Irracionális egyenlet

Az irracionális egyenlet olyan egyenlet , amely az ismeretlent gyökjellel tartalmazza, vagy olyan hatványra emelve, amely nem redukálható egész számra . Az irracionális egyenlet legegyszerűbb példája a vagy egyenlet . Néha a gyököket az ismeretlen racionális hatalmaként jelölhetjük, vagyis helyette írnak . $\surd$ ${\sqrt {x}}=2$ ${\sqrt[{3}]{x}}=-3$ ${\sqrt[{n}]{x}}$ $x^{\frac {1}{n))$

Példák és osztályozás

$3(x+4)=x$ - mivel a változó nincs a gyökérjel alatt - ez egy algebrai egyenlet. $x$
$3(y+z)^{2}=x-{\sqrt {\pi ))$ - mivel a , , egyik változó sem a gyökjel alatt van, hanem egy állandó szám - ez egy algebrai egyenlet. $z$ $y$ $x$ ${\sqrt {\pi ))$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}={\frac {1}{x}}$ - mivel a változó nem a gyök előjele alatt van, és - a konstans szám racionális egyenlet. $x$ ${\sqrt 3}$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}=x^{-1}$ - még azok az egyenletek sem irracionálisak, ahol az ismeretlen negatív erejű. Ez ismét egy racionális egyenlet, amely megegyezik a fent leírtakkal. $x$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}=x^{0}$ egy algebrai egyenlet, mivel $x^{0}=1$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}=x^{\frac {1}{2}}$ - mivel a változó tört hatványra van emelve, ami nem redukálható egész számra - ez egy irracionális egyenlet. $x$

Röviden, az egyenletek egyik vagy másik kategóriához való hozzárendelésének szabálya a következőképpen fogalmazható meg:

ha az egyenletben szereplő ismeretlenek összes hatványa a természetes számok halmazához tartozik , akkor egy ilyen egyenlet algebrainak tekinthető. $\mathbb {N}$
ha az egyenletben szereplő ismeretlen\s összes hatványa az egész számok halmazához tartozik, akkor egy ilyen egyenletet racionálisnak nevezünk . $\mathbb {Z}$
ha az egyenletben szereplő ismeretlenek összes hatványa a racionális számok halmazához tartozik, akkor egy ilyen egyenletet irracionálisnak nevezünk . $\mathbb {Q}$

Példaként szolgálhatnak bonyolultabb irracionális egyenletek példái:

{\sqrt {x+4}}+{\sqrt {x+9}}=5

7{\sqrt[{3}]{2x^{2}+6}}-3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}=11

x^{2}+{\sqrt {x-1}}=10x+{\sqrt[{11}]{x-2}}+1

Kapcsolat algebrai egyenletekkel

Bármely irracionális egyenlet elemi algebrai műveletek (szorzás, osztás, mindkét egyenletrész egész hatványra emelése) segítségével racionális algebrai egyenletté redukálható . Például egy egyenlet a második hatványra emeléssel átalakítható alakra , ami már nem irracionális, hanem algebrai egyenlet. ${\sqrt {x^{2}+x}}=2$ $x^{2}+x=4$

Figyelembe kell venni, hogy a kapott racionális algebrai egyenlet nem biztos, hogy ekvivalens az eredeti irracionális egyenlettel, nevezetesen tartalmazhat olyan "extra" gyököket, amelyek nem lesznek az eredeti irracionális egyenlet gyökerei. Ezért, miután megtaláltuk a kapott racionális algebrai egyenlet gyökereit, ellenőrizni kell, hogy a racionális egyenlet összes gyöke lesz-e az irracionális egyenlet gyöke.

A megoldás közeledik

Általános esetben nehéz bármilyen irracionális egyenlet megoldására univerzális módszert megjelölni, mivel kívánatos, hogy az eredeti irracionális egyenlet transzformációi eredményeként ne csak valamiféle racionális algebrai egyenletet kapjunk a gyökök között. amely ennek az irracionális egyenletnek a gyökerei lesznek, hanem egy racionális algebrai egyenlet, amelyet a lehető legkevesebb fokos polinomokból alakítunk ki. A lehető legkisebb fokú polinomokból képzett racionális algebrai egyenlet megszerzésének vágya teljesen természetes, hiszen egy racionális algebrai egyenlet összes gyökerének megtalálása önmagában meglehetősen nehéz feladat lehet, amelyet csak nagyon korlátozott számban tudunk teljesen megoldani. esetek.

Hatványozás

Ha az irracionális egyenlet mindkét részét ugyanarra a páratlan hatványra emeljük, és megszabadítjuk a gyököktől, akkor az eredeti egyenlettel ekvivalens egyenletet kapunk.

Ha egy egyenletet páros hatványra emelünk, akkor egy olyan egyenletet kapunk, amely az eredeti egyenlet következménye . Ezért lehetséges az egyenlet külső megoldásainak megjelenése. A gyökszerzés oka, hogy abszolút értékű, de eltérő előjelű számokat páros hatványra emelve ugyanazt az eredményt kapjuk.

