Az ekvipartíciós tétel

A kinetikus energia szabadsági fokok közötti felosztásának tétele , az ekvipartíciós törvény , az ekvipartíciós tétel – a klasszikus statisztikai mechanikában összekapcsolja a rendszer hőmérsékletét az átlagos energiájával . Eredeti formájában a tétel kimondta, hogy termikus egyensúly esetén az energia egyenlően oszlik meg a különböző formái között, például egy molekula transzlációs mozgásának átlagos kinetikus energiájának meg kell egyeznie a forgási mozgásának átlagos kinetikus energiájával .

Az ekvipartíciós tétel segítségével kvantitatív előrejelzések készíthetők. A viriális tételhez hasonlóan ez is megadja egy rendszer összes átlagos kinetikai és potenciális energiáját egy adott hőmérsékleten, amelyből a rendszer hőkapacitása számítható. Az ekvipartíciós tétel azonban lehetővé teszi az egyes energiakomponensek átlagértékeinek meghatározását is , mint például egyetlen részecske mozgási energiája, vagy egy egyedi rugó potenciális energiája . A tétel kimondja, hogy a termodinamikai egyensúlyban (vagy a termodinamikai egyensúlyhoz közeli állapotban) lévő egyatomos ideális gáz minden molekulájának átlagos kinetikus energiája (3/2)k B T , ahol k B a Boltzmann . állandó , T a hőmérséklet. Általában bármely klasszikus termikus egyensúlyi rendszerre alkalmazható , függetlenül attól, hogy milyen bonyolult. Az ekvipartíciós tétel felhasználható az ideális gáz állapotegyenletének és a Dulong-Petit törvénynek a levezetésére, a szilárd anyagok fajhőjének meghatározására . Csillagok tulajdonságainak előrejelzésére is használják, például a fehér törpék és a neutroncsillagok tulajdonságainak előrejelzésére is , mivel az egyenlítés akkor is igaz, ha relativisztikus hatásokat kell figyelembe venni.

Bár az ekvipartíciós tétel bizonyos körülmények között nagyon pontos előrejelzéseket ad, a kvantumhatások életbe lépésekor elveszti alkalmazhatóságát. A kiegyenlítés csak akkor érvényes, ha a k B T hőenergia jóval nagyobb, mint a szomszédos kvantumenergia szintek közötti intervallum, mert ellenkező esetben az energia és a hőkapacitás bizonyos szabadsági fokokra eső átlagos értékei kisebbek, mint a felhasznált értékek. az ekvipartíciós tétel . Azt mondják, hogy a szabadságfok kifagy , ha a hőenergia sokkal kisebb, mint ez az intervallum (ez azt jelenti, hogy a gyakorlatban az adott feltételek melletti ilyen szabadságfok figyelmen kívül hagyható, ilyen feltétel mellett a gerjesztett állapotokba való átmenet. adott szabadsági fokig gyakorlatilag lehetetlen). Például a szilárd test hőkapacitása alacsony hőmérsékleten csökken – ahogy a különböző mozgástípusok kifagynak – ahelyett, hogy állandó maradna, ahogyan a klasszikus egyenlítési tétel szerint kellene. Ez a hőkapacitás-csökkenés volt az első jele a 19. századi fizikusok számára, hogy a klasszikus fizika alacsony hőmérsékleten elveszíti alkalmazhatóságát, és új törvényeket kellett megfogalmazni, amelyek megmagyarázzák a hőkapacitás ténylegesen megfigyelt viselkedését a hőmérséklet függvényében. Egy másik ellentmondás mellett az elektromágneses sugárzás leírására vonatkozó ekvipartíciós törvény – más néven ultraibolya katasztrófa – kudarca vezette Max Plancket arra az elképzelésre, hogy a fény kvantumokban bocsátódik ki és nyelődik el . Ez a forradalmi hipotézis jelentette a kvantumelmélet kezdetét, amely továbbfejlesztve a kvantummechanikát és a kvantumtérelméletet eredményezte .

