Jelölés

Számrendszerek a kultúrában
indoarab
Arab tamil burmai	khmer laoszi mongol thai
kelet Ázsiai
Kínai japán Suzhou koreai	Vietnami számlálóbotok
Betűrendes
Abjadia örmény Aryabhata cirill görög	Grúz etióp zsidó Akshara Sankhya
Egyéb
Babiloni egyiptomi etruszk római dunai	Padlás Kipu Maja Égei KPPU szimbólumok
helyzeti
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-pozíciós
szimmetrikus
vegyes rendszerek
Fibonacci
nem pozíciós
Egyes szám (egyetlen)

A számrendszer ( angol numeral system vagy system of numeration ) a számírás szimbolikus módszere , amely a számokat írott karakterekkel ábrázolja .

Jelölés:

számok halmazát ( egész és/vagy valós szám ) ábrázolja;
minden számnak egyedi reprezentációt ad (vagy legalább szabványos ábrázolást);
tükrözi a számok algebrai és aritmetikai szerkezetét.

A számrendszerek a következőkre oszthatók:

helyzeti ( eng. pozíciórendszer , helyérték jelölés );
nem pozíciós;
vegyes.

Helyzetszámrendszerek

Pozíciós számrendszerekben ugyanaz a számjegy ( számjegy ) egy számbejegyzésben eltérő jelentéssel bír attól függően, hogy hol ( számjegy ) található. A számjegyek helyi jelentésén alapuló helyzetszámozás feltalálását a suméroknak és babiloniaknak tulajdonítják ; egy ilyen számozást a hinduk dolgoztak ki, és felbecsülhetetlen következményekkel járt az emberi civilizáció történetében. Ezek a rendszerek magukban foglalják a modern decimális számrendszert , amelynek megjelenése az ujjakon való számoláshoz kapcsolódik. A középkori Európában olasz kereskedők révén jelent meg, akik viszont az araboktól kölcsönözték.

A helyzeti számrendszeren általában az -áris számrendszert értjük, amelyet egy egész szám határoz meg , amelyet a számrendszer alapjának nevezünk . Egy előjel nélküli egész szám a számrendszerben a szám hatványainak véges lineáris kombinációjaként jelenik meg : $b$ $b>1$ $x$ $b$ $b$

x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}

, ahol az egész számok, az úgynevezett számjegyek , amelyek kielégítik az egyenlőtlenséget .

a_{k}

0\leq a_{k}\leq (b-1)

Az ilyen rekordok minden fokozatát a kategória súlyozási tényezőjének nevezzük . A számjegyek és a hozzájuk tartozó számjegyek rangját a mutató (számjegyszám) értéke határozza meg . Általában a kezdő nullákat kihagyják a nullától eltérő számokban. $b^{k}$ $k$

Ha nincsenek eltérések (például ha az összes számjegy egyedi írott karakterek formájában van feltüntetve), a szám a -ary számjegyeinek sorozataként kerül kiírásra, a számjegyek sorrendje balról jobbra csökkenő sorrendben: $x$ $b$

x=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}.

Például a százhárom számot a decimális számrendszerben a következőképpen ábrázoljuk:

103=1\cpont 10^{2}+0\cpont 10^{1}+3\cpont 10^{0}.

A leggyakrabban használt pozíciórendszerek a következők:

2 - bináris ( diszkrét matematikában , számítástechnikában , programozásban );
3 - hármas ;
8 - oktális ;
10 - tizedes (mindenhol használják);
12 - duodecimális (tucatokban számolva);
16 - hexadecimális ( programozásban , számítástechnikában használatos );
20 - vigesimális ;
60 - hatszázalékos ( időegységek , szögek és különösen koordináták, hosszúság és szélesség ).

Helyzetrendszerekben minél nagyobb a számrendszer alapja , annál kevesebb számjegyre (azaz írandó számjegyre ) van szükség egy szám írásához.

Vegyes számrendszerek

A vegyes számrendszer az -áris számrendszer általánosítása, és gyakran utal helyszámrendszerekre is. A vegyes számrendszer alapja egy növekvő számsorozat, amelyben minden szám lineáris kombinációként jelenik meg : $b$ $\{b_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ $x$

x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b_{k}

, ahol bizonyos korlátozások vonatkoznak az együtthatókra , amelyeket, mint korábban, számjegyeknek nevezünk.

a_{{k}}

Egy szám vegyes számrendszerben történő rögzítése a számjegyeinek a csökkenő index szerinti felsorolása, az első nem nullától kezdve. $x$ $k$

Típustól függően a vegyes számrendszerek függvénye lehet hatvány , exponenciális stb. Amikor egyeseknél a vegyes számrendszer egybeesik az exponenciális számrendszerrel. $b_{k}$ $k$ $b_{k}=b^{k}$ $b$ $b$

A vegyes számrendszer leghíresebb példája az idő napok, órák, percek és másodpercek számának ábrázolása. Ebben az esetben a " napok, órák, percek, másodpercek" értéke a másodpercek értékének felel meg. $d$ $h$ $m$ $s$ $d\cdot 24\cdot 60\cdot 60+h\cdot 60\cdot 60+m\cdot 60+s$

Tényezőszámrendszer

A faktoriális számrendszerben az alapok a faktoriálisok sorozata , és minden természetes számot a következőképpen ábrázolunk: $b_{k}=k!$ $x$

x=\sum _{k=1}^{n}d_{k}k!

, hol .

