Az egyenlet

Egyenlet - a forma egyenlősége

f\left(x_{1},x_{2}\dots \right)=g\left(x_{1},x_{2}\dots \right)

ahol leggyakrabban a numerikus függvények ként működnek , bár a gyakorlatban vannak bonyolultabb esetek is – például vektorfüggvények egyenletei , funkcionális egyenletek és mások. $f, g$

Az egyenlet megoldása

Az egyenlet megoldása az a feladat, hogy megtaláljuk az érvek olyan értékeit, amelyeknél ez az egyenlőség megvalósul. További feltételek (egész, valós stb.) szabhatók az argumentumok lehetséges értékeire.

Az adott függvények argumentumait (amelyeket néha "változóknak" is neveznek) egy egyenlet esetén "ismeretleneknek" nevezzük.

Az ismeretlenek értékeit, amelyeknél ez az egyenlőség megvalósul , az adott egyenlet megoldásainak vagy gyökeinek nevezzük .

Azt mondják, hogy a gyökök egy adott egyenletet teljesítenek.

Egy egyenletet megoldani azt jelenti, hogy meg kell találni az összes megoldásának (gyöknek) a halmazát, vagy bebizonyítani, hogy egyáltalán nincsenek gyökök (vagy nincs olyan, amely megfelelne az adott feltételeknek).

Egyenértékű egyenletek

Egyenértékű vagy ekvivalens egyenleteknek nevezzük, amelyek gyökhalmazai egybeesnek. Egyenértékűnek tekintjük azokat az egyenleteket is, amelyeknek nincs gyökerük.

Az egyenletek ekvivalenciájának szimmetria tulajdonsága van : ha az egyik egyenlet ekvivalens a másikkal, akkor a második egyenlet ekvivalens az elsővel.

Az egyenletek ekvivalenciájának tranzitiv tulajdonsága van : ha az egyik egyenlet ekvivalens a másikkal, a második pedig egy harmadikkal, akkor az első egyenlet ekvivalens a harmadikkal. Az egyenletek ekvivalencia tulajdonsága lehetővé teszi, hogy transzformációkat hajtsunk végre velük, amelyekre a megoldási módszerek épülnek.

A harmadik fontos tulajdonságot a tétel adja: ha a függvények az integritási tartomány felett vannak definiálva , akkor az egyenlet $f,g$

f(x)\cdot g(x)=0

ekvivalens az egyenletkészlettel

f(x)=0,\qquad g(x)=0

Ez azt jelenti, hogy az első egyenlet összes gyöke a másik két egyenlet egyikének a gyökere, és lehetővé teszi az első egyenlet gyökereinek megtalálását két lépésben, minden alkalommal egyszerűbb egyenleteket megoldva.

Alaptulajdonságok

Az egyenletekben szereplő algebrai kifejezésekkel olyan műveleteket hajthat végre, amelyek nem változtatják meg a gyökereit, különösen:

a zárójelek az egyenlet bármely részében nyithatók;
az egyenlet bármely részében hasonló kifejezéseket hozhat létre;
ugyanaz a kifejezés hozzáadható vagy kivonható az egyenlet mindkét részéhez;
az egyenlet bármely tagja átvihető egyik részből a másikba, ha az előjelét az ellenkezőjére változtatjuk (ez csak az előző bekezdés újabb megfogalmazása);
az egyenlet mindkét oldala szorozható vagy osztható ugyanazzal a nullától eltérő számmal .

Az ezekből a műveletekből származó egyenletek egyenértékűek a kezdeti egyenlettel. A 3. tulajdonságnak azonban van egy korlátozása: abban az esetben, ha az egyenlet mindkét részéből ugyanazt a kifejezést adjuk össze vagy vonjuk ki, amely az ismeretlent tartalmazza, és elveszti jelentését az ismeretlennel, felveszi ennek az egyenletnek a gyökeinek értékeit, egy egyenlet olyan eredményt kapunk, amely nem ekvivalens az eredetivel (kezdetivel). De ha az egyenlet mindkét részéhez hozzáadjuk vagy kivonjuk ugyanazt a kifejezést, amely az ismeretlent tartalmazza, és csak akkor veszíti el értelmét, ha az ismeretlen értékei nem ennek az egyenletnek a gyökerei, akkor a kezdeti egyenletet kapjuk. egy.

