Egyenlet (egyenlőtlenség) paraméterekkel

A paraméterekkel rendelkező egyenlet (egyenlőtlenség) egy matematikai egyenlet ( egyenlőtlenség ), amelynek megjelenése és megoldása egy vagy több paraméter értékétől függ.

Egy egyenlet paraméterrel való megoldása a következőket jelenti :

Keresse meg az összes olyan paraméterérték-rendszert, amelyre az adott egyenletnek van megoldása.
Keresse meg az összes megoldást minden talált paraméterérték-rendszerre, azaz az ismeretlenre és a paraméterre, fel kell tüntetni az elfogadható értéktartományukat.

A paraméterrel rendelkező egyenletek lehetnek lineárisak és nemlineárisak is.

Példa egy paraméteres lineáris egyenletre:

a\,x+1=4,

Példa egy paraméteres nemlineáris egyenletre:

{\mbox{log}}_{{x^{2}}}{\frac {a+3}{7-x}}=5,

ahol - független változó - paraméter. $x$ $a$

Az egyenlőtlenségek hasonló módon vannak felosztva . Az alábbiakban példákat mutatunk be egyenletek és paraméteres egyenlőtlenségek megoldására.

Példák

Példa 1. Melyik másodfokú egyenletnek van pontosan egy gyöke?

a

{x^{2}}+3\,xa=0

Megoldás. Minden másodfokú egyenletnek van egy megoldása, ha a diszkriminánsa nulla. Tehát az egyenletünk diszkriminánsa: . Akkor van: , honnan . $D=9+4\,a$ $9+4\,a=0$ $a=-{\tfrac {9}{4))$

Válasz: .

a=-{\frac {9}{4))

2. példa Melyik egyenletrendszerhez:

a

${\begin{cases}x^{2}+y^{2}-2ax-2y-8+a^{2}=0,\\x^{2}+y^{2}-4x-2y+ 1 =0\end{esetek}}$ .

pontosan két megoldása van?

Megoldás. Először is át kell alakítania a rendszer két egyenletét, kiemelve bennük a teljes négyzeteket: ${\begin{cases}x^{2}+y^{2}-2ax-2y-8+a^{2}=0,\\x^{2}+y^{2}-4x-2y+ 1 =0\end{esetek}}$ $\Baljobbra nyíl$ ${\begin{cases}(x^{2}-2ax+a^{2})+(y^{2}-2y+1)=9,\\(x^{2}-4x+4)+ (y^{2}-2y+1)=4\end{cases}}$ $\Baljobbra nyíl$ ${\begin{cases}(xa)^{2}+(y-1)^{2}=9,\\(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=4\ vége{esetek}}$

Könnyű kitalálni, hogy a rendszer e két egyenlősége nem más, mint a körök egyenlete. Az első körnek egy pontban van a középpontja és egy sugara , a második körnek pedig egy pontban van a középpontja és egy sugara . Ha sematikusan megszerkeszti ezeket a köröket ugyanabban a koordinátarendszerben , akkor láthatja, hogy két közös metszéspont lesz, ha . És a probléma megoldottnak tekinthető. $(a;1)$ $3$ $(2;1)$ $2$ $a\in (-3;1)\cup (3;7)$

Válasz: .

a\in (-3;1)\cup (3;7)

3. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget mindenre !

a

ax^{2}+(a+1)x+1\geqslant 0

Megoldás. Tekintsünk három esetet:

Ha , akkor az egyenlőtlenség formáját ölti ; $a=0$ $x+1\geqslant 0\Leftrightarrow x\in [-1;+\infty )$
Ha , akkor a négyzetes trinom összes együtthatója pozitív lesz, ami azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség megoldása így ábrázolható , ahol , a polinom és a gyökei . A következőt találjuk: $a\geqslant 0$ $x\in (-\infty ;x_{1}]\pohár [x_{2};+\infty )$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}\leqslant x_{2}$ $x_{1}={\cfrac {-a-1-{\sqrt {a^{2}+2a+1-4a}}}{2a}}\Leftrightarrow x_{1}={\cfrac {-a- 1-|a-1|}{2a}}={\begin{cases}-1,a\geqslant 1,\\-{\tfrac {1}{a}},0\leqslant a\leqslant 1\end {esetek}}$

$x_{2}={\begin{cases}-{\tfrac {1}{a}},a\geqslant 1,\\-1,0\leqslant a\leqslant 1\end{cases}}$

Ezért , ha és , ha . $x\in (-\infty ;-1]\cup [-{\tfrac {1}{a));+\infty )$ $a\geqslant 1$ $x\in (-\infty ;-{\tfrac {1}{a))]\cup [-1;+\infty )$ $0\leqslant a\leqslant 1$