Ikozaéder bináris csoportja

A 2I vagy <2,3,5> ikozaéder bináris csoportja egy nem Abel -féle 120 -as rendű csoport. A csoport a 60-as rendű I vagy (2,3,5) ikozaédercsoport kiterjesztése . egy 2-es rendű ciklikus csoport , és az ikozaédercsoport inverz képe 2:1 arányban, amely homomorfizmust takar

\operatorname {Spin} (3)\to \operatorname {SO} (3)

egy speciális ortogonális csoport egy spinor csoport által . Ez azt jelenti, hogy az ikozaéder bináris csoportja a Spin(3) 120-as rendű diszkrét alcsoportja .

Ezt a csoportot nem szabad összetéveszteni a teljes ikozaéder csoporttal , amelynek ugyanaz a 120-as rendje, de az O(3) ortogonális csoport alcsoportja.

Az ikozaéder bináris csoportja leginkább egységkvaterniók diszkrét alcsoportjaként írható le, egy izomorfizmus szerint, ahol Sp(1) az egységkvaterniók multiplikatív csoportja [1] . $\operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)$

Elemek

Az ikozaéder bináris csoportját 24 Hurwitz kvaternió egyesülése adja meg.

{±1,± i ,± j ,± k ,½ (±1± i ± j ± k )}

mind a 96 kvaternióval

½ (0 ± i ± φ −1 j ± φ k )

koordináták páros permutációjával (minden lehetséges kombináció) . Itt φ \u003d ½ (1 + √5) az aranymetszés .

Összesen 120 elemet kapunk (egység icosians ). Modulusuk eggyel egyenlő, ezért az Sp(1) kvaterniók egységeinek csoportjába tartoznak. Ennek a 120 elemnek a domború héja a 4 dimenziós térben egy szabályos 4 dimenziós poliédert alkot, amelyet hatszáz cellának neveznek .

Tulajdonságok

Központi bővítés

Az ikozaéder bináris csoportja, amelyet 2 I -vel jelölünk , az univerzális tökéletes központi kiterjesztése az ikozaédercsoportnak, ezért a kváziszimpla az egyszerű csoport tökéletes központi kiterjesztése.

Konkrétan a csoport illeszkedik a rövid pontos sorozatba

1\to \{\pm 1\}\to 2I\to I\to 1.

A sorozat nem hasadó , vagyis a 2 I nem félig közvetlen szorzata a { ±1 } és I -nek . Valójában a 2. I csoportnak nincs I -vel izomorf alcsoportja .

A 2 I csoport középpontja a { ±1 } alcsoport, tehát a belső automorfizmus csoport izomorf I -el . A teljes automorfizmuscsoport izomorf az S 5 -tel ( az 5 betűből álló szimmetrikus permutációs csoport), csakúgy, mint bármely 2 I automorfizmus, amely egy nem triviális középponti elemet ( ) rögzít, és ezért I automorfizmussá redukálódik, és fordítva, minden I automorfizmus automorfizmusba emel 2 I . $I\cong A_{5}$ $-egy$

Szupertökéletesség

Az ikozaéder bináris csoportja tökéletes csoport, azaz egybeesik a kommutánsával . Valójában a 2 I az egyetlen tökéletes 120-as rendű csoport. Ez azt jelenti, hogy a 2 I feloldhatatlan .

Ráadásul az ikozaéder bináris csoportja szupertökéletes , ami azt jelenti, hogy az első két homológiacsoportja nulla - Ez azt jelenti, hogy abelizációja triviális (a csoportnak nincsenek nem triviális Abel-hányadosai), és Schur-szorzója triviális (a csoportnak nincsenek nem triviális tökéletes központi kiterjesztései). Valójában az ikozaéder bináris csoportja a legkisebb (nem triviális) szupertökéletes csoport. $H_{1}(2I;\mathbf {Z} )\cong H_{2}(2I;\mathbf {Z} )\cong 0.$

Az ikozaéder bináris csoportja azonban nem aciklikus , mert H n (2 I , Z ) 120-as nagyságrendű ciklikus n = 4 k +3 esetén és triviális más n > 0 esetén [2] .

Izomorfizmusok

Az ikozaéder bináris csoportja a Spin(3) alcsoportja, és lefedi az ikozaéder csoportját, amely az SO(3) alcsoportja. Az ikozaédercsoport izomorf a 4-dimenziós szimplex szimmetriacsoportjával , amely az SO(4) alcsoportja, és a bináris ikozaédercsoport izomorf a Spin(4) kettős fedőjével. Vegye figyelembe, hogy a szimmetrikus csoport 4 dimenziós ábrázolással rendelkezik (ez általában a legkisebb irreducibilis reprezentációja a -dimenziós szimplex teljes szimmetriájának), ezért a 4 dimenziós szimplex szimmetria teljes halmaza egyenlő , de nem teljes. ikozaéder csoport (ez két különböző 120-as rendű csoport). $S_5$ $(n-1)$ $S_{5},$

, alternáló csoport kettős fedőjének tekinthető . Ez az izomorfizmus lefedi az ikozaédercsoport izomorfizmusát egy váltakozó csoporttal , és a Spin(4) és SO(4) alcsoportjainak tekinthető (valamint a szimmetrikus csoport alcsoportjainak és bármely kettős fedőjének , amelyek viszont alcsoportok és tűcsoportok, valamint ortogonális csoport ). $A_{5},$ $2\cdot A_{5}\cong 2I$ $A_{5}\cong I$ $S_5$ $2\cdot S_{5}^{\pm }$ $\operatorname {Pin} ^{\pm }(4)\to \operatorname {O} (4)$

Ellentétben az ikozaéder csoporttal, amely kizárólagos három dimenzióban, ezek a tetraéderes és váltakozó csoportok (és kettős fedeleik) minden dimenzióban léteznek.

