Gradiens

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. május 18-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Gradiens ( lat. gradiens , genus p. gradientis „séta, növekszik”) - vektor , amelynek iránya valamely skaláris mennyiség növekedésének (és anti-gradiens - csökkenésének) irányát jelzi (amelynek értéke egy ponttól változik tér a másikhoz, skaláris mezőt képezve ) , és nagysága (modulusa) megegyezik az ilyen irányú növekedési sebességgel. $\varphi ,$

Például, ha a Föld felszínének tengerszint feletti magasságát vesszük, akkor annak gradiense a felszín minden pontján megmutatja a "legmeredekebb emelkedés irányát", és nagyságával jellemzi a lejtő meredekségét. $\varphi$

Más szóval, a gradiens a térhez viszonyított derivált, de az egydimenziós idő deriváltjától eltérően a gradiens nem skalár, hanem vektormennyiség.

Matematikai szempontból a gradiens a következőképpen nézhető meg:

A sokváltozós függvény értékének változásának linearitási együtthatója az argumentum értékének változásából;
Sok változóból álló skalárfüggvény tartományterében lévő vektor , amely parciális deriváltokból áll;
A Jacobi-mátrix sorai összetett skalárfüggvények gradienseit tartalmazzák, amelyek sok változó vektorfüggvényét alkotják.

A tér, amelyen a függvényt és gradiensét meghatározzák, általánosságban elmondható, hogy vagy egy közönséges háromdimenziós tér, vagy egy bármilyen fizikai természetű bármilyen más dimenziójú tér, vagy egy tisztán absztrakt (dimenzió nélküli).

A kifejezés először a meteorológiában jelent meg, és Maxwell vezette be a matematikába 1873-ban; az elnevezést szintén Maxwell javasolta. ${\mathrm {grad}}$

Szabványos megnevezések :

{\mathrm {grad}}\,\varphi

vagy a nabla operátor használatával ,

\nabla \varphi

- ehelyett tetszőleges skaláris mező lehet , tetszőleges betűvel jelölve, például - mező gradiens jelölései: . $\varphi$ ${\mathrm {grad}}\,V,\nabla V$ $V$

Bevezetés

Adjuk meg a helyiség hőmérsékletét egy T skaláris mezővel úgy, hogy az ( x , y , z ) koordinátákkal megadott minden pontban a hőmérséklet T ( x , y , z ) legyen (tegyük fel, hogy a hőmérséklet nem változik az idő múlásával ). A helyiség minden pontján a T függvény gradiense abba az irányba mutat, amelyikben a hőmérséklet a leggyorsabban emelkedik. A gradiens nagysága határozza meg, hogy milyen gyorsan emelkedik a hőmérséklet egy adott irányba.

Definíció

Háromdimenziós tér esetén a , , valamely régióban differenciálható koordináták skaláris függvényének gradiense egy komponensekből álló vektorfüggvény $\varphi =\varphi(x,y,z)$ $x$ $y$ $z$

{\frac {\partial \varphi }{\partial x)),{\frac {\partial \varphi }{\partial y)),{\frac {\partial \varphi }{\partial z)).

[egy]

Vagy a derékszögű derékszögű koordináták tengelye mentén lévő egységvektorokhoz : $\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z$

{\mathrm {grad}}\,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\vec e}_{x}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\vec e}_{y}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\vec e}_{z}.

Ha a változók függvénye , akkor a gradiense egy -dimenziós vektor $\varphi$ $n$ $x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}$ $n$

\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1))},\;\ldots ,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n))}\right) ,

amelynek összetevői minden argumentuma tekintetében egyenlőek a parciális deriváltokkal . $\varphi$

A gradiensvektor dimenzióját tehát annak a térnek (vagy sokaságnak) a mérete határozza meg, amelyen a skalármező adott, amelynek gradienséről van szó.
A gradiens operátor egy olyan operátor, amelynek egy skaláris függvényre (mezőre) végzett művelete adja meg a gradienst. Ezt az operátort néha egyszerűen "gradiensnek" nevezik röviden.