Fő ötlet és egyszerű példák

Eredetileg az "egyenletes eloszlás" kifejezés azt jelentette, hogy a rendszer teljes kinetikus energiája egyenlően oszlik meg az összes független része között, átlagosan , ha a rendszer elérte a termikus egyensúlyt. Az ekvipartíciós tétel mennyiségi előrejelzéseket is ad ezekre az energiákra. Például azt jósolja, hogy a T hőmérsékleten termikus egyensúlyban lévő nemesgáz minden atomjának átlagos transzlációs kinetikai energiája (3/2)k B T . Következésképpen a nehezebb xenon atomok átlagos sebessége alacsonyabb, mint a könnyebb hélium atomok azonos hőmérsékleten. Az ábra a Maxwell-eloszlást mutatja az atomok sebességére négy gázban.

Ebben a példában fontos megjegyezni, hogy a mozgási energia a sebesség kvadratikus függvénye. Az ekvipartíciós tétel kimondja, hogy termikus egyensúly esetén bármely szabadságfok (pozícióvektorok összetevői vagy részecskesebesség) [1] , amely csak másodfokú függvényként jelenik meg az energiában, átlagos energiája ½ k B T , és ezért ½ k B -t ad. a rendszer hőteljesítményéhez. Ennek az állításnak számos gyakorlati alkalmazása van.

Ideális gázok részecskéi transzlációs mozgásának energiája

Egy m tömegű és v sebességű gázrészecske mozgási energiáját a következőképpen adjuk meg

H^{\mathrm {kin} }={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\tfrac {1}{2}}m\left( v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\jobbra),

ahol v x , v y és v z a v sebességvektor derékszögű összetevői . Itt a H szimbólum a rendszer Hamilton-függvényét jelöli , és energiaszimbólumként használják a hamiltoni formalizmusban . Központi szerepet játszik az ekvipartíciós törvény legtöbb általánosításában .

Mivel a mozgási energia a sebesség-összetevők másodfokú függvénye, az egyenlítési törvényből következik, hogy ezen összetevők mindegyike azonos ½ k B T -val járul hozzá a termikus egyensúlyban lévő gáz átlagos kinetikai energiájához. Ebből következik, hogy a részecske átlagos kinetikus energiája (3/2) k B T, mint a fenti nemesgáz példában.

Általánosságban elmondható, hogy egy ideális gáz összenergiája az egyes részecskék (transzlációs) kinetikai energiájából áll, feltéve, hogy a részecskéknek nincs belső szabadsági foka, és egymástól függetlenül mozognak. Az ekvipartíció azt jelenti, hogy egy N részecskéből álló ideális gáz átlagos összenergiája (3/2) N k B T .

Ebből következik, hogy a gáz hőkapacitása (3/2) N k B , és különösen egy mol gáz ilyen részecskék hőkapacitása (3/2) N A k B =(3/2) R , ahol NA az Avogadro - szám és R a gázállandó . Mivel R ≈ 2 cal / ( mol K ) , az egyenlítési törvény azt jósolja , hogy egy ideális gáz moláris hőkapacitása megközelítőleg 3 cal / ( mol K ) . Ezt az előrejelzést kísérletileg igazolták. [2]

Az átlagos kinetikus energia lehetővé teszi, hogy megbecsüljük a részecskék átlagos négyzetes sebességének négyzetgyökét egy gázban :

v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{B}T}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}},

ahol M = N A m a gáz moláris tömege. Ez az eredmény számos gyakorlati alkalmazásban hasznos, például Graham effúziós törvényéhez , amelyet az urándúsítási módszerben használnak [3]

A forgó mozgás energiája

Hasonló példát találhatunk, ha egy I 1 , I 2 és I 3 főtehetetlenségi nyomatékú forgó molekulát veszünk figyelembe . Egy ilyen molekula forgási energiáját a kifejezés adja meg

H^{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}(I_{1}\omega _{1}^{2}+I_{2}\omega _{2}^ {2}+I_{3}\omega _{3}^{2}),

ahol ω 1 , ω 2 és ω 3 a szögsebesség fő összetevői . Pontosan ugyanazzal az érveléssel, mint a transzlációs mozgás esetében, az egyenlítés azt jelenti, hogy termikus egyensúly esetén az egyes részecskék átlagos forgási energiája: (3/2)k B T . Hasonlóképpen, az ekvipartíciós tétel lehetővé teszi a molekulák átlagos szögsebességének (pontosabban a négyzetközép négyzetgyökének) kiszámítását. [négy]

Potenciális energia és harmonikus oszcillátorok

A kiegyenlítés nemcsak a mozgási energiára vonatkozik, hanem a potenciális energiára is . Fontos példák közé tartoznak a harmonikus oszcillátorok , például a rugó , amelynek potenciális energiája másodfokú koordinátákkal rendelkezik.

