Planck-képlet

A Planck- képlet (Planck - törvény ) egy olyan képlet, amely leírja a sugárzás spektrális sűrűségét , amelyet egy bizonyos hőmérsékletű abszolút fekete test hoz létre . A képletet Max Planck fedezte fel 1900-ban, és vezetéknevéről nevezték el. Felfedezését annak a hipotézisnek a megjelenése kísérte, hogy az energia csak diszkrét értékeket vehet fel. Ezt a hipotézist a felfedezés után egy ideig nem tekintették jelentősnek, de általában úgy vélik, hogy a kvantumfizika szülte .

Képlet

A Planck-képlet egy bizonyos hőmérsékletű abszolút fekete test által létrehozott sugárzás spektrális sűrűségének kifejezése . Ennek a képletnek a felírásának különféle formái vannak [1] [2] .

Energia fényerő

A sugárzás spektrális sűrűségét kifejező képlet a következő [3] :

B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\ nu }{kT}}-1}},

hol a sugárzási frekvencia , az abszolút fekete test hőmérséklete , a Planck - állandó , a fénysebesség , a Boltzmann - állandó . Az SI rendszerben a képletben szereplő mennyiség W m −2 · Hz −1 · sr −1 méretű . Fizikai jelentése az energia fényesség kis frekvenciatartományban osztva . Hasonló képlet használható, amelyben a sugárzás nem a frekvencia , hanem a hullámhossz függvénye [3] [4] : $\nu$ $T$ $h$ $c$ $k$ ${\displaystyle B_{\nu ))$ $(\nu ;\nu +d\nu )$ $d\nu$ $\lambda$

B_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{ \lambda kT}}-1}}

Ebben az esetben a mérete W·m −2 ·m −1 · sr −1 , és egy kis hullámhossz-tartományban a sugárzásnak felel meg osztva [3] [4] . ${\displaystyle B_{\lambda ))$ $(\lambda ;\lambda +d\lambda )$ $d\lambda$

Emissziós tényező

Az emissziós képesség egy frekvencián vagy hullámhosszon az egységnyi területre jutó sugárzási teljesítmény a frekvencia- vagy hullámhossz-tartományban osztva vagy -vel . Az [5] képletekkel fejezhető ki : $\nu$ $\lambda$ $(\nu ;\nu +d\nu )$ $(\lambda ;\lambda +d\lambda )$ $d\nu$ $d\lambda$

\varepsilon _{\nu }(\nu ,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{ \frac {h\nu }{kT}}-1}}

\varepsilon _{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\ frac {hc}{\lambda kT}}-1}}

Így egy test emissziós tényezője számszerűen nagyobb, mint a fényessége, ha a test térszögét szteradiánban mérjük . A mennyiségek és a méretük W m −2 Hz −1 , illetve W m −2 m −1 [5] . $\pi$ $\varepsilon _{\nu }$ ${\displaystyle \varepsilon _{\lambda ))$

Spektrális energiasűrűség

Egy másik írásmód a fekete test sugárzásának spektrális térfogati energiasűrűségét írja le. Az előző képletekkel analóg módon egyenlő az energiasűrűséggel egy kis frekvencia- vagy hullámhossz-tartományban, osztva ennek a tartománynak a szélességével [1] [2] :

u_{\nu }(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}

u_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5))}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\ lambda kT}}-1}}

Az SI rendszerben a mennyiségek és a méretek J m −3 Hz −1 , illetve J m −3 m −1 [1] [2] . Ezen kívül a spektrális energiasűrűséget az emissziós tényezővel arányosan [6] viszonyítjuk . ${\displaystyle u_{\nu ))$ ${\displaystyle u_{\lambda ))$ ${\textstyle \varepsilon ={\frac {c}{4}}u}$

Alkalmazhatóság

A Planck-képlet olyan sugárzásra alkalmazható, amely bizonyos hőmérsékleten termikus egyensúlyban van az anyaggal [2] . Bármilyen formájú, teljesen fekete testre alkalmazható , összetételtől és szerkezettől függetlenül, feltéve, hogy a sugárzó test méretei és felületének részletei jóval nagyobbak, mint azok a hullámhosszak, amelyeken a test főként kisugárzik [3] [7] .

Ha a test nem teljesen fekete, akkor egyensúlyi hősugárzásának spektrumát nem a Planck-törvény írja le, hanem a Kirchhoff sugárzási törvény köti össze vele . E törvény szerint egy test sugárzási és abszorpciós képességeinek aránya minden hullámhosszon azonos, és csak a hőmérséklettől függ [8] . Tehát például ugyanazon a hőmérsékleten egy abszolút szürke test spektrumában az energia eloszlása ugyanolyan lesz, mint egy teljesen fekete test spektrumában, de a sugárzás teljes energiafényessége kisebb [9] .