Ha egy egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk vagy osztjuk egy ismeretlent tartalmazó kifejezéssel, az idegen gyökerek megjelenéséhez, illetve a gyökök elvesztéséhez vezethet.

Az egyenlet mindkét oldalának négyzetre emelése idegen gyökerekhez vezethet.

Az egyenlet és az idegen gyökök következménye

Az egyenlet

F\left(x\right)=G\left(x\right)

az egyenlet következményének nevezzük

f\left(x\right)=g\left(x\right)

ha a második egyenlet minden gyöke az első gyöke. Az első egyenletnek további gyökei lehetnek, amelyeket a második egyenlet esetében idegennek nevezünk. Az egyenletek gyökereinek megtalálásához szükséges átalakítások során idegen gyökök jelenhetnek meg. Ezek kimutatásához az eredeti egyenletben behelyettesítéssel ellenőrizni kell a gyökeret. Ha behelyettesítéskor az egyenlet azonossággá válik, akkor a gyök valódi, ha nem, akkor kívülálló.

Példa

Az egyenlet , ha mindkét oldalt négyzetre vetjük, a , vagy egyenletet adja . Mindkét egyenlet az eredeti egyenlet következménye. Ezek közül az utolsó könnyen megoldható; két gyökere van és . ${\sqrt {2x^{2}-1}}=x$ $2x^{2}-1=x^{2}$ $x^{2}=1$ $x=1$ $x=-1$

Ha az eredeti egyenletben az első gyöket helyettesítjük, azonosság jön létre . Egy másik gyökér helyettesítése helytelen állítást eredményez . Így a második gyökeret kívülállóként el kell dobni. ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {1}}=-1$

Egyenletek típusai

Vannak algebrai egyenletek , paraméteres egyenletek , transzcendentális , funkcionális , differenciálegyenletek és más típusú egyenletek.

Egyes egyenletosztályoknak vannak analitikus megoldásai, amelyek kényelmesek, mivel nem csak a gyökér pontos értékét adják meg, hanem lehetővé teszik a megoldás felírását egy képlet formájában, amely paramétereket is tartalmazhat. Az analitikus kifejezések nemcsak a gyökerek kiszámítását teszik lehetővé, hanem a gyökök létezésének és számának elemzését is a paraméterek értékétől függően, ami gyakran még fontosabb a gyakorlati felhasználás szempontjából, mint a gyökér konkrét értékei.

Azok az egyenletek, amelyekre analitikai megoldások ismertek, magukban foglalják a negyedik fokozatnál nem magasabb algebrai egyenleteket: a lineáris , másodfokú , köbegyenleteket és a negyedik fokú egyenleteket . A magasabb fokú algebrai egyenletek általában nem rendelkeznek analitikus megoldással, bár egyesek kisebb fokú egyenletekre redukálhatók.

A transzcendentális függvényeket tartalmazó egyenleteket transzcendentálisnak nevezzük. Ezek közül néhány trigonometrikus egyenlet analitikus megoldása ismert, mivel a trigonometrikus függvények nullája jól ismert.

Általános esetben, amikor nem találunk analitikus megoldást, számítási (numerikus) módszereket alkalmazunk . A numerikus módszerek nem adnak pontos megoldást, csak lehetővé teszik annak az intervallumnak a szűkítését, amelyben a gyök található egy bizonyos előre meghatározott értékre.

Algebrai egyenletek

Az algebrai egyenlet a forma egyenlete

P\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=0,

ahol egy polinom a változókban , amelyeket ismeretleneknek nevezünk. $P$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$

A polinom együtthatóit általában valamilyen mezőből veszik , majd az egyenletet egy mező feletti algebrai egyenletnek nevezik . Az algebrai egyenlet mértékét polinom fokának nevezzük . $P$ $F$ $P\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=0$ $F$ $P$

Például az egyenlet

y^{4}+{\frac {xy}{2}}+y^{2}z^{5}+x^{3}-xy^{2}+{\sqrt {3}}x^{ 2}-\sin{1}=0

egy hetedik fokú algebrai egyenlet három változóban (három ismeretlennel) a valós számok mezején .