H^{\mathrm {pot} }={\tfrac {1}{2}}aq^{2},

ahol az a konstans a rugó merevségét írja le , q pedig az egyensúlyi helyzettől való eltérést. Ha egy ilyen egydimenziós rendszer tömege m , akkor kinetikus energiája H kin : ½ mv² = p ²/2 m , ahol v és p = mv az oszcillátor sebességét és impulzusát jelöli. Ezeket a hozzájárulásokat összegezve megkapjuk a rendszer teljes energiáját [5]

H=H^{\mathrm {kin} }+H^{\mathrm {pot} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}} aq^{2}.

Az egyenlőség azt jelenti, hogy termikus egyensúly esetén az oszcillátor átlagos energiája egyenlő

\langle H\rangle =\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\tfrac {1}{2}}k_{B }T+{\tfrac {1}{2}}k_{B}T=k_{B}T,

ahol a szögzárójelek a bennük lévő érték átlagolását jelölik. [6] $\left\langle \ldots \right\rangle$

Ez az eredmény minden harmonikus oszcillátorra igaz, például ingára , oszcilláló molekulára vagy passzív elektromos generátorra . Ilyen oszcillátorok rendszerei sok esetben felmerülnek. Az ekvipartíciós törvény szerint minden ilyen oszcillátor átlagos összenergiája k B T , és ezért k B-vel járul hozzá a rendszer hőkapacitásához. Ez a következtetés felhasználható a termikus zaj képletének [7] és a szilárd testek fajhőjének Dulong–Petit törvényének levezetésére . Ez utóbbi fontos szerepet játszott az ekvipartíciós tétel történetében.

Szilárd anyagok hőkapacitása

A kristályos testek fajlagos hőkapacitásának meghatározására az ekvipartíció törvénye szolgál. Mivel egy ilyen testből származó minden atom három független irányban oszcillálhat, a kristályt 3N független harmonikus oszcillátorok rendszerének tekinthetjük , ahol N a rácsban lévő atomok számát jelöli. Minden harmonikus oszcillátor átlagos energiája k B T , így a test átlagos összenergiája 3Nk B T , fajhője pedig 3Nk B.

Ha N - re vesszük az Avogadro-számot ( N A ), akkor a gázállandó ( R ) és a Boltzmann-állandó ( k B ) közötti R = N A k B összefüggést felhasználva megkapjuk a Dulong -állandó kifejezését. Petit törvény , amely leírja a szilárd anyagok moláris hőkapacitását . Azt mondja , hogy a kristályrács egy mól atomjának fajlagos hőkapacitása 3R ≈ 6 cal / ( mol K ) .

Meg kell jegyezni, hogy ez a törvény nem érvényes alacsony hőmérsékleten, ahol fontos a kvantumhatások figyelembevétele. Ez ütközik a termodinamika kísérletileg megerősített harmadik főtételével is, amely szerint bármely anyag fajlagos hőkapacitása nullára hajlik, miközben a hőmérséklet az abszolút nullára. [7] A kvantumhatásokat figyelembe vevő pontosabb elméleteket Albert Einstein ( 1907 ) és Peter Debye ( 1911 ) dolgozta ki. [nyolc]

Számos fizikai rendszer modellezhető összekapcsolt harmonikus oszcillátorok rendszereként . Az ilyen oszcillátorok mozgása normál módusokra bontható , amelyek felfoghatók egy zongora húr rezgésmódjaként vagy egy orgonasíp rezonanciáiként . Másrészt az ekvipartíciós tétel nem alkalmazható ilyen rendszerekre a normál módusok közötti energiacsere hiánya miatt. A határesetben a módusok függetlenek, így energiájuk egymástól függetlenül megmarad. Ez azt jelenti, hogy az energiák keveredése, amelyet formálisan ergodikitásnak neveznek , fontos az ekvipartíciós törvény érvényesüléséhez.

Részecske ülepedés

A potenciális energia nem mindig a koordináták másodfokú függvénye, de az ekvipartíciós tétel kimondja, hogy ha az x szabadságfok az x s tényezővel együtt (rögzített s állandó esetén ) szerepel a teljes energiában, akkor termikus egyensúly esetén a ez a rész egyenlő k B T/s -vel .