A Planck-képletet olyan valós testek leírására is használják, amelyek sugárzási spektruma eltér Planckétól. Ehhez bevezetik az effektív testhőmérséklet fogalmát: ez az a hőmérséklet, amelyen egy teljesen fekete test ugyanolyan mennyiségű energiát sugároz ki egységnyi területen, mint egy adott test. Hasonlóképpen határozzuk meg a fényességhőmérsékletet , amely megegyezik egy teljesen fekete test hőmérsékletével, amely egy adott hullámhosszon azonos mennyiségű energiát sugároz ki egységnyi területre, és a színhőmérsékletet , amely megegyezik egy teljesen fekete test hőmérsékletével. azonos energiaeloszlás a spektrum egy bizonyos részén [2] [10] [11] . Például a Nap esetében az effektív hőmérséklet körülbelül 5780 K , és a fényesség hőmérséklete a hullámhossztól függően különböző értékeket vesz fel: 1500 Å hullámhosszon eléri a 4200 K minimális értéket, és a látható tartományban . 5500 Å hullámhosszon körülbelül 6400 K, míg egy teljesen fekete testnél az így meghatározott hőmérsékletek megegyeznek [12] .

Felfedezési előzmények

Háttér

A hősugárzás törvényének meghatározása 1859 óta foglalkoztat, amikor Gustav Kirchhoff felfedezte Kirchhoff sugárzási törvényét , amely szerint az emissziós és az abszorpciós tényező aránya minden testre általános. Ezért egy fekete test sugárzási függvényének , amelynek abszorpciója egyenlő az összes hullámhosszon egységgel, egybe kell esnie ennek az aránynak a függvényével [13] [14] .

A 19. század végén a fekete test sugárzási spektruma már kísérletileg ismert volt. 1896-ban Wilhelm Wien empirikusan leírta a bécsi sugárzási törvénnyel , de a fizikusok akkoriban nem tudtak sem elméleti igazolására, sem következtetésre jutni. Bár Wien művében indokolta a törvényt, az nem volt elég szigorú ahhoz, hogy ezt a problémát megoldottnak tekintsék [6] [15] [16] .

Max Planck egyike volt azoknak, akik megpróbálták elméletileg alátámasztani a bécsi sugárzási törvényt. Abból indult ki, hogy az emitterek lineáris harmonikus oszcillátorok , amelyekben egyensúlyt teremtettek az emisszió és az abszorpció között; miután meghatározta az oszcillátorok entrópiája és energiája közötti összefüggést, meg tudta erősíteni a Wien-féle sugárzási törvényt [17] .

A további kísérletek azonban kimutatták, hogy a Wien-féle sugárzási törvény nem írja le pontosan a hősugárzás spektrumát a hosszú hullámhosszú tartományban. 1900 októberében Planck olyan képletet mutatott be, amely a konstansokon belül egybeesett Planck modern törvényével. Ugyanezen a napon kiderült, hogy a képlet jól írja le a kísérleti adatokat, ugyanakkor nem volt elméleti alapja. Planck csak azon az alapon vezette le, hogy a rövid hullámokra vonatkozó határesetben be kell lépnie a Wien-törvénybe, de ettől eltérően konzisztensnek kell lennie a hosszú hullámokra vonatkozó kísérleti adatokkal [18] .

Felfedezés

Kevesebb mint két hónappal a képlet kézhezvételének bejelentése után Planck a Német Fizikai Társaság ülésén ismertette elméleti következtetését . A Ludwig Boltzmann által bevezetett entrópia relációt használta , amely a rendszer lehetséges mikroszkopikus állapotainak számát veszi figyelembe. Planck annak érdekében, hogy a kombinatorika módszereit használni tudja, és így meg tudja becsülni az entrópiát, azt a feltételezést tette, hogy a teljes energia energiakvantumok egész számú véges eleméből áll [ 15] [19] .

Annak ellenére, hogy ebben a levezetésben kvantumok jelentek meg, és a Planck- állandót először vezették be és használták , sem maga Planck, sem kollégái nem értették meg a felfedezés teljes mélységét. Például Planck úgy vélte, hogy az energia diszkrétségének nincs fizikai jelentése, és csak matematikai technika. Más fizikusok sem tulajdonítottak ennek semmi jelentőséget, és nem tartották ezt a feltételezést a klasszikus fizikával ellentétesnek . A tudományos közösség csak Hendrik Lorentz 1908-as publikációja után jutott arra a következtetésre, hogy a kvantumoknak valóban van fizikai jelentése. Később maga Planck a kvantumok bevezetését "a kétségbeesés aktusának" nevezte, aminek oka az a tény, hogy "bármi áron elméleti magyarázatot kell találni, bármilyen magas is legyen az". Mindezek ellenére a Planck-képlet igazolásának napját - 1900. december 14-ét - a kvantumfizika születésnapjának tekintik [15] [20] .

