Rees-Fischer tétel

A Ries-Fischer-tétel a Lebesgue- tér és a Hilbert-tér izometriájára és izomorfizmusára vonatkozó funkcionális elemzési állítás . $L_{{2}}\left(a,b\jobb)$ $l_{{2}}$

1907 - ben Ries Frigyes és Ernst Fischer ( Fischer Ernst Zsigmond ) egymástól függetlenül bizonyította .

Bizonyítás

Vegyünk egy teljes ortonormális rendszert a térben . Akkor mindenre, amink van , és Parseval egyenlősége alapján . Így egy függvény Fourier-együtthatóinak sorozata egy Hilbert-tér elemének tekinthető . Ebben az esetben a levelezés egyértelmű. Ellenkezőleg, legyen egy eleme a Hilbert-térnek . Vegyük formálisan a sorozatot , ahol ugyanaz a teljes ortonormális rendszer. Ennek a sorozatnak a részösszegeinek sorozata önmagában átlagosan konvergál, mert a sorozatok konvergenciájáért és miatt . A tér óta $L_{{2}}\left(a,b\jobb)$ $\left\{\varphi _{{i}}(t)\jobbra\}$ $x(t)\in L_{{2}}\left(a,b\right)$ $x(t)=\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t),\xi _{{i}} =\left(x,\varphi _{{i}}\jobb)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\xi _{{i}}^{{2}}=\left\|x\right\|^{{2}}<\infty$ $x(t)\in L_{{2}}\left(a,b\right)$ $x\in l_{{2}}$ $l_{{2}}$ $x=\left\{\xi _{{1}},\xi _{{2}},...,\xi _{{n}},...\jobbra\}$ $x(t)\jobbra nyíl x$ ${\bar {y}}=\left\{\eta _{{1}},\eta _{{2}},...,\eta _{{n}},...\jobbra\}$ $l_{{2}}$ $L_{{2}}\left(a,b\jobb)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\left\{\varphi _{{i}}(t)\jobbra\}$ $s_{{n}}(t)=\sum _{{i=1}}^{{n}}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\left\|s_{{n+p}}-s_{{n}}\right\|^{{2}}=\left\|\sum _{{i=n+1}}^{{n +p}}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)\right\|^{{2}}=\sum _{{i=n+1}}^{{n +p}}\eta _{{i}}^{{2}}\jobbra 0$ $n \jobbra \infty$ $p>0$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}^{{2}}$ $L_{{2}}\left(a,b\jobb)$ teljes, ez azt jelenti, hogy a sorozat konvergál, összege Fourier-együtthatókkal rendelkezik , és ezt az összeget az elemmel illesztjük . Ismét egyértelmű a levelezés. Tehát egy-egy megfeleltetést hoztunk létre a térelemek és a között . Mivel nyilvánvalóan és -ből következik , vagyis az általunk megállapított megfeleltetés izomorfizmus. Végül bármely két elemre a Parseval-egyenlőség alapján megvan, és az általunk megállapított megfeleltetés megőrzi a távolságot, azaz izometrikusak . $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\eta _{{i}}$ $y(t)\in L_{{2}}\left(a,b\right)$ ${\bár {y}}$ ${\bar {y}}\jobbra y(t)$ $L_{{2}}\left(a,b\jobb)$ $l_{{2}}$ $x(t)+y(t)=\sum _{{i=1}}^({\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)+\sum _ {{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)=\sum _{{i=1}}^{{\infty } }\left(\xi _{{i}}+\eta _{{i}}\right)\varphi _{{i}}(t)$ $\lambda x(t)=\lambda \sum _{{i=1}}^({\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)=\sum _{ {i=1}}^{{\infty }}\lambda \xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $x(t)\balra jobbra x,y(t)\balrajobbra y$ $x(t)+y(t)\bal jobbra nyíl x+y,\lambda x(t)\bal jobbra \lambda x$ $x(t),y(t)\in L_{{2}}\left(a,b\right)$ $\left\|x(t)-y(t)\right\|^{{2}}=\left\|\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\left(\xi _{{i}}-\eta _{{i}}\right)\varphi _{{i}}(t)\right\|^{{2}}=\sum _{{i=1}} ^{{\infty }}\left(\xi _{{i}}-\eta _{{i}}\right)^{{2}}=\left\|xy\right\|^{{2 }}$ $L_{{2}}\left(a,b\jobb)$ $l_{{2}}$

Irodalom

Sobolev VI Előadások a matematikai elemzés további fejezeteiről. - M .: Nauka, 1968 - 218. o.