A csomóelméletben a Brunni kapcsolat egy nem triviális láncszem , amely szétesik, ha bármely összetevőt eltávolítanak. Más szavakkal, bármely (topológiai) gyűrű levágása szétválasztja az összes többi gyűrűt (tehát nincs két gyűrű összekapcsolva, mint a Hopf-hivatkozásnál ).
A brunnovo nevet Hermann Brunn tiszteletére adták , aki az Über Verkettungról szóló 1892-es cikkében példákat hozott az ilyen fogaskerekekre.
A leghíresebb és legegyszerűbb brunni láncszem a borromei gyűrűk , három gyűrű láncszeme. Mindazonáltal bármely számhoz, háromtól kezdve, végtelen számú Brunni-hivatkozás létezik, amelyek ennyi gyűrűt tartalmaznak. Számos viszonylag egyszerű háromkomponensű link létezik, amelyek nem egyenértékűek a borromei gyűrűkkel:
Kapcsolat 12 kereszteződéssel.
Kapcsolat 18 kereszteződéssel.
Kapcsolat 24 kereszteződéssel.
A borromei gyűrűkön kívül (6 metszésponttal) a legegyszerűbb brunni láncszem az L10a140 láncszem , 10 metszésponttal [1] .
Példa az n -komponensű Brunni-kapcsolatra a Brunni-féle "gumigyűrűs" kapcsolat , ahol minden egyes komponens az aba −1 b −1 sémában az előzőt fogja körbe, az utolsó gyűrű pedig az elsőhöz kapcsolódik, és így ciklust alkot .
A brunni kapcsolatokat a homotópiáig John Milnor írja le egy 1954-es cikkében [2] , és az általa bevezetett invariánsokat ma Milnor invariánsoknak nevezik.
Az ( n + 1) komponensű hivatkozás az n nem kapcsolt komponensből álló hivatkozáscsoport elemeként fogható fel (a linkcsoport ebben az esetben a hivatkozás alapvető komplementcsoportja ). Az n nem összekapcsolt komponens linkcsoportja n generátor szabad szorzata , azaz egy F n szabad csoport .
Az F n csoport nem minden eleme generál brunni hivatkozást. Milnor kimutatta, hogy a Brunni kapcsolatoknak megfelelő elemcsoport a szabad csoport alsó középső sorozatának fokozatos Lie algebrájához kapcsolódik, és a szabad Lie-algebrában "relációként" értelmezhető .
A brunni kapcsolatok a Massey termékekkel érthetők : a Massey termék egy n - tag termék, amely csak akkor kerül meghatározásra, ha az összes ( n − 1)-termék eltűnik. Ez megfelel a Brunni-link tulajdonságnak, amelyben az ( n − 1) komponens összes halmaza nincs összekapcsolva, de az összes n komponens együtt alkot egy nem triviális kapcsolatot.
A Brunnian fonat olyan fonat, amely triviálissá válik, ha bármelyik szálát eltávolítják. A brunni fonatok egy alcsoportot alkotnak a fonatcsoportban . A gömbön lévő, nem Brunni-fonatok (lapos) korongon nem triviális elemeket adnak a gömb homotópiacsoportjaiban. Például a borrome-i gyűrűknek megfelelő "standard" fonat S 3 → S 2 Hopf -szálat ad , és az ilyen szövés folytatása szintén Brunni-fonatot ad.
Sok szétszedő rejtvény és néhány mechanikus rejtvény a Brunni-hivatkozások változata, és a céljuk az, hogy felszabadítsanak néhány olyan elemet, amely részben kapcsolódik a puzzle többi részéhez.
A Brunn láncokat gumigyűrűkből dekoratív ékszerek készítésére használják olyan eszközökkel, mint a Wonder Loom (vagy annak Rainbow Loom változata).