A klasszikus fizika szempontjait felhasználva 1900-ban Lord Rayleigh és 1905-ben James Jeans vezette le a Rayleigh-Jeans törvényt . Maga Planck is ugyanerre az eredményre jutott műveiben, tőlük függetlenül. Ennek a törvénynek a levezetése alig tért el a Planck-törvény levezetésétől (lásd alább ), kivéve, hogy az átlagos sugárzási energiát egyenlőnek vettük az energia szabadsági fokok közötti egyenlő eloszlására vonatkozó tétel szerint . A klasszikus fizika szempontjából a levezetés menete nem volt kétséges, de a Rayleigh-Jeans törvény nemcsak a hosszúhullámú régió kivételével mindenhol komolyan nem értett egyet a kísérleti adatokkal, hanem végtelenül nagy sugárzási teljesítményt is előrevetített rövid hullámok. Ez a paradoxon jelezte, hogy még mindig vannak alapvető ellentmondások a klasszikus fizikában, és további érv lett a kvantumhipotézis mellett. Paul Ehrenfest 1911-ben nevezte először ultraibolya katasztrófának [6] [15] [21] . $\langle \varepsilon \rangle$ $kT$

1918-ban Max Planck elnyerte a fizikai Nobel-díjat , és bár hivatalosan a kvantumok felfedezéséért ítélték oda, ez a felfedezés szorosan összefüggött a Planck-törvény levezetésével [22] .

A Planck-képlet származtatása

Levezetés a Boltzmann-eloszláson keresztül

A Planck-képlet a következőképpen származik [6] .

A származtatásnál egy kis méretű, hőmérsékletű feketetestet veszünk figyelembe , amely egy hosszúságú élű kocka belsejében helyezkedik el , és amelynek belső falai ideálisan visszaverik a sugárzást. Ennek eredményeként a fénykibocsátás és abszorpció kiegyensúlyozott lesz, és a sugárzás egyenletesen oszlik el a kocka teljes belsejében. A kocka belsejében bizonyos energiasűrűség megmarad . Ekkor a spektrális energiasűrűséget a közeli szögfrekvenciák egységnyi intervallumára eső energiasűrűséggel egyenlő értéknek nevezzük . $T$ $l$ $u(T)$ $u_{\omega }(\omega ,T)$ $\omega$

Ha egy fekete test felületén egy kis területet választunk , kiszámolhatjuk, hogy mennyi energia esik rá. A térszögből a normálishoz beeső szögben beeső energia sűrűsége egyenlő -vel , mivel a sugárzás egyenletesen oszlik el minden irányban a szteradiánok térszögében. A fény sebessége halad , ami azt jelenti, hogy az energia időben esik a felszínre : $\Delta S$ $\theta$ $d\Omega$ ${\textstyle d{\tilde {u}}=u(T){\frac {d\Omega }{4\pi }}}$ $4\pi$ $c$ $\Delta t$ $dw$

dw=c\,d{\tilde {u}}\,\Delta t\,\Delta S\cos \theta ={\frac {c}{4\pi }}u(T)\cos \ theta \sin \theta \,d\theta \,d\varphi \,\Delta S\,\Delta t

A minden irányból érkező energia összege az áramlás lesz : $\Phi$

\Phi ={\frac {c}{4\pi }}u(T)\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi /2} \cos \theta \sin \theta \,d\theta ={\frac {c}{4}}u(T)

Ugyanannyi energiát sugároz ki egy fekete test azonos egységnyi területe, ami azt jelenti, hogy az arány mind a teljes folyamra, mind a frekvencia vagy hullámhossz bármely tartományára érvényes . ${\textstyle \varepsilon ={\frac {c}{4}}u}$