Ezt az általánosítást akkor használjuk, amikor a részecskék gravitáció hatására történő ülepedését vizsgáljuk . [9] Például a sörben olykor látható párát a fényt szétszóró fehérjedarabkák okozhatják . [10] Idővel ezek a darabok a gravitációs erő hatására felhalmozódnak az alján, így több fény szóródik a palack aljához, mint a tetejéhez. Az ellentétes irányú diffúzió miatt azonban a részecskék felfelé mozognak a palack teteje felé. Az egyensúly elérése után az ekvipartíciós tétel segítségével meghatározható egy bizonyos m b lebegő tömegdarab átlagos helyzete . Egy végtelenül magas üveg sör esetében a gravitációs potenciálenergia a következőképpen van megadva

H^{\mathrm {grav} }=m_{b}gz\,,

ahol z a fehérjedarab függőleges helyzete a palackban, g pedig a gravitáció miatti gyorsulás . Mivel s=1 , akkor a fehérjedarab átlagos potenciális energiája egyenlő k B T -vel . Ha a fehérjedarab tömege körülbelül 10 MDa (nagyjából ekkora a vírus ), akkor egyensúlyi állapotban egy átlagosan 2 cm magas szuszpenzió jelenik meg . Mason-Weaver egyenlet . [tizenegy]

Történelem

Ez a cikk a cal /( mol K ) nem SI mértékegységeit használja a fajlagos hőkapacitásra a decimális jelölés pontossága miatt. Az SI mértékegységekre J /( mol K ) való átváltáshoz ezeket az értékeket meg kell szorozni 4,2 J / cal-val .

1843-ban (helyesebb 1845-ről beszélni) John James Waterston javasolta a mozgási energia egyenlő elosztását a szabadsági fokok között . [12] [13] [14] [15] [16] 1859-ben James Clerk Maxwell azzal érvelt, hogy a gáz kinetikus energiája magas hőmérsékleten egyenlően oszlik meg a transzlációs és a forgási energia között. [17] 1876-ban Ludwig Boltzmann kimutatta, hogy az átlagos energia egyenlően oszlik meg egy rendszerben az összes független mozgáskomponens között. [18] [19] Boltzmann az ekvipartíciós törvényt alkalmazta a szilárd testek hőkapacitásának empirikus Dulong-Petit törvényének elméleti magyarázatára .

Az ekvipartíciós tétel története összefonódik a 19. században végzett hőkapacitás -vizsgálatokkal. 1819-ben Pierre Dulong és Alexis Petit francia fizikusok felfedezték, hogy a szilárd anyagok fajlagos moláris hőkapacitása szobahőmérsékleten gyakorlatilag egyenlő, körülbelül 6 cal /( mol K ) . [21] Törvényüket évek óta használják az atomsúlyok mérésére . [8] James Dewar és Heinrich Weber későbbi tanulmányai azonban kimutatták, hogy a Dulong-Petit törvény csak magas hőmérsékleten érvényes, [22] [23] [24] és alacsony hőmérsékleten vagy nagyon kemény kristályoknál, mint például a gyémánt , a hő. kapacitása kisebb. [25] [26] [27]

A gázok hőkapacitásának kísérleti értékei is kérdéseket vetettek fel az ekvipartíciós tétel helyességével kapcsolatban. A tétel azt jósolja, hogy a monoatomos gázok moláris fajlagos hőkapacitása megközelítőleg 3 cal /( mol K ) , kétatomos gázok esetében pedig kb. 7 cal /( mol K ) . A kísérletek megerősítették az első jóslatot, [2] de a kétatomos gázok esetében a kísérlet azt mutatta, hogy a fajlagos moláris hőkapacitás csak 5 cal /( mol K ), [28] és nagyon alacsony hőmérsékleten 3 cal /( mol K ) -ra csökken. . [29] Maxwell 1875-ben vette észre, hogy a kísérlet és az ekvipartíciós törvény közötti eltérés még rosszabb, ha ezeket az értékeket vesszük; [30] mivel az atomoknak belső szerkezetük van, ezért a hőenergiának e belső részek mozgására kell mennie, ami jóval nagyobb, mint 3 cal /( mol K ) és 7 cal egyatomos és kétatomos gázok fajlagos moláris hőkapacitása. / ( mol K ), ill.

