Daniel integrál

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2017. november 4-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Daniel -integrál a Riemann-integrál egyik általánosítása , a Lebesgue -integrál alternatívája .

A Lebesgue-integrálhoz képest a Daniell-integrál nem igényli a megfelelő mértékelmélet előzetes kidolgozását , ami miatt bizonyos előnyökkel jár, különösen a funkcionális elemzésben , ha nagyobb dimenziójú terekre általánosítják és további általánosításokat tesznek (pl. a Stieltjes-integrál alakja ). Lebesgue és Daniel konstrukciói ekvivalensek, ha a lépésfüggvényeket eleminek tekintjük , azonban ha az integrál fogalmát összetettebb objektumokra (például lineáris funkcionálokra ) általánosítjuk, jelentős nehézségek adódnak az integrál Lebesgue szerinti megalkotása során, míg a A Daniel integrál ezekben az esetekben viszonylag egyszerűen épül fel.

Percy John Daniel angol matematikus javasolta 1918 - ban [1] .

Definíció

A fő ötlet az integrál fogalmának általánosítása, azon az elképzelésen alapul, hogy funkcionális. Tekintsünk egy olyan korlátos valós értékű függvénycsaládot (az úgynevezett elemi függvényeket ), amelyek a téren vannak definiálva , és amelyek kielégítik a következő axiómákat: $H$ $x$

Ha , akkor . $f_{1}, f_{2} \in H$ $f_{1} + f_{2} \in H$
Ha , akkor hol van egy valós szám . $f\in H$ $vö. \in H$ $c$
Ha , akkor és . $f_{1}, f_{2} \in H$ $\max(f_{1}, f_{2}) \in H$ $\min(f_{1}, f_{2}) \in H$

Az osztály egy függvényt kap , amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik: $H$ $U(f)$

$U(f_{1} + f_{2})=U(f_{1})+U(f_{2})$ .
$U(cf)=cU(f)$ .
Ha és , akkor (Lebesgue tulajdonság). $f_{1} \geqslant f_{2} \geqslant f_{3} \geqslant ...$ $\lim_{n \to \infty}f_{n}=0$ $\lim_{n \to \infty}U(f_{n})=0$
$U(f) \geqslant 0$ ha [2] $f \geqslant 0$

Ezekkel a kifejezésekkel definiálhatunk nulla mértékhalmazokat. Annak a halmaznak , amely a részhalmaza, nulla mértéke van, ha bármelyikhez létezik nem-negatív elemi függvények nem csökkenő sorozata úgy, hogy és on . $Z$ $x$ $\varepsilon >0$ $h_p(x)\in H$ $Ih_p<\varepsilon$ $\sup_p h_p(x)\geqslant 1$ $Z$

Ha egy bizonyos feltétel mindenhol teljesül, kivéve talán a nulla mérték egy részhalmazát, akkor azt mondják, hogy szinte mindenhol teljesül . $x$

Tekintsük az összes függvényből álló halmazt , amely az elemi függvények nem csökkenő sorozatainak szinte mindenhol a határa, és az integrálok halmaza korlátos. Egy függvény integrálja definíció szerint a következő: $L^+$ $\{h_n\}$ $Ih_n$ $f\in L^+$

If=\lim_{n\to\infty}Ih_n.

Megmutatható, hogy ez a definíció helyes, vagyis nem függ a sorozat megválasztásától . $\{h_n\}$

Tulajdonságok

A Lebesgue-féle integrálelmélet szinte minden tétele igazolható ezzel a konstrukcióval, mint például a Lebesgue-féle konvergenciatétel , a Tonelli–Fubini-tétel , a Fatou-lemma és a Rees–Fischer-tétel . Tulajdonságai megegyeznek a közönséges Lebesgue-integráléval.

A Daniel-integrálon alapuló mérések

A halmazok és a függvények közötti természetes megfelelés miatt lehetséges egy mértékelmélet felépítése a Daniell-integrál alapján. Ha egy halmaz karakterisztikus függvényét vesszük , akkor annak integrálja ennek a halmaznak a mértékeként vehetõ fel. Kimutatható, hogy ez a meghatározás egyenértékű a Lebesgue-mérték klasszikus definíciójával . $\chi(x)$

Lásd még

Lebesgue-Stieltjes integrál

Jegyzetek

↑ Daniell PJ Az integrál általános formája // Annals of Mathematics . - 1918. - T. 19 , 4. sz . – S. 279–294 . — ISSN 0003-486X . — .
↑ Az integrál fogalmának kidolgozása, 1966 , p. 190.

Irodalom

Daniell, PJ , 1919, "Integrálok végtelen számú dimenzióban", Annals of Mathematics 20 : 281-88.
Daniell, PJ , 1919, "A korlátozott variáció függvényei végtelen számú dimenzióban", Annals of Mathematics 21 :30-38.
Daniell, PJ , 1920, "Az általános integrál további tulajdonságai", Annals of Mathematics 21 : 203-20.
Daniell, PJ , 1921, "Integrális szorzatok és valószínűség", American Journal of Mathematics 43 : 143-62.
Royden, H. L. , 1988. Real Analysis , 3. szerk. Prentice Hall.
Pesin I. N. Az integrál fogalmának fejlesztése. — M .: Nauka, 1966. — 202 p.
Shilov G. E., Gurevich B. L. Integrál, mérték, derivált. - M . : Nauka, 1967.

Integrálszámítás

Fő

A Riemann-integrál általánosításai

Integrált
transzformációk

Numerikus
integráció

mértékelmélet

Kapcsolódó témák

Integrálok listái