Galois levelezés

A Galois-féle megfelelés ( Galois- kapcsolat ) két matematikai struktúra közötti sorrendelméleti kapcsolat , amely gyengébb az izomorfizmusnál , általánosítja a Galois-elméletből származó kapcsolatot egy kiterjesztés részmezői és a megfelelő Galois -csoport alcsoportjainak zárványrendű rendszere között . A koncepció kiterjeszthető bármilyen előrendelési relációval felruházott szerkezetre .

A koncepciót Garrett Birkhoff vezette be 1940 -ben, ő és Oystin Ore az 1940-es években határozta meg az alapvető tulajdonságokat [1] . A kezdeti definíció az antimonoton , később mind az általános algebrában , mind az alkalmazásokban egyre gyakrabban kezdték használni a monoton definíciót , amely alternatíva és kategóriaelméleti értelemben kettős .

A Galois-zárás olyan művelet, amelya Galois-levelezés összetevőinek összetételéből kialakított lezárás ; antimonoton esetben a megfeleltetési függvények mindkét lehetséges összetétele zárást képez, monoton esetben csak az egyik ilyen összetétel.

A Galois-levelezést széles körben használják az alkalmazásokban, különösen a formális fogalmak elemzésében játszik alapvető szerepet (az adatok rácselmélet segítségével történő elemzésének módszertana ).

Antimonoton Galois levelezés

Az antimonoton definíciót eredetileg Birkhoff adta meg, és közvetlenül megfelel a Galois-elmélet összefüggésének. E definíció szerint minden olyan függvénypárt és részben rendezett halmazok között , amelyek kielégítik a következő összefüggéseket, Galois-megfelelésnek nevezzük: $\varphi :A\to B$ $\psi :B\to A$ $A$ $B$

ha , akkor (antimonotonitás ), $a\leqslant a'$ $\varphi (a)\geqslant \varphi (a')$ $\varphi$
ha , akkor (antimonotonitás ), $b\leqslant b'$ $\psi (b)\geqslant \psi (b')$ $\psi$
$\psi (\varphi (a))\geqslant a$ (kiterjedtség ), $\psi \circ \varphi$
$\varphi (\psi (b))\geqslant b$ (kiterjedtség ). $\varphi \circ \psi$

A és a kompozíciók monotonnak bizonyulnak, és rendelkeznek az idempotens tulajdonsággal is ( és ), így a és a lezárások . $\psi \circ \varphi$ $\varphi \circ \psi$ $(\psi \circ \varphi )\circ (\psi \circ \varphi )=\psi \circ \varphi$ $(\varphi \circ \psi )\circ (\varphi \circ \psi )=\varphi \circ \psi$ $B$ $A$

Az antimonoton Galois-megfelelés definíciója antimonoton függvényekre és a következő feltételre ( Jürgen Schmidt , 1953 [2] [3] ): akkor és csak akkor, ha . $\varphi$ $\psi$ $b\leqslant \varphi (a)$ $a\leqslant \psi (b)$

Az analitikus geometriában a polárisokkal analóg módon az antimonoton Galois-megfeleléssel összefüggő függvényeket polaritásoknak nevezzük [4] .

Monoton Galois levelezés

Monoton függvények és monoton Galois-megfelelésben vannak, ha a következő feltételek teljesülnek: $\gamma :A\-B$ $\delta :B\to A$

$\gamma (\delta (b))\geqslant b$ ,
$\delta (\gamma (a))\leqslant a$ .

Ezzel a definícióval egyenértékű az antimonoton variáns Schmidt-feltételével kettős feltétel teljesülése: akkor és csak akkor, ha, gyakran ezt veszik kezdeti definíciónak [5] . $b\leqslant \gamma (a)$ $\delta (b)\leqslant a$

Egy monoton Galois-megfelelés esetén a függvények konjugáltságáról is beszélünk , hiszen a kategóriaelméletben egy ilyen megfeleltetés adjunkt funktorokat ad . Ellentétben az antimonoton formával, ahol a megfelelés ( polaritás ) komponensei szimmetrikusak, a monoton megfelelésben a felső konjugált függvényt különböztetjük meg, amelynek értékei a jobb oldali feltételben vesznek részt a sorrendi viszonyokban (in ez a definíció - , és az alsó konjugátum - amelyeknek értékei a bal oldali feltételből vesznek részt a sorrendi relációkban ( ) Néha az alsó adjunkt függvényt ferde- adjunktnak mondják (ilyenkor a felsőt egyszerűen ún. "adjunkt"). $\gamma$ $\delta$

A zárási operátor a monoton Galois-megfelelésben a kompozíció , míg a kompozíció nem lezárás, tehát ahelyett, hogy kiterjedt lenne, az inverz feltétel teljesül rá (egy ilyen tulajdonsághalmazú függvényt néha nukleáris operátornak neveznek [6 ] vagy összezárás). $\delta \circ \gamma$ $\gamma \circ \delta$

Adjoint funktorok

Bármely póz tekinthető kategóriának , amelyben minden objektumpár esetében a morfizmusok halmaza egyetlen morfizmusból áll, ha egyébként üres. Az ily módon részben rendezett és halmazokból előállított kategóriák esetén a monoton Galois-megfelelésben lévő és leképezések adjunkt függvények . $(A,\leqslant )$ $a,a'\in A$ $\mathrm {Hom} (a,a')$ $a\leqslant a'$ $A$ $B$ $\gamma :A\-B$ $\delta :B\to A$