Lineáris egyenletek

általános formában: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\pontok +a_{n}x_{n}+b=0$
kanonikus formában: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\pontok +a_{n}x_{n}=b$

Másodfokú egyenletek

ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0

ahol egy szabad változó, , , együtthatók , és . $x$ $a$ $b$ $c$ $a\neq 0$

A kifejezést négyzetes trinomiálisnak nevezzük . Egy ilyen egyenlet gyöke (négyzetes trinom gyöke) annak a változónak az értéke, amely a négyzetes trinomiált nullává változtatja, vagyis az az érték, amely a másodfokú egyenletet azonossággá alakítja. A másodfokú egyenlet együtthatóinak saját neveik vannak: az együtthatót elsőnek vagy idősebbnek , az együtthatót másodiknak vagy az at együtthatót az egyenlet szabad tagjának nevezzük . Egy redukált másodfokú egyenletet nevezünk, amelyben a vezető együttható eggyel egyenlő. Egy ilyen egyenletet úgy kaphatunk meg, hogy a teljes kifejezést elosztjuk a vezető együtthatóval : , ahol , és . A teljes másodfokú egyenlet az, amelyben minden együttható nullától eltérő. Hiányos másodfokú egyenlet, amelyben az együtthatók közül a legmagasabb kivételével legalább az egyik (akár a második együttható, akár a szabad tag) egyenlő nullával. $ax^{2}+bx+c$ $x$ $a$ $b$ $x$ $c$ $a$ $x^{2}+px+q=0$ $p={\frac {b}{a}}$ $q={\frac {c}{a}}$

A másodfokú egyenlet gyökereinek általános esetben történő megtalálásához használja az alábbi algoritmust: $ax^{2}+bx+c=0$

Számítsd ki a másodfokú egyenlet diszkriminánsának értékét : ilyen a kifejezés .

D=b^{2}-4ac

1) ha $D>0$	2) ha $D=0$	3) ha $D<0$
akkor két gyök van, és ezek megtalálásához használja a képletet $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}(1)$	akkor a gyök egy (bizonyos szövegkörnyezetekben két egyenlő vagy egybeeső gyökről is beszélnek, vagy a 2. multiplicitás gyökéről ), és egyenlő $-{\frac {b}{2a))$	akkor a valós számok halmazán nincsenek gyökök.

A másodfokú függvény téglalap alakú koordinátáinak ábrázolása parabola. Az x tengelyt a másodfokú egyenlet gyökeinek megfelelő pontokban metszi . $f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ $f\left(x\right)=0$

Köbös egyenletek

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\quad a\neq 0

A négyszögletes koordinátákban lévő köbös egyenlet grafikus elemzéséhez köbös parabolát használunk .

Bármely köbös kanonikus egyenlet egyszerűbb formára redukálható

y^{3}+py+q=0

osztva ezzel és behelyettesítve a helyettesítőt . Ebben az esetben az együtthatók egyenlőek lesznek: $a$ $x=y-{\tfrac {b}{3a))$

{\displaystyle q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}= {\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3))))

p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^ {2}}}

. A negyedik fokozat egyenlete

f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.

Az algebrai egyenletek negyedik foka a legmagasabb , amelyre általános formában (vagyis az együtthatók bármely értékére) van analitikus megoldás .

Mivel ez egy páros fokú polinom, ugyanaz a határértéke, mint a plusz és mínusz végtelen. Ha , akkor a függvény mindkét oldalon plusz végtelenig növekszik, ezért globális minimuma van. Hasonlóképpen, ha , akkor a függvény mindkét oldalon mínusz végtelenre csökken, és ezért globális maximuma van. $f\bal(x\jobb)$ $a>0$ $a<0$

Irracionális és racionális egyenletek

A racionális egyenlet egy olyan egyenlet, amelyben a bal és a jobb oldal racionális kifejezés. Az egyenletben csak összeadás, kivonás, szorzás, osztás, valamint egész szám hatványára való emelés szerepel.
Az irracionális egyenlet olyan egyenlet, amelynek gyökérjele alatt egy ismeretlen található. vagy egész számra nem redukálható hatványra emeljük.