Mivel a kisugárzott és a visszavert hullámok egyidejűleg vannak jelen a kockán belül, a hősugárzási mezőnek szuperpozíciójuknak kell lennie, azaz álló elektromágneses hullámnak kell lennie . Paramétereik meghatározásához bevezetjük a kocka élei mentén a derékszögű koordinátarendszert és a megfelelő ortokat . Egy olyan hullám esetében, amely szigorúan a tengely mentén terjed , ahol egy természetes szám : vagyis egy fél egész számú hullámnak pontosan . Egy ilyen hullám hullámvektora , ahol a hullámszám , amelynek megszorítása a formát ölti . ${\textstyle {\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}}$ $x$ ${\textstyle l=n_{x}{\frac {\lambda }{2))}$ ${\displaystyle n_{x))$ ${\textstyle l}$ ${\textstyle {\vec {k}}=k_{x}{\vec {e}}_{x}}$ ${\textstyle k_{x}={\frac {2\pi }{\lambda ))}$ ${\textstyle k_{x}=n_{x}{\frac {\pi }{l))}$

A és a tengelyek mentén terjedő hullámok esetében az érvelés hasonló; bármely más irányba terjedő hullám a tengelyek mentén terjedő hullámok szuperpozíciójaként ábrázolható: . Ezért , ahol a természetes számok egymástól függetlenek vagy nullák. Ekkor bármely hullám hullámszáma , a frekvencia pedig . Ezen paraméterek minden hármasa egy állóhullámnak felel meg. $y$ $z$ ${\vec {k}}=k_{x}{\vec {e}}_{x}+k_{y}{\vec {e}}_{y}+k_{z}{\vec {e}}_{z}$ ${\textstyle k_{x}=n_{x}{\frac {\pi }{l)),k_{y}=n_{y}{\frac {\pi }{l)),k_{z}= n_{z}{\frac {\pi }{l))}$ ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z))$ ${\textstyle k={\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}={\frac {\pi }{l}}{ \sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}}$ ${\textstyle \omega ={\frac {\pi c}{l)){\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2))} }$

Egy dimenzió nélküli mennyiség segítségével meghatározható az állóhullámok száma legfeljebb . Ez a szám megegyezik azon kombinációk számával, amelyekhez . Ekkor egy sugarú gömb térfogatának nyolcadára becsülhető : ${\textstyle R={\frac {\omega l}{\pi c))}$ $\omega$ ${\tilde {N}}$ ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z))$ ${\displaystyle R^{2}\geq n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2))$ ${\tilde {N}}$ ${\textstyle R}$

{\tilde {N}}={\frac {1}{8}}\cdot {\frac {4}{3}}\pi R^{3}={\frac {1}{6} }\cdot {\frac {\omega ^{3}l^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}={\frac {1}{6}}\cdot {\frac { \omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}V,

hol van a sugárzást tartalmazó tér. Mivel az elektromágneses hullámok keresztirányúak, mindkét irányban két hullám terjedhet, egymásra merőlegesen polarizálva, és a hullámok valós száma megduplázódik: $V$ $N$

N=2{\tilde {N}}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {\omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}} }V

Ha ezt a kifejezést frekvencia szerint különböztetjük meg, akkor megkapjuk a hullámhosszú állóhullámok számát az intervallumban : $(\omega ;\omega +d\omega )$

dN={\frac {\omega ^{2}d\omega }{\pi ^{2}c^{3))}V

Felfogható egy frekvenciájú álló elektromágneses hullám átlagos energiájaként . Ha az állóhullámok számát megszorozzuk és a kapott értéket elosztjuk -vel , akkor megkapjuk a sugárzási energia spektrális sűrűségét: $\langle \varepsilon \rangle$ $\omega$ $dN$ $\langle \varepsilon \rangle$ $V$ $d\omega$

u_{\omega }={\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\langle \varepsilon \rangle

A Planck-törvény további levezetéséhez figyelembe kell venni a kvantumfizika hatásait , nevezetesen azt a tényt, hogy az energia véges részekben bocsát ki, amelyek nagysága egyenlő ( Dirac-állandó); ennek megfelelően a sugárzási energia lehetséges értékei , ahol bármely természetes szám . Így az átlagos sugárzási energia egyenlő: $E = \hbar \omega$ ${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ $\varepsilon _{n}=n\hbar \omega$ $n$ $\langle \varepsilon \rangle$

\langle \varepsilon \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}\varepsilon _{n},

ahol annak a valószínűsége, hogy a sugárzás energiája egyenlő lesz . A valószínűséget a Boltzmann energiaeloszlás írja le $P_{n}$ $\varepsilon_{n}$ némi konstanssal : $A$

{\displaystyle P_{n}=Ae^{-{\frac {\varepsilon _{n}}{kT))))

Figyelembe véve igazat : ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}=1}$ $A$

A=\left(\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {\varepsilon _{n}}{kT}}}\right)^{-1}