A harmadik nézeteltérés a fémek hőkapacitásával kapcsolatos. [31] A klasszikus Drude-modell szerint a fémben lévő elektronok ideális gázként viselkednek, és ennek megfelelően hozzá kell járulniuk (3/2) N e k B , ahol N e az elektronok száma, a fém hőkapacitásához. fém az ekvipartíciós tétel szerint. Kísérletileg azonban az elektronok hozzájárulása a hőkapacitáshoz csekély: a különböző vezetők és dielektrikumok moláris hőkapacitásai gyakorlatilag egybeesnek. [31] (Lásd még " A kvantummechanika által támasztott korlátok " című részt).

Számos magyarázatot javasoltak az ekvipartíciós tétel pontatlanságára a hőkapacitások meghatározásában. Boltzmann helyesnek védte tételének bizonyítását, de azt javasolta, hogy a gázok az éterrel való kölcsönhatásuk miatt esetleg nincsenek termikus egyensúlyban . [32] Lord Kelvin azt javasolta, hogy az ekvipartíciós tétel levezetésének hibásnak kell lennie, mert következtetései nem egyeznek a kísérlettel, de nem tudta rámutatni a hibára. [33] Lord Rayleigh ehelyett azt a radikálisabb hipotézist terjesztette elő, hogy mind az egyenlítési tétel, mind a termikus egyensúly kísérleti feltételezése helyes, de ezek összeegyeztetése érdekében egy olyan új elv szükségességéről beszélt, amely menekülést biztosítana a destruktív egyszerűség elől . az ekvipartíciós tétel. [34] Albert Einstein megmutatta ennek az ellentmondásnak a feloldásának módját, amikor 1907-ben kimutatta, hogy ezek a hőkapacitási anomáliák kvantumhatásokból, különösen egy merev test rugalmas rezgésének energiájának kvantálásából fakadnak. [35] [36] [37] [38] [39] Einstein az ekvipartíciós törvény pontatlanságát használta fel az anyag új kvantumelméletének szükségessége mellett. [8] Nernst 1910 -es, alacsony hőmérsékletű hőkapacitást mérő kísérletei [40] megerősítették Einstein elméletét, és a kvantumelmélet széles körű támogatásához vezettek a fizikusok körében. [41]

Az ekvipartíciós tétel általános megfogalmazása

Az ekvipartíciós tétel legáltalánosabb megfogalmazása [4] [6] [9] azt mondja, hogy bizonyos feltételek mellett (lásd alább) egy H Hamilton -féle és x n szabadságfokkal rendelkező fizikai rendszerre a következő összefüggés érvényes bármely m és n indexre :

{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}k_{B}T.

Itt δ mn a Kronecker szimbólum , amely egyenlő eggyel, ha m = n , ellenkező esetben nulla. A szögzárójelek az átlagolást jelölik , amely mind az időátlagolásra, mind az általánosabb együttes fázistérbeli átlagolásra vonatkozhat. A tételben használt ergodikitási követelmény azt jelenti, hogy a két átlag ekvivalens. $\left\langle \ldots \right\rangle$

A tétel általános megfogalmazása igaz mind mikrokanonikus együttes esetén, [6] amikor a rendszer összenergiája állandó, mind kanonikus együttes esetén, [4] [42] amikor a rendszer össze van kapcsolva. egy termikus tárolóba , amellyel energiát cserélhet. Az általános képlet származtatását az alábbiakban adjuk meg .

Az általános képlet egyenértékű a következő kifejezésekkel:

${\Bigl \langle }x_{n}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=k_{B}T$ minden n .
${\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=0$ minden m ≠ n esetén .

Ha az x n szabadságfok csak a n x n ² másodfokú tagként jelenik meg a Hamilton-féle H -ban, akkor az első képlet kimondja, hogy

k_{B}T={\Bigl \langle }x_{n}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=2\langle a_{n} x_{n}^{2}\rangle ,

kétszerese ennek a szabadsági foknak az átlagos energiához való hozzájárulása . Ekkor az általános képletből következik a koordináták négyzetétől függő energiájú rendszer ekvipartíciója. Hasonló érv az s fok mellett általában alkalmazható az a n x n s alakú hozzájárulásra is . $\langle H\rangle$

Az x n szabadsági fokok koordináták a rendszer fázisterében , ezért általában q k általánosított koordinátákra és általánosított momenta p k koordinátákra oszlanak , ahol p k a q k -hoz konjugált impulzus . Ebben az esetben az 1. képlet azt jelenti, hogy minden k esetén

{\Bigl \langle }p_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k))}{\Bigl \rangle }={\Bigl \langle }q_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigr \rangle }=k_{B}T.

