120 automorfizmust kapjuk. Megjegyzendő, hogy a 120 kisebb, mint 252, ami a 4. nemzetséghez tartozó felületen lehetséges orientációmegőrző automorfizmusok maximális száma a Hurwitz-féle automorfizmus-tétel szerint . Ezért a Bring felület nem Hurwitz felület . Ez azt is mondja, hogy nincs a 4-es nemzetséghez tartozó Hurwitz felület.

A teljes szimmetriacsoport a következő ábrázolással rendelkezik:

ahol az azonosságművelet, egy 5-ös rendű elforgatás az alapsokszög közepe körül, egy 2-es rendű elforgatás abban a csúcsban, ahol 4 (2,4,5) háromszög találkozik a csempézésben, és tükröződik a valódi tengely. Ebből az ábrázolásból a Bring felület szimmetriacsoportjának lineáris ábrázolására vonatkozó információ számítható ki GAP segítségével . A csoportnak négy egydimenziós, négy négydimenziós, négy ötdimenziós és két hatdimenziós irreducibilis reprezentációja van.

ahogy az várható volt.

A felület szisztoléjának van egy hossza

A Klein-kvartikushoz hasonlóan a Bring-felület sem maximalizálja a szisztolés hosszát a topológiai kategóriájába tartozó kompakt Riemann-felületek között (vagyis az azonos nemzetséghez tartozó felületek között), annak ellenére, hogy maximalizálja az automorfizmus-csoport méretét. A szisztolát (látszólag) maximalizálja az M4-nek jelölt felület Schmutz papírjában [2] . M4 szisztolés hossza

és a többszöröse 36.

Spektrálelmélet

A Bring felszín spektrumáról keveset tudunk , de ez a kutatási irány érdekes lehet. A Bolza-felszín és a Klein-kvartikus rendelkezik a legnagyobb szimmetriacsoportokkal a 2. és 3. nemzetség negatív görbületű kompakt Riemann-felületei között, és ezután azt feltételezték, hogy ezek maximalizálják az első pozitív sajátértéket a laplaci spektrumban. Erős számszerű bizonyítékok támasztják alá ezt a sejtést, különösen a bolzai felszín esetében, bár a szigorú bizonyíték továbbra is nyitott probléma. Ennek megfelelően ésszerűen feltételezhető, hogy a Bring felület maximalizálja a Laplace-operátor első pozitív sajátértékét (egy topológiai osztály felületei között).

Lásd még

• Bolza felszíne
• Klein-negyed
• Macbeath felület
• A Hurwitz első három

Jegyzetek

1. ↑ Klein, 2003 , p. 157.
2. ↑ Schmutz, 1993 .

Irodalom

• Erland Samuel Bring, Sven Gustaf Sommelius. Meletemata quædam mathematica circa transformationem æquationem algebraicarum. - Lundi Egyetem, 1786. - (Promotionschrift).
• Edge WL Bring görbéje // A Londoni Matematikai Társaság folyóirata. - 1978. - T. 18 , sz. 3 . – S. 539–545 . — ISSN 0024-6107 . - doi : 10.1112/jlms/s2-18.3.539 .
• Felix Klein. Előadások az ikozaéderről és az ötödik fokú egyenletek megoldásáról . - New York: Dover Publications , 2003. - (Dover Phoenix Editions). — ISBN 978-0-486-49528-6 .
• Riera G., Rodriguez R. A Bring-görbe periódusmátrixai // Pacific J. Math.. - 1992. - Vol. 154 , no. 1 . — S. 179–200 . - doi : 10.2140/pjm.1992.154.179 .
• Schmutz P. Riemann felületek maximális hosszúságú legrövidebb geodéziával // GAFA. - 1993. - 3. évf. , szám. 6 . – S. 564–631 . - doi : 10.1007/BF01896258 .
• Mátyás Weber. Kepler kis csillagozott dodekaéderje, mint Riemann-felület  // Pacific J. Math .. - 2005. - T. 220 . – S. 167–182 . - doi : 10.2140/pjm.2005.220.167 .