Így kifejezve: $\langle \varepsilon \rangle$

\langle \varepsilon \rangle ={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }n\hbar \omega e^{-{\frac {n\hbar \omega }{kT)) }}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {n\hbar \omega }{kT))))}=\hbar \omega {\frac {\sum _{ n=0}^{\infty }ne^{-n\xi }}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\xi }}}

itt . A nevezőt a geometriai progresszió összegének képlete szerint bővítjük , és a számlálót a nevező deriváltjaként ábrázoljuk a következőhöz képest : ${\textstyle \xi ={\frac {\hbar \omega }{kT))}$ ${\textstyle \xi }$

{\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\xi }={\frac {1}{1-e^{-\xi ))))

\sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\xi }=-{\frac {dS}{d\xi }}={\frac {e^{-\xi } }{(1-e^{-\xi })^{2}}}

Az átlagos energia kifejezését kapjuk:

\langle \varepsilon \rangle ={\frac {\hbar \omega }{e^{\frac {\hbar \omega }{kT))-1))

Ha a képletbe behelyettesítjük a sugárzás spektrális energiasűrűségét, akkor a Planck-képlet egyik végső változatát kapjuk: $\langle \varepsilon \rangle$

u_{\omega }={\frac {\hbar \omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {\ hbar \omega }{kT}}-1}}

Az arány lehetővé teszi, hogy képletet kapjon az emissziós tényezőre [6] : ${\textstyle \varepsilon ={\frac {c}{4}}u}$

\varepsilon _{\omega }={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{2}c^{2}}}{\frac {1}{e^{\ frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}

Ha elosztjuk -vel , akkor a fényesség spektrális sűrűségének kifejezést kapjuk [23] : $\pi$

B_{\omega }={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac { \hbar \omega }{kT}}-1}}

Ezeket a mennyiségeket más paraméterekkel is kifejezhetjük, például ciklikus frekvenciával vagy hullámhosszal . Ehhez figyelembe kell venni, hogy értelemszerűen teljesülnek az összefüggések ( a mínusz a hullámhossz növekedésével a frekvencia csökkenésével jár) és hasonló képletek az emissziós tényezőre és az energiasűrűségre. Tehát a ciklikus frekvenciák eléréséhez ki kell cserélni (jelen esetben tehát ) és meg kell szorozni -val , ekkor a képletek a következőt öltik : [3] [23] : $\nu$ $\lambda$ $B_{\omega }d\omega =B_{\nu }d\nu$ $B_{\nu }d\nu =-B_{\lambda }d\lambda$ $\omega =2\pi \nu$ ${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ $h\nu =\hbar \omega$ ${\textstyle {\frac {d\omega }{d\nu }}=2\pi }$

u_{\nu }={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{ kT}}-1}}}

\varepsilon _{\nu }={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}

B_{\nu }={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}} -egy}}

A hullámhosszok képleteit hasonló módon kapjuk meg. Cseréje és [3] [23] -kal való szorzása után : ${\textstyle \nu ={\frac {c}{\lambda ))}$ ${\textstyle {\frac {d\nu }{d\lambda }}=-{\frac {c}{\lambda ^{2))))$

u_{\lambda }={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1 }}

\varepsilon _{\lambda }={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\ lambda kT}}-1}}

B_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}- egy}}

Levezetés Bose-Einstein statisztikán keresztül

Ha az egyensúlyi sugárzást fotongáznak tekintjük, akkor Bose-Einstein statisztikát lehet alkalmazni rá . Meghatározza az energiával rendelkező kvantumállapotú részecskék átlagos számát [ 24 ] : $\langle n_{i}\rangle$ $én$ $E_{i}$

\langle n_{i}\rangle ={\frac {1}{e^{\frac {E_{i}-\mu }{kT}}-1}}

Ez a képlet a gáz kémiai potenciálja . Fotongáz esetén ez egyenlő nullával, így a képlet a következő formában ábrázolható [24] : $\mu$

\langle n\rangle ={\frac {1}{e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}

Ha megszorozzuk a fotonok átlagos számát az energiájukkal , akkor ugyanazt az átlagos energiát kapjuk, mint a Boltzmann-eloszlásból. Ha behelyettesítjük a spektrális energiasűrűség képletébe, megkapjuk a Planck-törvényt [24] . $\langle n\rangle$ $\hbar \omega$ $\langle \varepsilon \rangle$ ${\textstyle u_{\omega }={\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\langle \varepsilon \rangle }$

Következtetés spontán és stimulált emisszió révén

A Planck-képlet a spontán és stimulált atomemisszió mechanizmusainak figyelembevételéből is levezethető [25] .