Lineáris algebrai egyenletrendszerek

A következő alakú egyenletrendszer:

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}

(egy)

Itt van az egyenletek száma, és az ismeretlenek száma. x 1 , x 2 , …, x n ismeretlenek, amelyeket meg kell határozni. a 11 , a 12 , …, a mn – a rendszer együtthatói – és b 1 , b 2 , … b m – szabad tagok – ismertnek tételezzük fel. A rendszer együtthatóinak indexei ( a ij ) az ( i ) egyenlet és az ismeretlen ( j ) egyenlet számát jelölik , amelyeken ez az együttható áll [1] . $m$ $n$

A rendszert homogénnek nevezzük, ha minden szabad tagja nulla ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), különben - heterogén. Egy rendszert másodfokúnak nevezünk, ha az egyenletek m száma egyenlő n számú ismeretlennel. A rendszer megoldása egy n számú c 1 , c 2 , …, c n számból álló halmaz, úgy, hogy ha x i helyett minden c i -t behelyettesítünk a rendszerbe, annak minden egyenlete azonossággá változik . Egy rendszert kompatibilisnek nevezünk, ha legalább egy megoldása van, és inkonzisztensnek, ha nincs megoldása. Egy közös rendszer c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) és c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) megoldásait különbözőnek nevezzük, ha legalább egy az egyenlőségből:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Egy közös rendszert határozottnak nevezünk, ha egyedi megoldása van; ha legalább két különböző megoldása van, akkor határozatlannak nevezzük. Ha több egyenlet van, mint ismeretlen, azt túlhatározottnak nevezzük .

Paraméteres egyenletek

A paraméteres egyenlet egy matematikai egyenlet, amelynek megjelenése és megoldása egy vagy több paraméter értékétől függ. Egy egyenlet paraméterrel való megoldása a következőket jelenti:

Keresse meg az összes olyan paraméterérték-rendszert, amelyre az adott egyenletnek van megoldása.
Keresse meg az összes megoldást minden talált paraméterérték-rendszerre, azaz az ismeretlenre és a paraméterre, fel kell tüntetni az elfogadható értéktartományukat.

A paraméterrel rendelkező egyenletek lehetnek lineárisak és nemlineárisak is.

Példa egy paraméteres lineáris egyenletre:

a\,x+1=4,

Példa egy paraméteres nemlineáris egyenletre:

{\mbox{log}}_{{x^{2}}}{\frac {a+3}{7-x}}=5,

ahol egy független változó, egy paraméter. $x$ $a$

Transzcendentális egyenletek

A transzcendentális egyenlet olyan egyenlet, amely nem algebrai . Általában ezek exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus, inverz trigonometrikus függvényeket tartalmazó egyenletek, például:

$\cos x=x$ - trigonometrikus egyenlet;
$\lg x=x-5$ - logaritmikus egyenlet;
$2^{x}=\lg x+x^{5}+40$ - exponenciális egyenlet.

Egy szigorúbb definíció a következő: a transzcendentális egyenlet egy olyan alakú egyenlet, amelyben a és a függvények analitikus függvények , és legalább az egyik nem algebrai . $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ $f$ $g$

Funkcionális egyenletek

A funkcionális egyenlet egy olyan egyenlet, amely kifejezi a kapcsolatot egy függvény (vagy függvények) értéke között egy ponton a többi pontban lévő értékei között. A függvények számos tulajdonsága meghatározható a függvények által kielégített funkcionális egyenletek vizsgálatával. A "funkcionális egyenlet" kifejezést általában olyan egyenletekre használják, amelyek nem redukálhatók egyszerű módon algebrai egyenletekre. Ez az irreducibilitás leggyakrabban abból adódik, hogy az egyenletben szereplő ismeretlen függvény argumentumai nem maguk a független változók, hanem a függvény néhány adata belőlük. Például:

funkcionális egyenlet

f\left(s\right)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2))\right)\Gamma \left( 1-s\right)f\left(1-s\right)

ahol az Euler-gamma-függvény , kielégíti a ζ Riemann-zéta-függvényt .

\Gamma(z)

A következő három egyenletet a gammafüggvény teljesíti ; ez az egyetlen megoldás a három egyenletrendszerre:

{\displaystyle f\left(x\right)={f\left(x+1\right)\over x))

f\left(y\right)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}} }f\left(2y\right)

{\displaystyle f\left(z\right)f\left(1-z\right)={\pi \over \sin \left(\pi z\right)))

( Euler-féle komplementer képlet ).