Vegye figyelembe, hogy a gyökök elvesztése, amikor egy egyenletet egyenletes hatványra emel, lehetetlen, de megjelenhetnek idegen gyökök. Vegyünk egy példát:

Oldjuk meg az egyenletet ${\sqrt {x^{2}+4x-5}}=4x-8$

Emelje fel az egyenlet mindkét oldalát a második hatványra

$({\sqrt {x^{2}+4x-5)))^{2}=(4x-8)^{2}$

mivel egyenletes hatványra emelünk, lehetséges a külső gyökök megjelenése, mert már az emelés folyamatával kibővítjük a radikális kifejezések elfogadható értékeinek tartományát (ODZ).

Tehát, amikor egy ismert pozitív számmal egyenlővé tették (mivel a számtani gyök definíciója értelmében), a változó nem vehet fel olyan értékeket, amelyeket negatív számokká alakítanak, ami azt jelenti, hogy vagy . $4x-8$ ${\sqrt {x^{2}+4x-5}}\geqslant 0$ $x$ $4x-8$ $4x-8\geqslant 0$ $x\geqslant 2$

Más szóval, a problémameghatározás helyén a változó (ODV) értékére vonatkozó korlátozásokat is kaptunk a formában . De mindkét oldal négyzetesítése után megkapjuk az egyenletet $x\geqslant 2$

$x^{2}+4x-5=16x^{2}-64x+64$ ,

már amiben a megengedett értékek területe ( ODZ ) változással teljesen más (most már abszolút bármilyen értéket felvehet, vagyis az ODZ kibővült az eredeti egyenlethez képest). $x$ $x$

Nyilvánvaló, hogy az idegen gyökök valószínűsége drámaian megnőtt pusztán azáltal, hogy most sokkal több szám válhat gyökérré, és nem csak azok, amelyek . $x\geqslant 2$

Folytatva a megoldást és az egyszerűsítést, egy másodfokú egyenletet kapunk: $x^{2}+4x-5=16x^{2}-64x+64$

$15x^{2}-68x+69=0$ , melynek gyökerei

$x=3$ és $x={\frac {23}{15}}$

Meg kell jegyezni, hogy a és pontosan az egyenlet gyökerei , de még nem ismert, hogy az eredeti egyenlet gyökerei-e. $x=3$ $x={\frac {23}{15}}$ $15x^{2}-68x+69=0$ ${\sqrt {x^{2}+4x-5}}=4x-8$

Tehát tudjuk, hogy az eredeti egyenlet gyöke nem lehet kisebb 2-nél, de közben a gyök kisebb, mint kettő, ami azt jelenti, hogy nem lehet az eredeti egyenlet gyöke. $x={\frac {23}{15}}\kb. 1,533333...$

Válasz: ${\displaystyle x\in \{3\))$

A feltételrendszer cseréje

A gyökértulajdonságok használata

Új változók bevezetése

Egy segédváltozó bevezetése bizonyos esetekben az egyenlet egyszerűsítéséhez vezet. Leggyakrabban az egyenletben szereplő gyököt (gyököt) használjuk új változóként. Ebben az esetben az egyenlet racionálissá válik az új változóhoz képest.

1. példa [1] : Oldja meg az egyenletet $2x^{2}+3x+{\sqrt {2x^{2}+3x+9}}=33,x\in \mathbb {R}$

Csináljunk egy cserét , jól látható, hogy ezzel megszorításokat állítottunk az új változóra a formában , mivel a számtani gyök nem lehet negatív szám. $y={\sqrt {2x^{2}+3x+9}}$ $y\geqslant {0}$

A második hatványra emelés után megszabadulunk a gyökér jelétől, és megkapjuk a kifejezést . Továbbá az eredeti egyenletbe való behelyettesítés után a következő egyenletet kapjuk: $y$ $y^{2}=2x^{2}+3x+9$ $y$

$y^{2}+y-42=0$ ,

amelynek gyökerei és . De ez nem lehet negatív szám, mivel behelyettesítésünkkel definiáltuk, ezért csak a számot fogjuk figyelembe venni . Továbbá az egyenlet megoldásával megkapjuk a gyököket és a . $y=6$ $y=-7$ $y$ $y$ $y=6$ ${\sqrt {2x^{2}+3x+9}}=6$ $x=3$ $x=-4,5$

Válasz: $x\in \{3;-4.5\}$

2. példa [2] : Oldja meg az egyenletet ${\sqrt[{3}]{x+28}}-{\sqrt[{3}]{x-9}}=1$

Tegyünk két behelyettesítést: és , miután a harmadik hatványra emeltük, és . Továbbá minden új egyenlet megoldása a $u={\sqrt[{3}]{x+28))$ $v={\sqrt[{3}]{x-9))$ $u^{3}=x+28$ $v^{3}=x-9$ $x$

