Negatív számrendszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. május 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 13 szerkesztést igényelnek .

Számrendszerek a kultúrában
indoarab
Arab tamil burmai	khmer laoszi mongol thai
kelet Ázsiai
Kínai japán Suzhou koreai	Vietnami számlálóbotok
Betűrendes
Abjadia örmény Aryabhata cirill görög	Grúz etióp zsidó Akshara Sankhya
Egyéb
Babiloni egyiptomi etruszk római dunai	Padlás Kipu Maja Égei KPPU szimbólumok
helyzeti
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-pozíciós
szimmetrikus
vegyes rendszerek
Fibonacci
nem pozíciós
Egyes szám (egyetlen)

A negatív-pozíciós számrendszer egy negatív bázisú pozíciószámrendszer . Az ilyen rendszerek sajátossága, hogy a negatív számok előtt nincs előjel, és ezért nincsenek előjelszabályok. A páratlan számú számjegyű nem-pozíciós rendszerek bármely száma pozitív, páros számjegyű pedig negatív. Gyakran egy nem pozicionális rendszerben lévő szám eggyel több számjegyet igényel, mint ugyanaz a szám egy pozitív alaprendszerben. Általában egy nem helyzeti rendszer neve a neg- előtagból és a megfelelő számrendszer pozitív bázisú nevéből áll; például nega-decimális (b = -10) , nega-terner (b = -3) , nega-bináris (b = -2) és mások. $0$

Példák

Negapozíciós jelölés	Pozíciós jelölés	Számábrázolás
174 (-10)	34 (10)	1 (-10) 2 + 7 (-10) 1 + 4 (-10) 0 = 100 - 70 + 4 = 34
46 (-10)	-34 (10)	4 (-10) 1 + 6 (-10) 0 = -40 + 6 = -34
11001 (-2)	1001 (2)	1 (-2) 4 + 1 (-2) 3 + 0 (-2) 2 + 0 (-2) 1 + 1 (-2) 0 = 16 − 8 + 1 = 9

Történelem

A nem pozíciós számrendszereket először Vittorio Grünwald javasolta Giornale di Matemache di Battaglini 23-ban (203-221. o.), amely 1885 -ben jelent meg . Grunwald algoritmusokat írt le összeadáshoz, kivonáshoz, szorzáshoz, osztáshoz, gyökkivonáshoz, oszthatósági kritériumokhoz és számrendszer-transzformációkhoz.

Használat

Az x szám egy bázissal rendelkező nem pozíciós számrendszerben egy szám hatványainak lineáris kombinációjaként jelenik meg : $b=-r$ $-r$

x = \sum_{k=0}^{n-1} a_k (-r)^k

ahol a számjegyeknek nevezett egész számok , amelyek kielégítik az egyenlőtlenséget , a számjegy nullától kezdődő sorszáma, n a számjegyek száma. Az ilyen rekordok minden fokozatát kategóriának nevezzük, a kategóriák szolgálati idejét és a hozzájuk tartozó számjegyeket a mutató értéke határozza meg . Általában egy nem nulla számhoz szükséges, hogy a b -áris reprezentáció legmagasabb számjegye is nullától eltérő legyen. $a_{k}$ $0 \leq a_k < r$ $k$ $(-r)^k$ $k$ $x$ $a_{{n-1}}$ $x$

A negatív pozíciórendszerek összehasonlíthatók az előjel-számjegyű rendszerekkel , például a szimmetrikus háromtagú rendszerekkel , ahol a rendszer alapja pozitív, de a számjegyek negatív értékeket vehetnek fel valamilyen intervallumból.

Egyes számoknak ugyanaz az ábrázolása az alap és a (pozíciós és a megfelelő nem-pozíciós) számrendszerekben. Például a 100-tól 109-ig terjedő számokat ugyanúgy írjuk a decimális és a negatizedes számrendszerben. Hasonlóképpen: $b$ $-b$

17 = 2^4+2^0 = (-2)^4+(-2)^0

Vagyis a 17-es számnak ugyanaz az ábrázolása a kettes és nem bináris számrendszerekben - . $10001$

A –12-től 12-ig terjedő számok ábrázolása különböző számrendszerekben:

Decimális	Nega decimális	Bináris	Nega-bináris	hármas	Nega-terner
-12	28	-1100	110100	-110	1210
-tizenegy	29	-1011	110101	-102	1211
-tíz	tíz	-1010	1010	-101	1212
-9	tizenegy	-1001	1011	-100	1200
-nyolc	12	-1000	1000	-22	1201
-7	13	-111	1001	-21	1202
-6	tizennégy	-110	1110	-húsz	húsz
-5	tizenöt	-101	1111	-12	21
- négy	16	-100	1100	-tizenegy	22
-3	17	-tizenegy	1101	-tíz	tíz
-2	tizennyolc	-tíz	tíz	-2	tizenegy
-egy	19	-egy	tizenegy	-egy	12
0	0	0	0	0	0
egy	egy	egy	egy	egy	egy
2	2	tíz	110	2	2
3	3	tizenegy	111	tíz	120
négy	négy	100	100	tizenegy	121
5	5	101	101	12	122
6	6	110	11010	húsz	110
7	7	111	11011	21	111
nyolc	nyolc	1000	11000	22	112
9	9	1001	11001	100	100
tíz	190	1010	11110	101	101
tizenegy	191	1011	11111	102	102
12	192	1100	11100	110	220