0\leq d_{k}\leq k

A faktorszámrendszert a permutációk inverziós listákkal történő dekódolásakor használjuk : ha rendelkezik permutációs számmal, azt saját maga is reprodukálhatja a következőképpen: a permutációs számot (a számozás nullától kezdődik) a faktorszámrendszerbe írjuk, míg az együtthatót a számra. jelzi az adott halmazban lévő elem inverzióinak számát, amelyekben permutációk történtek (az elemek száma kisebb, mint , de attól jobbra a kívánt permutációban). $i!$ $i+1$ $i+1$

Példa: vegyünk egy 5 elemből álló permutációs halmazt, összesen 5 van! = 120 (a 0 - (1,2,3,4,5) permutációtól a 119 - (5,4,3,2,1) permutációig) 100-as permutációt találunk:

100=4!\cdot 4+3!\cdot 0+2!\cdot 2+1!\cdot 0=96+4;

legyen — a szám együtthatója , akkor , , , akkor: az 5-nél kisebb, de jobbra álló elemek száma 4; a 4-nél kisebb, de jobb oldali elemek száma 0; a 3-nál kisebb, de jobb oldali elemek száma 2; a 2-nél kisebb elemek száma, de jobbra 0 (a permutáció utolsó eleme az egyetlen megmaradt helyre kerül) - így a 100-as számú permutáció így fog kinézni: (5,3,1, 2,4) Ezt a módszert úgy ellenőrizhetjük, hogy közvetlenül megszámoljuk az egyes permutációs elemek inverzióit. $t_{i}$ $i!$ $t_{4}=4$ $t_{3}=0$ $t_{2}=2$ $t_{1}=0$

Fibonacci számrendszer

A Fibonacci-számrendszer a Fibonacci-számokon alapul . Minden benne lévő természetes szám a következőképpen jelenik meg: $n$

n=\összeg _{k}f_{k}F_{k}

, ahol a Fibonacci-számok, , míg az együtthatók véges számú egységből állnak, és nincs két egység egymás után.

F_{k}

f_{k}\in \{0,1\}

f_{k}

Nem pozíciós számrendszerek

A nem pozíciós számrendszerekben a számjegyek értéke nem függ a számban elfoglalt helytől. Ebben az esetben a rendszer korlátozhatja a számok helyzetét, például úgy, hogy azok csökkenő sorrendbe legyenek rendezve.

Napjainkban a leggyakoribb nem pozíciós számrendszerek a római számok .

Binomiális számrendszer

A binomiális számrendszerben az x számot binomiális együtthatók összegeként ábrázolják :

x=\sum _{k=1}^{n}{c_{k} \choose k}

, ahol

0\leq c_{1}<c_{2}<\pontok <c_{n}.

Minden rögzített érték esetén minden természetes szám egyedi módon van ábrázolva. [egy] $n$

Residual Class System (SOC)

Egy szám reprezentációja a maradék osztályrendszerben a maradék fogalmán és a kínai maradéktételen alapul . Az RNS-t páronkénti koprím modulok definiálják egy szorzattal úgy, hogy az intervallumból származó minden egész egy maradék halmazhoz van társítva , ahol $(m_{1},m_{2},\pontok,m_{n})$ $M=m_{1}\cdot m_{2}\cdot \dots \cdot m_{n}$ $x$ $[0,M-1]$ $(x_{1},x_{2},\pontok,x_{n})$

x\equiv x_{1}{\pmod {m_{1}}};

x\equiv x_{2}{\pmod {m_{2}}};

…

x\equiv x_{n}{\pmod {m_{n}}}.

Ugyanakkor a kínai maradéktétel garantálja az intervallumból származó számok reprezentációjának egyediségét . $[0,M-1]$

Az RNS-ben az aritmetikai műveleteket (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) komponensenként hajtják végre, ha az eredményről tudjuk, hogy egész szám, és az is benne van . $[0,M-1]$

Az RNS hátránya, hogy csak korlátozott számú számot képes ábrázolni, valamint az RNS-ben ábrázolt számok összehasonlítására szolgáló hatékony algoritmusok hiánya. Az összehasonlítást általában az RNS argumentumainak bázisokban kevert számrendszerré alakításával végzik . $(m_{1},m_{1}\cdot m_{2},\dots ,m_{1}\cdot m_{2}\cdot \dots \cdot m_{n-1})$

Stern-Brocot számrendszer

A Stern-Brocot számrendszer a pozitív racionális számok írásának módja a Stern-Brocot fa alapján .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Lando S.K. 1. fejezet: 1.13. feladat // Előadások a függvények generálásáról . - 3. kiadás, Rev. - M . : MTsNMO , 2007. - 144 p. - ISBN 978-5-94057-042-4 . (nem elérhető link)

Linkek

Gashkov SB Számrendszerek és alkalmazásuk . - M .: MTSNMO , 2004. - ( "Matematikai oktatás" könyvtár ). Archiválva : 2014. január 12. a Wayback Machine -nél
Fomin SV Számrendszerek . — M .: Nauka, 1987. — 48 p. - ( Népszerű matematikai előadások ).
Yaglom I. Számrendszerek // Kvant . - 1970. - 6. sz . - S. 2-10 .
Számok és számrendszerek . Online Enciklopédia a világ körül.
Sztahov A. A számrendszerek szerepe a számítógépek történetében . Az eredetiből archiválva : 2009. május 1.
Mikushin A.V. Számrendszerek. Előadások „Digitális eszközök és mikroprocesszorok”
Butler JT, Sasao T. Redundáns többértékű számrendszerek A cikk olyan számrendszerekkel foglalkozik, amelyek egynél nagyobb számjegyeket használnak, és lehetővé teszik a redundanciát a számok megjelenítésében

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Brockhaus és Efron a világ körül Kis Brockhaus és Efron horvát Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4117700-9 J9U : 987007538744805171 LCCN : sh85093233 NDL : 00762396 NKC : ph128225