A Hamilton-féle mechanika egyenleteit felhasználva [5] ezek a képletek is átírhatók

{\Bigl \langle }p_{k}{\frac {dq_{k}}{dt}}{\Bigl \rangle }=-{\Bigl \langle }q_{k}{\frac {dp_{ k}}{dt}}{\Bigr \rangle }=k_{B}T.

A Forma-2 kimondja, hogy az átlag

{\Bigl \langle }q_{j}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigl \rangle },\quad {\Bigl \langle }q_{j}{ \frac {\partial H}{\partial p_{k))}{\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }p_{j}{\frac {\partial H}{\partial p_{k} )){\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }p_{j}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }q_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k))}{\Bigr \rangle },

és

{\displaystyle {\Bigl \langle }p_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigr \rangle ))

j≠k esetén nullák .

Kapcsolat a viriális tétellel

Az általános ekvipartíciós tétel a viriális tétel általánosítása (1870-ben javasolták [43] ), és így hangzik

{\Bigl \langle }\sum _{k}q_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\ sum _{k}p_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k))}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\sum _{k}p_{k}{ \frac {dq_{k}}{dt}}{\Bigr \rangle }=-{\Bigl \langle }\sum _{k}q_{k}{\frac {dp_{k}}{dt}}{ \Bigr \rangle },

ahol t jelöli az időt . [5] A két fő különbség a kettő között az, hogy a viriális tétel inkább "összesített" és nem "egyedi" átlagokat kapcsol össze egymással, és az előbbi nem a "T" hőmérséklettel . Másik különbség, hogy a viriális tétel hagyományos bizonyításai hosszú időn át átlagolnak, míg az ekvipartíciós tétel szintén fázistérátlagolást alkalmaz .

Alkalmazások

Állapotegyenlet ideális gázhoz

Az ekvipartíciós tétel egy ideális gáz állapotegyenletének levezetésére szolgál a klasszikus mechanikából. [4] . A részecskénkénti átlagos kinetikus energia képlete, amely csak három transzlációs szabadsági fokot vesz figyelembe, a következőképpen van felírva:

{\begin{aligned}\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle &={\frac {1}{2m))\langle p_{x}^{2}+p_{y}^ {2}+p_{z}^{2}\rangle \\&={\frac {1}{2}}{\bigl (}{\Bigl \langle }p_{x}{\frac {\partial H ^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{y}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} } }{\partial p_{y))}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{z}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} )){\partial p_{z} )){\Bigr \rangle }{\biggr )}={\frac {3}{2}}k_{B}T\end{aligned}}

Ha q = ( q x , q y , q z ) és p = ( p x , p y , p z ) egy gázban lévő részecske koordinátáit és impulzusát jelöli, F pedig az adott részecskére ható erőt, akkor

{\begin{aligned}\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {F} \rangle &={\Bigl \langle }q_{x}{\frac {dp_{x}}{dt}} {\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {dp_{y}}{dt}}{\Bigl \langle }+{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {dp_{z}}{dt}}{\Bigl \rangle }\\&=-{\Bigl \langle }q_{x}{\frac {\partial H}{\partial q_{x}}}{\ Nagyobb \rangle }-{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {\partial H}{\partial q_{y))}{\Bigl \rangle }-{\Bigl \langle }q_{z}{ \frac {\partial H}{\partial q_{z))}{\Bigr \rangle }=-3k_{B}T,\end{igazított))

ahol az első egyenlőség Newton második törvénye , a második sor pedig Hamilton egyenleteit és ekvipartícióját használja. Az N részecskéből álló rendszer összegzése a kifejezéshez vezet

3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\ biggr \rangle }.