Fordítás negatív pozíciós rendszerekre

Egy szám nem pozíciós ábrázolását úgy kaphatjuk meg, hogy az eredeti szám maradékával (vagyis a nem-pozíciós rendszer alapjával) egymás után osztjuk, és a maradékokat az utolsótól kezdve sorba írjuk. Vegye figyelembe, hogy ha a maradékkal , akkor . Példa a negatív-terner rendszerre történő fordításra: $b=-r$ $a/b=c$ $d$ $bc + d = a$

\begin{align} 146 & ~/~ -3 = & -48, & ~~~d = 2 \\ -48 & ~/~ -3 = & 16, & ~~~d = 0 \\ 16 & ~ /~ -3 = & -5, & ~~~d = 1 \\ -5 & ~/~ -3 = & 2, & ~~~d = 1 \\ 2 & ~/~ -3 = & 0, & ~~~d = 2 \\ \end{igazítás}

Ezért a 146 (10) szám negaterner reprezentációja 21102 (-3) .

Megvalósítás C# nyelven: // Negaternáris static string negaternary ( int value ) { string result = string . Üres ; do { int maradék = érték % - 3 ; érték = érték / - 3 ; if ( maradék < 0 ) { maradék += 3 ; érték += 1 ; } eredmény = maradék . ToString ( ) + eredmény } while ( érték != 0 ); eredmény visszaadása ; } Megvalósítás C++ nyelven: // Nega-bináris #include <iostream> névtér használata std ; int main () { int érték , rem ; string res = "" ; cin >> érték ; csináld { rem = érték % -2 ; érték = érték / -2 ; ha ( rem < 0 ) { rem = rem + 2 ; érték ++ ; } if ( rem == 1 ) res = "1" + res ; if ( rem == 0 ) res = "0" + res ; } while ( érték != 0 ); cout << res ; } Megvalósítás Python 3.8-ban: # Nega-bináris res = "" érték = int ( bemenet ()) míg igaz : rem = érték % - 2 érték = érték // - 2 ha rem < 0 : rem = rem + 2 érték = érték + 1 if rem == 1 : res = "1" + res if rem == 0 : res = "0" + res ha érték == 0 : szünet nyomtatás ( res )

Törtek

Aritmetikai műveletek

Kiegészítés

Az oszlopos összeadást a szokásos rendszer szerint kell végrehajtani, például ha nem decimális számrendszerben akarunk összeadni, akkor ezt úgy kell megtenni, mint egy decimális számrendszerben . De egy kivétellel: ha bármely számjegy hozzáadásakor legalább 10-es számot kapunk, akkor a kapott számból ki kell írni az ebben a számjegyben lévő egységek számát, és ki kell vonni egyet a bal oldali számjegyből. . Ha nincs számjegy a bal oldalon, akkor adjon hozzá 19-et a bal oldalhoz (neg-decimálishoz, negatív hármashoz 12, negatív-binárishoz 11). Például (negatív decimális rendszer):

· · 18115 + 5487 3582

5 + 7 = 12, 2 az egységek kategóriájában, vonjon le egyet a szomszédos balról. 8 + 5 = 13, 3 a mínusz ezrek számjegyébe, vonjon le egyet a szomszédos balról.

· 72 + 49 1901

2+9=11, 1 az egységek számjegyeibe, a bal oldaliból vonjon ki egyet. 6 + 4 = 10, 0 a mínusz tízes kategóriában, nincs szomszéd a bal oldalon, a 19-et a balnak tulajdonítjuk.

Kivonás

Az oszlopkivonást a szokásos rendszer szerint kell végrehajtani, például ha nem ga-decimális számrendszerben (NDSS) akarunk kivonni, akkor ezt úgy kell megtenni, mint a decimális számrendszerben . De egy kivétellel: ha bármelyik számjegyből kivonáskor tízest kell venni, akkor megteszed, de a mellette lévő számjegyből nem vonsz ki egyet, hanem odaadod. Ha nincs számjegy a bal oldalon, akkor a bal oldalhoz rendeljen 1-et. Például (negatív decimális rendszer):

52 − 39 ??

2−9 lehetetlen, veszünk egyet.

2 12 − − 9 9 ?? 3

12−9=3, az egyesek számjegyében 3, a bal oldali számjegyben egyet adunk (52−12= 52−2+10 =50+10=60). 6−3=3.

52 52 6 0 60 00 − − − − − 39 30 30 30 00 ?? ?3 ?3 ?3 33

52 az NDSS-ben = -48 10 . 39 az NDSS-ben = -21 10 . 33 az NDSS-ben = -27 10 .

−48 10 − (−21 10 ) = −27 10 .

Szorzás

Szorzótáblák Szorzótábla nem bináris számrendszerben

×	0	egy
0	0	0
egy	0	egy

Szorzótábla negatív-terner számrendszerben

x	egy	2
2	2	121
egy	egy	2
0	0	0

Szorzótábla negatív-tizedes számrendszerben

egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9
2	négy	6	nyolc	190	192	194	196	198
3	6	9	192	195	198	181	184	187
négy	nyolc	192	196	180	184	188	172	176
5	190	195	180	185	170	175	160	165
6	192	198	184	170	176	162	168	154
7	194	181	188	175	162	169	156	143
nyolc	196	184	172	160	168	156	144	132
9	198	187	176	165	154	143	132	121

Lásd még

Negatív kettes számrendszer
Előjel-számjegyű számrendszer
Szimmetrikus számrendszer