$x=u^{3}-28$ és , és ezeknek az egyenleteknek a kiegyenlítése után megkapjuk az egyenletet , de tekintettel arra, hogy hogyan vezettük be és , megvan az egyenlet is , ami azt jelenti, hogy van egy egyenletrendszerünk: $x=v^{3}+9$ $u^{3}-28=v^{3}+9$ $u$ $v$ $uv=1$

${\begin{cases}uv=1\\u^{3}-v^{3}=37\end{cases))$

A rendszer megoldása után megkapjuk a és értékeket , ami azt jelenti, hogy még két egyenletet kell megoldanunk: $v_{1}=3$ $v_{2}=-4$

${\sqrt[{3}]{x-9}}=3$ és , amelynek megoldásai és . ${\sqrt[{3}]{x-9}}=-4$ $x=36$ $x=-55$

Válasz: $x\in \{36;-55\}$

Hatókör használata

A tartomány használata

Identitástranszformációk

A derivált

A majoráns használata

A „majorante” kifejezés a francia „ majorante ” szóból származik, a „ majorer ” szóból – nagynak nyilvánítani.

Egy adott függvény majoránsa egy adott intervallumon egy olyan A szám , amely vagy az adott intervallum összes x -ére, vagy az adott intervallum összes x -ére. A módszer fő gondolata, hogy a következő tételeket használja az irracionális egyenletek megoldására: $f(x)$ $f(x)\leqslant {A}$ $f(x)\geqslant {A}$

1. tétel.

Legyen és néhány a halmazon meghatározott függvény . Legyen határos ezen a halmazon felülről az A számmal , és ezen a halmazon ugyanazzal az A számmal , de alulról. $f(x)$ $g(x)$ $D$ $f(x)$ $g(x)$

Ekkor az egyenlet ekvivalens a rendszerrel: $f(x)=g(x)$

${\begin{cases}f(x)=A\\g(x)=A\end{cases))$

2. tétel.

Legyen és néhány a halmazon meghatározott függvény . Legyen és ezen a halmazon alulról (felülről) határoljuk az A és B számokat . Ekkor az egyenlet ekvivalens az egyenletrendszerrel: $f(x)$ $g(x)$ $D$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x)+g(x)=A+B$

${\begin{cases}f(x)=A\\g(x)=B\end{cases))$

3. tétel.

Legyen és néhány nemnegatív függvény, amely a halmazon van definiálva . Határozzuk felülről (vagy alulról) az A és B számokkal. Ekkor az egyenlet ekvivalens az egyenletrendszerrel (feltéve, hogy és ): $f(x)$ $g(x)$ $D$ $f(x)$ $f(x)g(x)=AB$ $A>0$ $B>0$

${\begin{cases}f(x)=A\\g(x)=B\end{cases))$

Ebben az állításban különösen fontos a és függvények nem-negativitásának feltétele, valamint az A és B pozitivitásának feltétele. $f(x)$ $g(x)$

Példa:

oldja meg az egyenletet ${\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1}}+{\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25}}=6$

Vezessünk be egy rövidebb jelölést: és . $f(x,y)={\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1))$ $g(x,y)={\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25))$

1-nél nagyobb vagy azzal egyenlő értékek , mert a gyök kifejezés nyilvánvaló . És csak akkor, ha . Hasonlóképpen, az értékek nem kisebbek 5-nél. Így írhatunk . Ezért a 2. tétel segítségével: $f(x,y)$ $(x-2y+1)^{2}+1$ $\geqslant {1}$ $f(x,y)=1$ $(x-2y+1)^{2}=0$ $g(x,y)$ $f(x,y)+g(x,y)=1+5$

${\begin{cases}f(x,y)=1\\g(x,y)=5\end{cases))$ vagy ${\begin{cases}{\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1}}=1\\{\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25} }=5\end{esetek}}$

Mindkét egyenlet négyzetre emelésével azt kapjuk

${\begin{cases}(x-2y+1)^{2}=0\\(3x-y-2)^{2}=0\end{cases))$ , tovább egyszerűsítve ${\begin{cases}x-2y+1=0\\3x-y-2=0\end{cases))$

Az egyetlen megoldás erre a rendszerre $(1;1)$

Válasz: $(1;1)$

Grafikus megközelítés

Egyes esetekben egy függvény ábrázolása lehetővé teszi egy egyenlet megoldásának lehetséges módjainak, a gyökök számának vagy közelítő értékének értékelését.

Jegyzetek

↑ Akatkina Elena Mikhailovna. Irracionális egyenletek megoldási módszerei . Nyílt lecke.rf . (határozatlan)
↑ Eremenko Elena Vasziljevna. Irracionális egyenletek . Nyílt lecke.rf . Letöltve: 2020. október 24. Az eredetiből archiválva : 2020. szeptember 21. (határozatlan)

Linkek

[ Irracionális egyenletek. Példák megoldásokkal ]