Bármely skalárfüggvény gradiensének jelentése az , hogy annak skaláris szorzata egy végtelenül kicsi eltolási vektorral megadja ennek a függvénynek a teljes differenciáját a koordináták megfelelő változásával a definiált térben , azaz a lineáris (a általános helyzet, ez is a fő) része a változásnak , ha eltolja . Ugyanazt a betűt használva egy vektor függvényének és koordinátáinak megfelelő függvényének jelölésére, felírhatjuk: $f$ $d{\mathbf {x}}$ $f$ $f$ $d{\mathbf {x}}$

df={\frac {\partial f}{\partial x_{1))}\,dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2))}\,dx_{2}+ {\frac {\partial f}{\partial x_{3))}\,dx_{3}+\ldots =\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i))} \,dx_{i}=({\mathrm {grad}}\,{\mathbf {f}}\cdot d{\mathbf x}).

Itt érdemes megjegyezni, hogy mivel a teljes differenciál képlete nem függ a koordináták típusától , vagyis általában az x paraméterek természetétől, ezért a kapott differenciál invariáns, azaz skalár, tetszőleges koordinátatranszformációt, és mivel vektorról van szó, akkor a szokásos módon számított gradiens egy kovariáns vektornak bizonyul , vagyis egy duális bázisban ábrázolt vektornak, amelyet csak skalár tud megadni a szorzatok egyszerű összegzésével egy közönséges ( kontravariáns ), azaz egy közönséges bázisba írt vektor koordinátái. Így a kifejezés (általában tetszőleges görbe vonalú koordináták esetén) teljesen helyesen és változatlanul felírható a következőképpen: $x_{i}$ $d{\mathbf {x}}$

df=\sum _{i}(\partial _{i}f)\,dx^{i}

vagy az Einstein-szabály szerinti összegjelet elhagyva,

df=(\részleges _{i}f)\,dx^{i}

(ortonormális alapon az összes indexet alsó indexként írhatjuk, ahogy fent tettük). Azonban a gradiens valódi kovariáns vektornak bizonyul bármely görbe vonalú koordinátában.

Az integráltétel segítségével

\iiiint \limits _{{V}}\nabla \varphi \,dV=\iint \limits _{{S}}\varphi \,d{\mathbf {s}}

a gradienst integrál formában is kifejezhetjük:

\nabla \varphi =\lim \limits _{V\to 0}{\frac {1}{V}}\left(\iint \limits _{S}\varphi \,d\mathbf {s} \jobb),

itt van egy zárt felület, amely körülölel egy térfogatot , amely ennek a felületnek a normál eleme. ${\it {{S))}$ ${\it {{V},d{\mathbf {s))))$

Példa

Például a függvény gradiense a következő lenne: $\varphi (x,\;y,\;z)=2x+3y^{2}-\sin z$

\nabla \varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x)),\;{\frac {\partial \varphi }{\partial y)),\;{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)=(2,\;6y,\;-\cos z).

A fizikában

A fizika különböző ágaiban a különböző fizikai mezők gradiensének fogalmát használják.

Például az elektrosztatikus tér erőssége mínusz az elektrosztatikus potenciál gradiense, a gravitációs tér erőssége (szabadesési gyorsulás) a klasszikus gravitációs elméletben mínusz a gravitációs potenciál gradiense . A klasszikus mechanikában a konzervatív erő mínusz a potenciális energia gradiens .

A természettudományokban

A gradiens fogalmát nem csak a fizikában használják, hanem a kapcsolódó, sőt a fizikától viszonylag távoli tudományokban is (ez az alkalmazás néha mennyiségi, néha pedig csak minőségi).

Például a koncentráció gradiens az oldott anyag koncentrációjának bármely irányú növekedése vagy csökkenése, a hőmérsékleti gradiens a közeg hőmérsékletének növekedése vagy csökkenése valamilyen irányban stb.

Az ilyen értékek gradiensét különböző okok okozhatják, például mechanikai akadály, elektromágneses, gravitációs vagy egyéb mezők hatása, vagy a szomszédos fázisok oldóképességének különbsége.

A közgazdaságtanban

A közgazdasági elméletben a gradiens fogalmát bizonyos következtetések alátámasztására használják. Különösen a Lagrange-szorzó módszer és a (természettudományokból kölcsönzött) Kuhn-Tucker-feltételek , amelyek a fogyasztó optimumának meghatározására szolgálnak , a hasznosságfüggvény és a költségvetési korlát függvény gradienseinek összehasonlításán alapulnak .

Geometriai érzék

Tekintsük a függvényszintű sorok családját : $\varphi$

\gamma (h)=\{(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\mid \varphi (x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=h \}.

