De Bruijn-Newman állandó

A de Bruijn-Newman konstans egy matematikai állandó , amelyet Λ jelöl. Nicholas Govert de Bruyne és Charles M. Newman nevéhez fűződik.

Leírás

Tekintsük a Riemann xi-függvényt:

\Xi (iz)={\frac {1}{2}}\left(z^{2}-{\frac {1}{4}}\right)\pi ^{-{\frac { z}{2}}-{\frac {1}{4}}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}z+{\frac {1}{4}}\jobb)\zeta \ bal (z+{\frac {1}{2}}\jobb)

A kifejezés ábrázolható Fourier-transzformációként : ${\frac {\Xi (z/2)}{8}}$

\Phi (t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(2\pi ^{2}n^{4}e^{9t}-3\pi n^{2 }e^{5t}\right)e^{-\pi n^{2}e^{4t}}}

számára . Ekkor a Fourier-transzformációt a következőképpen jelöljük : $t\in \mathbb {R} \geq 0$ $\Phi (t)e^{\lambda t^{2))$ $H(\lambda ,z)$

{\mathcal {F}}_{t}\left[\Phi (t)e^{\lambda t^{2}}\right]=H(\lambda ,z)

Az állandót a H(λ, z) függvény nulláival definiáljuk. Akkor és csak akkor vannak valódi nullái, ha λ ≥ Λ. A konstans szorosan összefügg a Riemann-hipotézissel a Riemann-zéta-függvény nulláira vonatkozóan .

Jelentése

De Bruijn 1950-ben kimutatta [1] , hogy H-nak csak valós nullái vannak λ > 1/2 esetén, továbbá, hogy ha H-nak csak valós nullái vannak bizonyos λ-hoz, akkor H-nak is csak valódi nullái vannak nagyobb λ-értékekhez. De Bruijn felső korlátja Λ ≤ 1/2 2008-ig nem bizonyított, amikor is Haseo Ki, Young-One Kim és Jungseob Lee bebizonyította [2] , hogy Λ < 1/2, így a bizonyítás szigorú [3] .

2018 decemberében a Polymath projekt 0,22-re javította a Λ állandó felső korlátját [4] [5] .

2020 áprilisában az állandó legjobb felső korlátja Λ ≤ 0,2 [6] .

Az alsó határ megállapítására komoly számításokat végeztek 1988 óta, és még mindig folynak (2018-tól):

Év	Alsó korlát Λ
1988	−50
1991	−5
1990	-0,385
1994	−4.379×10 −6
1993	−5,895 × 10 −9 [7]
2000	−2,7×10 −9 [8]
2011	−1,1×10 −11 [9]
2018	≥ 0 [10] [11]

Mivel egy Fourier transzformáció , akkor H-nak Wiener-Hopf reprezentációja van: $H(\lambda ,x)$ $F(e^{\lambda x}\Phi )$

\xi (1/2+iz)=A{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{{ \frac {-1}{4\lambda }}(xz)^{2}}H(\lambda ,x)dx

amely csak a λ nem negatív értékeire érvényes. A határértékben λ 0-ra hajlamos, majd ha λ negatív, H a következőképpen definiálható: $H(0,x)=\xi (1/2+ix)$

H(\lambda ,z)=B{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {-1}{4\lambda }}(xz)^{2}}\xi (1/2+ix)dx

Itt A és B valós állandók.

2018 januárjában Brad Rogers és Terence Tao publikált egy cikket az arXiv.org oldalon , amelyben azt állítják, hogy a de Bruijn-Newman konstans nem negatív [10] [11] [5] .

Jegyzetek

↑ Nicolaas Govert de Bruijn. A triginometrikus integrálok gyökerei (angol) // Duke Math. J.. - 1950. - 1. évf. 17 , sz. 3 . — P. 197–226 . Az eredetiből archiválva: 2018. szeptember 10.
↑ Haseo Ki, Young-One Kim, Jungseob Lee. A de Bruijn–Newman állandóról // Advances in Mathematics. - 2009. - 1. évf. 222 , sz. 1 . - P. 281-306 . — ISSN 0001-8708 . Az eredetiből archiválva : 2017. augusztus 9.
↑ Nullamentes régiók . Letöltve: 2018. augusztus 9. Az eredetiből archiválva : 2018. június 12. (határozatlan)
↑ Λ ≤ 0,22 alá megy? . Letöltve: 2018. augusztus 9. Az eredetiből archiválva : 2018. augusztus 13. (határozatlan)
↑ 1 2 Charles M. Newman, Wei Wu. De Bruijn-Newman típusú állandók az analitikus számelméletben és a statisztikai fizikában . arXiv:1901.06596 [math-ph] (2019. január 19.). Letöltve: 2019. március 15. Az eredetiből archiválva : 2020. január 22. (határozatlan)
↑ Dave Platt, Tim Trudgian. A Riemann-hipotézis 3⋅10^12-ig igaz . arXiv:2004.09765 [math.NT] (2020. április 21.). Letöltve: 2021. május 2. Az eredetiből archiválva : 2021. április 17. (határozatlan)
↑ G. Csordas, A. M. Odlyzko, W. Smith, R. S. Varga. Egy új Lehmer-nullapár és egy új alsó korlát a De Bruijn–Newman-konstans lambda számára // Electronic Transactions on Numerical Analysis. - 1993. - 1. évf. 1 . — P. 104–111 . Az eredetiből archiválva : 2021. augusztus 19.
↑ Andrew Odlyzko. A de Bruijn–Newman konstans továbbfejlesztett korlátja // Numerikus algoritmusok. - 2000. - Vol. 25 . - P. 293-303 .
↑ G. Csordas, A. M. Odlyzko, W. Smith, R. S. Varga. A de Bruijn–Newman állandó továbbfejlesztett alsó korlátja // Számítási matematika. - 2011. - 20. évf. 80 , sz. 276 . — P. 2281–2287 .
↑ 1 2 Brad Rodgers, Terence Tao. A De Bruijn–Newman konstans nem negatív. — 2018.
↑ 1 2 A De Bruijn-Newman konstans nem negatív (2018. január 19.). Letöltve: 2018. augusztus 9. Az eredetiből archiválva : 2018. július 11. (határozatlan)

Számok tulajdonnévvel

Matematikai állandók

Algebrai

Transzcendentális ,
valószínűleg transzcendentális

Ezer fok

Régi orosz számok

A tíz többi hatványa

Tizenkettő hatványai

Más egész

Egyéb számok

képzeletbeli egység