Ez az Einstein által 1916-ban javasolt levezetés az atomokat is energiaszinten , ill. Ekkor a legmagasabb szintről a legalacsonyabbra való átmenetek száma egységnyi idő alatt arányos és így írható fel . Stimulált emisszió esetén az egységnyi idő alatti átmenetek száma arányos a sugárzás spektrális sűrűségével az átmeneti frekvencián , azaz így írható fel . Az abszorpcióból adódó átmenetek száma egységnyi idő alatt arányos és [25] -ként van felírva . $N_{m}$ $N_{n}$ $E_m$ $E_{n}$ $E_{n}$ $E_m$ $N_{n}$ $A_{n}^{m}N_{n}$ $N_{n}$ $u(\omega _{mn})$ $B_{n}^{m}N_{n}u(\omega _{mn})$ $N_{m}$ $u(\omega _{mn})$ $B_{m}^{n}N_{m}u(\omega _{mn})$

A mennyiségek csak magának az atomnak és a kiválasztott energiaszinteknek a jellemzői, ezeket Einstein-együtthatóknak nevezzük . Ha a sugárzási mező egyensúlyban van és hőmérséklete van , akkor a részletes egyensúlyi feltétel a következő [25] : ${\displaystyle A_{n}^{m},B_{n}^{m},B_{m}^{n))$ $T$

A_{n}^{m}N_{n}+B_{n}^{m}N_{n}u(\omega _{mn})=B_{m}^{n}N_{m} u(\omega _{mn})

A határértékben a spontán emisszió elhanyagolható a stimulált emisszióhoz képest, és ekkor az egyensúlyi feltétel a formát ölti . Mióta teljesül , és az Einstein-együtthatók nem függnek a hőmérséklettől, az egyenlőség igaz lesz , ami igaz az egyszerű szintekre; több szint esetén a multiplicitási együtthatókat is figyelembe kell venni. A jövőben csak egyszerű szintek jöhetnek szóba, mivel a sugárzási energiasűrűség nem függ az anyag szerkezetének részleteitől [25] . $T\rightarrow\infty$ ${\displaystyle B_{n}^{m}N_{n}=B_{m}^{n}N_{m))$ $T\rightarrow\infty$ ${\displaystyle N_{n}=N_{m))$ ${\displaystyle B_{n}^{m}=B_{m}^{n))$

Használhatja a Boltzmann-eloszlást [25] :

{\displaystyle {\frac {N_{n}}{N_{m}}}=e^{\left({\frac {E_{n}-E_{m}}{kT}}\right)))

Az egyensúlyi feltételre alkalmazva kiderül [25] :

u(\omega _{mn})={\frac {\alpha (\omega _{mn})}{e^{\left({\frac {\hbar \omega _{mn)){kT }}\jobbra)}-1}},

ahol . Ez az érték nem függ a hőmérséklettől, és abból a feltételből adódik, hogy a Rayleigh-Jeans képlet [25] magas hőmérsékletre érvényes : ${\textstyle \alpha (\omega _{mn})={\frac {A_{n}^{m}}{B_{n}^{m))))$

u(\omega _{mn})={\frac {\alpha (\omega _{mn})kT}{\hbar {\omega _{mn))))

\alpha (\omega _{mn})={\frac {\hbar \omega _{mn}^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}

Az energiaszintek tetszőlegesen vehetők fel, így a és indexek eltávolíthatók , és a tetszőleges frekvenciák képlete használható. Ha behelyettesítjük az eredeti képletbe , akkor Planck képletét kapjuk. Így a Planck-képlet érvényességének fontos következménye a kényszerített átmenetek megléte, amelyek szükségesek a lézergenerálás megvalósításához [ 25 ] . $m$ $n$ $\alpha (\omega )$ $u(\omega )$

Kapcsolat más képletekkel

Rayleigh-Jeans törvény

A Rayleigh-Jeans törvény a Planck-törvény közelítése, amely jól működik (azaz a nagy hullámhosszok és az alacsony frekvenciák tartományában), de erősen eltér attól , összehasonlítható vagy nagy . A Rayleigh-Jeans törvény egy olyan közelítést használ , amely kicsire érvényes , így a közelítés így néz ki [26] [27] : $hc\ll \lambda kT$ $h.c.$ $\lambda kT$ ${\textstyle e^{\frac {hc}{\lambda kT))\kb 1+{\frac {hc}{\lambda kT))}$ ${\textstyle {\frac {hc}{\lambda kT))}$

B_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {\lambda kT}{hc}}={\frac {2ckT}{\lambda ^{4}}}

A klasszikus fizika keretében a sugárzási törvény levezetésének eredményeként a Rayleigh-Jeans törvényt kapjuk. Rövid hullámhosszokon azonban a Rayleigh-Jeans törvény nemcsak a kísérlettel nem ért egyet, hanem a sugárzási teljesítmény korlátlan növekedését is előrejelzi, amikor a hullámhossz közeledik a nullához. Ezt a paradoxont ultraibolya katasztrófának nevezik (lásd fent ) [6] [27] .