Könnyen kimutatható, hogy egy függvény gradiense egy pontban merőleges az ezen a ponton átmenő szintvonalára. A gradiens modulusa a függvény maximális változási sebességét mutatja a szomszédságban , vagyis a szintvonalak gyakoriságát. Például domborzati vonalak jelennek meg a topográfiai térképeken, a gradiens modul pedig egy adott ponton az ereszkedés vagy emelkedés meredekségét mutatja. $\varphi$ ${\vec {x}}{\,}^{0}$ ${\vec {x}}{\,}^{0}$

Kapcsolódás a deriválttal

Az összetett függvény-differenciálási szabály segítségével könnyen kimutatható, hogy a függvény irányított deriváltja egyenlő a gradiens és az egységvektor skaláris szorzatával : $\varphi$ ${\vec {e}}=(e_{1},\;\ldots ,\;e_{n})$ $\varphi$ $\vec{e}$

{\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {e))))={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1))}e_{1}+\ldots +{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n))}e_{n}=(\nabla \varphi ,\;{\vec {e))).

Így egy vektor argumentum skaláris függvényének bármely irányú deriváltjának kiszámításához elegendő ismerni a függvény gradiensét, vagyis azt a vektort, amelynek komponensei a parciális deriváltjai.

Gradiens merőleges görbe koordinátákban

\operátornév {grad}\,U(q_{1},\;q_{2},\;q_{3})={\frac {1}{H_{1))}{\frac {\partial U} {\partial q_{1))}{\vec {e}}_{1}+{\frac {1}{H_{2}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{2}} }{\vec {e}}_{2}+{\frac {1}{H_{3}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{3}}}{\vec {e}} _{3},

hol vannak a Sánta együtthatók . $Szia$

Poláris koordináták (a síkon)

Béna együtthatók:

{\begin{matrix}H_{1}=1\\H_{2}=r\end{mátrix}}.

Innen:

\operátornév {grad}\,U(r,\;\theta )={\frac {\partial U}{\partial r)){\vec {e_{r))}+{\frac {1}{r }}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}.

Hengeres koordináták

Béna együtthatók:

{\begin{mátrix}H_{1}=1\\H_{2}=r\\H_{3}=1\end{mátrix)).

Innen:

\operátornév {grad}\,U(r,\;\theta ,\;z)={\frac {\partial U}{\partial r)){\vec {e_{r))}+{\frac { 1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\vec {e_{z}}}.

Gömbkoordináták

Béna együtthatók:

{\begin{mátrix}H_{1}=1\;\;\;\;\;\;\\H_{2}=r\;\;\;\;\;\;\\H_ {3}=r\sin {\theta }\end{mátrix}}.

Innen:

\operátornév {grad}\,U(r,\;\theta ,\;\varphi )={\frac {\partial U}{\partial r)){\vec {e_{r))}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {1}{r\sin {\theta }}} {\frac {\partial U}{\partial \varphi }}{\vec {e_{\varphi }}}.

Változatok és általánosítások

Legyen leképezés a metrikus terek között. A Borel-függvényt felső gradiensnek nevezzük , ha a következő egyenlőtlenség $u\colon X\to Y$ $\rho \colon X\to \mathbb {R}$ $u$ $|u(p)-u(q)|_{Y}\leq \int \limits _{\gamma }\rho$

érvényes egy tetszőleges egyenirányítható görbére, amely és -hez kapcsolódik . [2]

\gamma

p

q

x

Lásd még

Mi a Gradient a YouTube -on

Jegyzetek

↑ L. I. Kovalenko. Módszertani utasítások a matematikai elemzéshez másodéves hallgatók számára. A vektoranalízis elemei. . - MIPT, 2001. - S. 5. - 35 p. Archiválva : 2020. november 7. a Wayback Machine -nél
↑ 6,2 in Heinonen, Juha et al. Szobolev szóközök a metrikus mértéktereken. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.

Irodalom

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometriai módszerek és alkalmazások: A fizika és matematika tanulmányi útmutatója az egyetemeken. — M .: Nauka, 1986. — 759 p.

Linkek

Brounov P.I. Gradient // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.

Differenciálszámítás

Fő

privát nézetek

Differenciális operátorok
( különböző koordinátákkal )

Első rendelés	Nabla operátor Gradiens Eltérés Forgórész Helmholtzian
másodrendű	Elliptikus operátor Laplace operátor Laplace vektor operátor D'Alembert operátor Laplace-Beltrami operátor
magasabb rendek	Hipoelliptikus operátor

Kapcsolódó témák