A konjugált funktorok egyben a leképezések és ( egy kettős kategória , azaz a morfizmusok inverziójával nyert), amelyek az antimonoton Galois-megfelelésben vannak [7] . $\varphi :A\to B^{\mathrm {op} }$ $\psi :B\to A^{\mathrm {op} }$ $A^{\mathrm {op} }$ $A$

Tulajdonságok

A megfelelések összetétele

A Galois-levelezés mind antimonoton, mind monoton formában alávethető a kompozíciós műveletnek – ha a és a leképezési párok szerepelnek a Galois-levelezésben , akkor a kompozíció: $(\varphi _{1}:A\–B,\psi _{1}:B\–A)$ $(\varphi _{2}:B\–C,\psi _{2}:C\–B$

(\varphi _{2},\psi _{2})\circ (\varphi _{1},\psi _{1})=(\varphi _{2}\circ \varphi _{1 },\psi _{1}\circ \psi _{2})

ismét a Galois-levelezés.

Példák

Galois elmélet és általánosítások

A Galois-elméletben megfeleltetés jön létre egy mező algebrai kiterjesztésének közbülső részmezőinek rendszere és ennek a kiterjesztésének Galois-csoportjának alcsoportjainak rendszere között . $L\supset K$

Egy példa a Galois-elméletből természetesen általánosítható: egy mező automorfizmuscsoportja helyett tetszőleges csoportot vehetünk figyelembe , amely a leképezési halmazra ható , valamint a zárványrendű Boole -ok és a közötti leképezéseket . Ebben az esetben a és a leképezéseket a következőképpen határozzuk meg: $G$ $U$ $\cdot :G\times U\to U$ ${\mathcal {P}}U$ ${\mathcal {P}}G$ $\varphi :{\mathcal {P}}U\to {\mathcal {P}}G$ $\psi :{\mathcal {P}}G\to {\mathcal {P}}U$

{\displaystyle \varphi (X)=\{\sigma \mid u\in X\Rightarrow \sigma \cdot u=u\))

(kiválaszt egy alcsoportot a -ban , az összes pontot a helyén hagyva a művelet alatt ),

G

u\in X

\cdot

{\displaystyle \psi (S)=\{u\mid \sigma \in S\Rightarrow \sigma \cdot u=u\))

(a halmazhoz társítja az automorfizmusok rögzített pontjainak halmazát a művelet alatt )

S\subseteq G

\cdot

az antimonoton Galois-levelezésben vannak [7] .

A következő általánosítás olyan tetszőleges halmazok figyelembevételét jelenti, amelyek között tetszőleges bináris reláció van megadva , és leképezéseket ezeknek a halmazoknak és az így definiált Boole-ok között: $\star \subseteq A\times B$ ${\mathcal {P}}A$ ${\mathcal {P}}B$

{\displaystyle \varphi (X)=\{y\in B\mid \forall (x\in X)x\star y\))

{\displaystyle \psi (Y)=\{x\in A\mid \forall (y\in Y)x\star y\))

Ebben az esetben, és szintén az antimonoton Galois levelezésben. $\varphi$ $\psi$

Logikai és általánosítások

Egy tetszőleges halmaz és annak valamely rögzített részhalmazának inklúziós sorrendű Boole-értéke a következőképpen definiált leképezések közötti monoton Galois-megfeleléssel társítható : ${\mathcal {P}}A$ $F\subseteq A$ $\varphi ,\psi :{\mathcal {P}}A\to {\mathcal {P}}A$

\varphi (X)=F\cap X

\psi (X)=X\cup (A\setminus F)

Ilyen összefüggés bármely Heyting-algebrában létesíthető , különösen bármely Boole-algebrában (a Boole-algebrákban a logikai algebrában a felső konjugált függvény szerepét a kötőszó játssza , az alsó konjugátumot anyagi vonatkozásai alapján ).

Teljes rácsok

Jegyzetek

↑ Gretzer, 1981 , p. 78.
↑ J. Schmidt. Beitrage zur Filtertheorie. II (német) // Mathematische Nachrichten . - 1953. - Bd. 10 , sz. 53 . - S. 197-232 .
↑ Birkhoff, 1984 , p. 165.
↑ Birkhoff, 1984 , p. 163.
↑ Giertz, 2003 , p. 22.
↑ Giertz, 2003 , p. 26.
↑ 1 2 McLane, 2004 , p. 114.

Irodalom

Birkhoff G. Rácselmélet . — M .: Nauka , 1984. — 567 p.
G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislow, D. S. Scott . Galois kapcsolatok // Folyamatos rácsok és tartományok. - Cambridge: Cambridge University Press , 2003. - S. 22-35. — 629 p. – (Matematika és alkalmazásai enciklopédia, 93. köt.).
Gretzer G. A rácsok általános elmélete. — M .: Mir , 1981. — 456 p.
McLane S. 4. fejezet Adjunkt funktorok // Kategóriák a dolgozó matematikus számára / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Øystein Ore. Galois Connexions (angol) // Transactions of the American Mathematical Society . - 1944. - 1. évf. 55 . - P. 493-513 . — ISSN 0002-9947 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1944-0010555-7 .