Funkcionális egyenlet

f\left({az+b \over cz+d}\right)=\left(cz+d\right)^{k}f\left(z\right)

ahol , , , egész számok , amelyek kielégítik az egyenlőséget , azaz a k sorrend moduláris alakjaként definiál .

a

b

c

d

ad-bc=1

{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=1

f

Differenciálegyenletek

A differenciálegyenlet egy olyan egyenlet, amely egy adott ponton valamilyen ismeretlen függvény értékét és ugyanabban a pontban különböző rendű deriváltjainak értékét hozza összefüggésbe. A differenciálegyenlet a rekordjában egy ismeretlen függvényt, annak deriváltjait és független változóit tartalmazza. Egy differenciálegyenlet sorrendje a benne szereplő deriváltok legnagyobb rendje . Az n rendű differenciálegyenlet megoldása egy olyan függvény , amelynek n -ig terjedő deriváltjai vannak valamilyen (a, b) intervallumon , és teljesíti ezt az egyenletet. A differenciálegyenlet megoldásának folyamatát integrációnak nevezzük . $y\left(x\right)$ $y'\left(x\right),y''\left(x\right),\dots ,y^{\left(n\right)}\left(x\right)$

Minden differenciálegyenlet felosztható

közönséges differenciálegyenletek (ODE), amelyek csak egy argumentum függvényeit (és származékait) tartalmazzák:

F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0

vagy ,

F\left(x,y,{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}},{\frac {{\mathrm {d}}^{{2}} y}{{\mathrm {d}}x^{2}}},...,{\frac {{\mathrm {d}}^{{n}}y}{{\mathrm {d}}x ^{n}}}\right)=0

ahol egy ismeretlen függvény (esetleg vektorfüggvény ; ilyenkor gyakran beszélünk differenciálegyenlet-rendszerről) a független változótól függően ; a prím differenciálást jelent a -hoz képest .

y=y\left(x\right)

x

x

és parciális differenciálegyenletek , amelyekben a bemeneti függvények sok változótól függenek :

F\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m},z,{\frac {\partial z}{\partial x_{1))},{\frac {\partial z} {\partial x_{2))},\dots ,{\frac {\partial z}{\partial x_{m))},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1} ^{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}\partial x_{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2))),\pontok ,{\frac {\partial ^{n}z}{\partial x_{m}^{n))}\right)=0

, ahol független változók, és ezeknek a változóknak a függvénye.

x_{1},x_{2},\pontok ,x_{m}

z=z\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\right)

Kezdetben a mechanika problémáiból keletkeztek a differenciálegyenletek , amelyekben a testek koordinátái , sebességeik és gyorsulásaik az idő függvényében vettek részt .

Példák egyenletekre

$x+3=2x$
$x^{2}+1=0$
$e^{{x+y}}=x+y$
$a^{n}+b^{n}=c^{n}$ , hol vannak a természetes számok $a,b,c,n$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Iljin V. A., Poznyak E. G. Lineáris algebra: Tankönyv egyetemeknek. - 6. kiadás, törölve. — M.: FIZMATLIT, 2004. — 280 p.

Irodalom

Bekarevics A. N. Egyenletek a matematika iskolai kurzusában. - Minszk: Nar. Asveta, 1968. - 152 p.
Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve . - M .: Nauka, 1978.
- Újrakiadás: Szerk. AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
Zajcev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Alapfokú matematika. Ismételje meg a tanfolyamot. - Harmadik kiadás, sztereotip. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Markushevich, L. A. Egyenletek és egyenlőtlenségek a középiskolai algebra kurzusának végső megismétlésében / L. A. Markushevich, R. S. Cherkasov. / Matematika az iskolában. - 2004. - 1. sz.

Linkek

Egyenlet - cikk a Great Soviet Encyclopedia- ból .
Egyenletek // Collier's Encyclopedia. — Nyitott társadalom. 2000.
Egyenlet // Enciklopédia a világ körül
Egyenlet // Matematikai enciklopédia. — M.: Szovjet Enciklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
EqWorld - A matematikai egyenletek világa - kiterjedt információkat tartalmaz a matematikai egyenletekről és egyenletrendszerekről.