Newton harmadik törvényét és azt a feltételezést, hogy a gáz ideális, megkapjuk a rendszerben lévő összerőt - azt az erőt, amely a tartály falainak oldaláról hat a rendszerre, és ezt az erőt a gáz P nyomása adja. Következésképpen

-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=P \oint _{\mathrm {surface} }\mathbf {q} \cdot \mathbf {dS} ,

ahol dS a tartály falainak végtelen kicsi területű eleme. Mivel a q sugárvektor divergenciája az

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} ={\frac {\partial q_{x}}{\partial q_{x}}}+{\frac {\partial q_{y} }{\partial q_{y))}+{\frac {\partial q_{z)){\partial q_{z))}=3,

akkor a divergencia tételből azt kapjuk

P\oint _{\mathrm {surface} }\mathbf {q} \cdot \mathbf {dS} =P\int _{\mathrm {kötet} }\left({\boldsymbol {\nabla ))\ cdot \mathbf {q} \right)dV=3PV,

ahol dV a tartály belsejében lévő végtelenül kicsi térfogat, V a teljes térfogata.

Az egyenleteket összerakva azt kapjuk

3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\ biggr \rangle }=3PV,

ami az ideális gáz állapotegyenletéhez vezet N részecske esetén:

PV=Nk_{B}T=nRT,

ahol n=N/N A a gázmolok száma és R=N A k B a gázállandó . [44]

Kétatomos gázok

Egy kétatomos gázt két m 1 és m 2 tömeggel ábrázolhatunk, amelyek a merevségű rugóval kapcsolódnak egymáshoz . [20] Ennek a rendszernek a klasszikus energiáját az egyes tömegek mozgásának kinetikus energiáinak és a rugó deformációjának potenciális energiájának összegeként írjuk le:

H={\frac {\left|\mathbf {p} _{1}\right|^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\left|\mathbf {p} _ {2}\right|^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {1}{2}}aq^{2},

ahol p 1 és p 2 két atom momentuma, q az egyensúlyi helyzettől való eltérés. Minden egyes szabadsági fok másodfokú függvény, ezért ½ k B T -vel kell hozzájárulnia a teljes átlagos energiához és ½ k B -vel a fajhőhöz. Így egy N kétatomos gáz fajlagos hőkapacitásának egyenlőnek kell lennie 7N · ½ k B -vel: a p 1 és p 2 momentum egyenként három szabadsági fokot ad, a q eltérés pedig egy hetedet ad hozzá. Ebből következik, hogy a fent említettektől eltérő szabadságfok nélküli kétatomos molekulákból álló gáz egy móljának fajlagos hőkapacitása (7/2) N A k B = (7/2) R legyen , és így a megjósolt moláris fajlagos hőkapacitása 7 cal / ( mol K ) lesz . Ugyanakkor a mérések kimutatták, hogy a kétatomos molekulákból álló gáz moláris fajlagos hőkapacitása 5 cal /( mol K ) [28] , és nagyon alacsony hőmérsékleten 3 cal /( mol K ) -ra csökken. [29] Az ekvipartíciós törvényből és a kísérletből származó előrejelzett érték közötti eltérés nem magyarázható a molekula bonyolultabb szerkezetével, mivel a szabadsági fokok hozzáadásával a hőkapacitás előrejelzett értéke is nő. [30] Ez a nézeteltérés volt az egyik kulcsfontosságú, amely pontosabb, nevezetesen az anyag szerkezetére vonatkozó kvantum - elképzeléseket követelt.

Ultrarelativisztikus ideális gázok

Az ekvipartíciós törvényt a fentiekben használtuk a klasszikus ideális gáz állapotegyenletének a newtoni mechanikából való származtatására . A relativisztikus hatások azonban dominánssá válnak egyes rendszerekben, például a fehér törpékben és a neutroncsillagokban , [6] és az ideális gáz állapotegyenletét meg kell változtatni. Az ekvipartíciós tétel kényelmes módot kínál az ultrarelativisztikus ideális gáz megfelelő törvényeinek levezetésére . [4] Ebben az esetben az egyes részecske mozgási energiáját a következőképpen adjuk meg:

H^{\mathrm {kin} }\approx cp=c{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}.