Wien sugárzási törvénye

A Wien-féle sugárzási törvény a Planck-törvény közelítése, amely jól működik - kis hullámhosszak és magas frekvenciák tartományában. A Wien-féle sugárzási törvény azt sugallja, hogy amikor a Planck-képlet nevezőjében szereplő egység elhanyagolható és figyelembe vehető . Ekkor a képlet a [26] [27] alakot veszi fel : $hc\gg \lambda kT$ $hc\gg \lambda kT$ ${\textstyle e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1\approx e^{\frac {hc}{\lambda kT}}}$

{\displaystyle B_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda kT))))

Stefan-Boltzmann törvény

A Stefan-Boltzmann törvény egy olyan kifejezés, amely leírja egy teljesen fekete test sugárzását a teljes elektromágneses tartományban. A Planck-törvényből származik a frekvencia feletti vagy a felvételi formától függően a hullámhosszon túli integrálással [28] :

B(T)=\int _{0}^{\infty }{B_{\nu }}d\nu =\int _{0}^{\infty }{B_{\lambda }}d\ lambda

B(T)={\frac {2h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}d\nu }{e^ {\frac {h\nu }{kT}}-1}}

Cserélje ki , majd [28] : ${\textstyle x={\frac {h\nu }{kT))}$ ${\textstyle d\nu ={\frac {kT}{h}}dx}$

B(T)={\frac {2h}{c^{2}}}{\frac {k^{4}}{h^{4}}}T^{4}\int _{0 }^{\infty }{\frac {x^{3}dx}{e^{x}-1}}

Ez a határozott integrál . Kifejezhetjük , ahol egy konstans [28] : ${\textstyle {\frac {\pi ^{4}}{15}}}$ ${\displaystyle B(T)=AT^{4))$ $A$

A={\frac {2k^{4}}{c^{2}h^{3}}}{\frac {\pi ^{4}}{15}}

Ebben az esetben az energiaáram-sűrűség többszöröse az energiafényességnek , ezért az első kiszámításához a Stefan-Boltzmann-állandónak nevezett együtthatót használjuk, amely egyenlő 5,67⋅10 -8 W m -2 · K −4 . Az egységnyi terület sugárzási teljesítménye ebben az esetben a következővel fejezhető ki . Ezt a kifejezést Stefan-Boltzmann törvénynek nevezik [28] . $\pi$ $\sigma =\pi A$ $F$ $F=\sigma T^{4}$

Wien's Displacement Law

A Wien-féle eltolási törvény összefüggésbe hozza azt a hullámhosszt, amelynél a fekete test emissziós tényezője a legnagyobb, és a hőmérsékletét. A Planck-törvényből származik úgy, hogy a rögzítés formájától függően frekvencia vagy hullámhossz tekintetében megkülönbözteti, és a derivált nullával egyenlővé teszi, amelyet a függvény maximumán érünk el. Ez azt az összefüggést eredményezi , ahol egy állandó egyenlő 0,0029 m K -val . Így a hőmérséklet emelkedésével a maximum hullámhossza csökken [29] . $\lambda _{max}T=b$ $b$

Bár a frekvenciák esetében is elvégezhető hasonló eljárás, a maximális spektrális sűrűség frekvenciája nem számítható ki a képlettel , mivel a frekvencia és a hullámhossz közötti összefüggés nemlineáris, és az emissziós tényezőt a sugárzásból számítják ki egyetlen frekvencia- vagy hullámhossz-intervallumban [ 29] . ${\textstyle \nu _{max}={\frac {c}{\lambda _{max))))$

Alkalmazás

Egy teljesen fekete test esetében a Planck-törvény által leírt spektrum egyedülállóan összefügg a hőmérsékletével. Ezért a törvény alkalmazást talál a pirometriában , azaz a forró testek hőmérsékletének távoli meghatározásában. Ha a test spektruma eltér egy teljesen fekete test sugárzásától, a pirométer méri az effektív hőmérsékletet, amit sugárzásnak nevezünk . Ismerve a vizsgált test emissziós tényezőjének arányát egy teljesen fekete test emissziós tényezőjéhez , amely a Planck-képlettől való eltérést mutatja, megtudhatjuk a valós hőmérsékletet . Számos gyakorlati fontos anyag esetében ismertek az értékek [30] . $T_{r}$ $Q_{T}=E_{T}/\varepsilon _{T}<1$ ${\displaystyle T=T_{r}/(Q_{T})^{1/4))$ $Q_{T}$