Kimutatható, hogy az ikozaéder csoport izomorf a speciális SL(2,5) lineáris csoporttal , amely az összes 2×2 mátrix csoportja egy véges F 5 mező felett egységdeterminánssal .

Csoportküldetés

2. csoportnak van egy feladatom

\langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{5}=rst\rangle

ami egyenértékű azzal

\langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{5}\rangle .

Ennek az összefüggésnek a generátorait a képlet adja meg

s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(\varphi +\varphi ^{-1}i +j).

Alcsoportok

A 2 I csoport egyetlen normális alcsoportja a középpont { ±1 }.

A harmadik izomorfizmus-tétel szerint létezik Galois-megfelelés a 2 I alcsoportok és az I. alcsoportok között , ahol a 2 I alcsoportok zárási operátora szorzás { ±1 } -kal.

Az elem az egyetlen 2. rendű elem, ezért minden páros rendű alcsoportban benne van - a 2. I csoport bármely alcsoportja vagy páratlan sorrendű, vagy az I. csoport egy alcsoportjának előképe . A különböző elemekből kialakított ciklusos csoportokon kívül (amelyek páratlan sorrendűek is lehetnek), a 2 I csoport további alcsoportjai (konjugációig) csak: $-egy$

12-es és 20-as rendű bináris diédercsoportok (lefedi a D 3 és D 5 diédercsoportokataz I -ben ).
A 8 Lipschitz-egységből álló kvaterniócsoport egy 15-ös indexű alcsoportot alkot , amely egyben egy Dic 2 kétgyűrűs csoport is . Ez az alcsoport a bordastabilizátort foglalja magában .
A 24 Hurwitz-kvaternió egy 5-ös indexű alcsoportot, a tetraéder bináris csoportját alkotja . Ez az alcsoport a királis tetraéderes csoportot foglalja magában . Ez utóbbi önnormalizált , így konjugáltsági osztálya 5 elemből áll (ez egy leképezést ad, amelynek képe ). $2I\to S_{5}$ $A_{5}$

Kapcsolat 4 dimenziós szimmetriacsoportokkal

Az ikozaéder I h szimmetriacsoportjának 4-dimenziós analógja a hatszáz cella szimmetrikus csoportja (valamint annak kettős egy-húsz cellája ). Az első egy H 3 típusú csoport , a második pedig egy H 4 típusú csoport azonos jelöléssel [3,3,5]. Forgatási alcsoportja Coxeter jelöléssel [3,3,5] + , egy 7200-as rendű csoport, amely SO(4)-ben él . Az SO(4) kétszeresen fedő csoporttal rendelkezik ( Spin(4) ), pontosan ugyanúgy, ahogy a Spin(3) az SO(3) fedőcsoportja. A Spin(3) = Sp(1) izomorfizmushoz hasonlóan a Spin(4) csoport izomorf Sp(1) × Sp(1)-re.

A [3,3,5] + előképe a Spin(4)-ben (a 2 I négydimenziós analógja ) pontosan 2 I × 2 I 14400-as rendű szorzata . Egy hatszáz cella forgáscsoportja

[3,3,5] + = (2 I × 2 I ) / { ±1 }.

Különféle további négydimenziós szimmetrikus csoportok képezhetők 2 I -ből . Lásd Conway és Smith Conway [3] a részletekért .

Alkalmazások

A Spin(3) / 2 I = S 3 / 2 I kosettek tere egy gömb alakú 3-sokaság , amelyet Poincaré-gömbnek neveznek . Ez egy példa egy homológ gömbre, azaz egy 3-sokaságra, amelynek homológiacsoportjai megegyeznek a 3-gömbéivel . A Poincaré-gömb alapcsoportja izomorf az ikozaéder bináris csoportjával, mivel a Poincaré-gömb a 3-gömb hányadoscsoportja az ikozaéder bináris csoportjával.

Lásd még

Egy poliéder bináris csoportja
Bináris ciklikus csoport
Bináris diédercsoport
Tetraéder bináris csoportja
Az oktaéder bináris csoportja

Jegyzetek

↑ Ennek a homomorfizmusnak a leírása megtalálható a " Kvarterniók és a tér forgása " című cikkben .
↑ Adem, Milgram, 1994 , p. 279.
↑ Conway, Smith, 2003 .

Linkek

Alejandro Adem, R. James Milgram. Véges csoportok kohomológiája. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1994. - V. 309. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [A matematikai tudományok alapelvei]). — ISBN 978-3-540-57025-7 .
H.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser. Generátorok és kapcsolatok diszkrét csoportokhoz, 4. kiadás. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-09212-9 . 6.5 A bináris poliédercsoportok, 68. oldal
John H. Conway, Derek A. Smith. A kvaterniókról és az oktoniókról. - Natick, Massachusetts: A.K. Peters, Ltd, 2003. - ISBN 1-56881-134-9 .