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Planck sugárzási törvénye . Encyclopedia Britannica . Letöltve: 2020. december 18. Az eredetiből archiválva : 2020. december 13.
↑ 1 2 3 4 5 Masalov A. V. Planck sugárzási törvénye // Great Russian Encyclopedia . - BRE Kiadó , 2014. - T. 26. - 767 p. — ISBN 978-5-85270-363-7 .
↑ 1 2 3 4 5 6 Karttunen et al., 2007 , p. 103.
↑ 1 2 Kononovich, Moroz, 2004 , p. 170.
↑ 1 2 Kononovich, Moroz, 2004 , p. 181.
↑ 1 2 3 4 5 6 1.2. A sugárzás kvantumelmélete . Fizikai Tanszék, Moszkvai Állami Műszaki Egyetem. Bauman . Letöltve: 2020. december 18. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 28. (határozatlan)
↑ Juan Carlos Cuevas. A szubhullámhosszú objektumok hősugárzása és a Planck-törvény megsértése // Nature Communications . - Természetkutatás , 2019. - július 26. (10. kötet). - P. 3342. - ISSN 2041-1723 . - doi : 10.1038/s41467-019-11287-6 . Az eredetiből archiválva : 2022. március 12.
↑ 1.1. A hősugárzás törvényei . Fizikai Tanszék, Moszkvai Állami Műszaki Egyetem. Bauman . Letöltve: 2021. január 24. Az eredetiből archiválva : 2020. augusztus 8.. (határozatlan)
↑ Szürke test . Fizikai és Technológiai Enciklopédia . Letöltve: 2021. január 24. Az eredetiből archiválva : 2021. április 17. (határozatlan)
↑ Karttunen et al., 2007 , p. 104.
↑ Kononovich, Moroz, 2004 , p. 193-194.
↑ Kononovich, Moroz, 2004 , p. 239-240.
↑ Jammer, 1985 , p. 14-16.
↑ Sivukhin, 2002 , p. 681-682.
↑ 1 2 3 4 Max Planck: a kelletlen forradalmár . Fizika világa (2000. december 1.). Letöltve: 2020. december 19. Az eredetiből archiválva : 2022. július 6..
↑ Jammer, 1985 , p. 21.
↑ Jammer, 1985 , p. 22-27.
↑ Jammer, 1985 , p. 27-30.
↑ Jammer, 1985 , p. 30-33.
↑ Jammer, 1985 , p. 30-34.
↑ Sivukhin, 2002 , p. 697.
↑ A fizikai Nobel-díj 1918 . NobelPrize.org . Nobel Alapítvány . Hozzáférés dátuma: 2020. december 19. Az eredetiből archiválva : 2020. június 7.
↑ 1 2 3 A Planck-törvény különböző megfogalmazásai . www.physics-in-a-nutshell.com . Letöltve: 2020. december 19. Az eredetiből archiválva : 2020. december 14. (határozatlan)
↑ 1 2 3 Sivukhin, 2002 , p. 703-704.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Sivukhin, 2002 , p. 704-706.
↑ 1 2 Kononovich, Moroz, 2004 , p. 182.
↑ 1 2 3 Karttunen et al., 2007 , p. 105.
↑ 1 2 3 4 Karttunen et al., 2007 , pp. 103-104.
↑ 1 2 Karttunen et al., 2007 , pp. 104-105.
↑ Landsberg, 2003 , p. 639.

Irodalom

E. V. Kononovics; Moroz V. I. A csillagászat általános kurzusa / Szerk. V. V. Ivanova . - 2., helyes. — M .: Szerkesztői URSS , 2004. — 544 p. — ISBN 5-354-00866-2 .
Sivukhin DV Általános fizika tanfolyam . - M . : Fizmatlit MIPT , 2002. - T. 4. Optika. — 792 p. — ISBN 5-9221-0228-1 .
Jammer M. A kvantummechanika fogalmainak evolúciója. — M .: Nauka , 1985. — 384 p.
Eljasevics M. A. Planck sugárzási törvénye // Fizikai enciklopédia . - M .: BRE , 1992. - T. 3 . - S. 625-626 .
Karttunen H., Kroger P., Oja H., Poutanen M., Donner KJ Fundamental Astronomy . — 5. kiadás. - Berlin: Springer , 2007. - 510 p. — ISBN 978-3-540-34143-7 .
Landsberg G.S. Optika: tankönyv egyetemek számára. - 6. kiadás stereot.. - M. : Fizmatlit, 2003. - 848 p. — ISBN 5-9221-0314-8 .