Differenciálva H -t a p x impulzuskomponenshez képest , megkapjuk

p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}=c{\frac {p_{x}^{2}}{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}

és hasonlóan a p y és p z komponensekre . A három komponenst összeadva megkapjuk az átlagos mozgási energia kifejezését

{\begin{aligned}\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle &={\biggl \langle }c{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{ 2}+p_{z}^{2}}{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}{\biggr \rangle }\\&={\Bigl \langle }p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x))}{\Bigl \rangle }+{\Bigl \langle }p_{y}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{y))}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{z}{ \frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{z}}}{\Bigr \rangle }\\&=3k_{B}T\end{aligned}}

ahol az ekvipartícióból az utolsó egyenlőség következik. Így egy ultrarelativisztikus gáz átlagos összenergiája nemrelativisztikus esetben kétszerese a gáz összenergiájának: N részecske esetén 3 N k B T -t kapunk .

Nem ideális gázok

Ideális gázban a részecskék csak ütközés útján lépnek kölcsönhatásba. Az ekvipartíciós törvény felhasználható a „nem ideális gázok” nyomásának és energiájának kifejezésére, amelyekben a részecskék konzervatív erők révén kölcsönhatásba lépnek egymással . Ezen részecskék U ( r ) kölcsönhatási potenciálja csak a részecskék közötti r távolságtól függ . [4] Ezt a helyzetet írja le az egyrészecskés modell, ahol a gázban maradó részecskék gömbszimmetrikus eloszlást alkotnak. Célszerű bevezetni egy g(r) radiális eloszlásfüggvényt úgy, hogy annak valószínűségi sűrűsége, hogy az adotttól r távolságra lévő részecskét találunk , egyenlő 4π r²ρ g(r) , ahol ρ=N/V az átlag a gáz sűrűsége . [45] Ebből következik, hogy egy részecske és környezete kölcsönhatásának átlagos potenciális energiája egyenlő

\langle h^{\mathrm {pot} }\rangle =\int _{0}^{\infty }4\pi r^{2}\rho U(r)g(r)\,dr.

A gáz teljes átlagos potenciális energiája , ahol N a részecskék száma a gázban, és a ½ tényező szükséges, mert az összes részecske összegzése minden kölcsönhatást kétszer tartalmaz. $\langle H^{pot}\rangle ={\tfrac {1}{2}}N\langle h^{\mathrm {pot} }\rangle$

A potenciális és kinetikus energia összegzése és az egyenlítés alkalmazása után megkapjuk az energiaegyenletet

H=\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\frac {3}{2}}Nk_{B}T+2 \pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{2}U(r)g(r)\,dr.

Hasonló érvelés [4] vezet a nyomás egyenletéhez

3Nk_{B}T=3PV+2\pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{3}U'(r)g(r)\,dr.

Anharmonikus oszcillátorok

Anharmonikus oszcillátor esetén (ellentétben az egyszerű harmonikus oszcillátorral ) a potenciális energia nem a q elmozdulás (egy általánosított koordináta, amely az egyensúlyi helyzettől való eltérést jelzi) másodfokú függvénye. Az ilyen oszcillátorok lehetővé teszik az ekvipartíciós törvény tágabb áttekintését. [46] [47] Egyszerű példaként tekintsük az alak potenciális energiafüggvényeit

H^{\mathrm {pot} }=Cq^{s},

ahol C és s tetszőleges valós állandók . Ebben az esetben az ekvipartíciós törvény a kifejezéshez vezet

k_{B}T={\Bigl \langle }q{\frac {\partial H^{\mathrm {pot} }}{\partial q)){\Bigr \rangle }=\langle q\cdot sCq^{s-1}\rangle =\langle sCq^{s}\rangle =s\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle .

Így az átlagos potenciális energia k B T/s , és nem k B T/2 , mint egy harmonikus oszcillátor másodfokú potenciáljára (ahol s =2).

Általánosabban, egy egydimenziós rendszer tipikus energiafüggvénye Taylor-kiterjesztésként ábrázolható q -ban :

{\displaystyle H^{\mathrm {pot} }=\sum _{n=2}^{\infty }C_{n}q^{n))

nem negatív egész számokhoz n . Az n =1 tag hiányzik, mivel az egyensúlyi pontban nincs eredő erő, és az energia első deriváltja eltűnik. Az n = 0 tagot bele kell foglalni, mivel az egyensúlyi pontban tetszőlegesen választható a potenciális energia (az egyszerűség kedvéért nulla). Ebben az esetben az egyenlítési törvényből az következik, hogy [46]

k_{B}T={\Bigl \langle }q{\frac {\partial H^{\mathrm {pot} }}{\partial q}}{\Bigr \rangle }=\sum _{n =2}^{\infty }\langle q\cdot nC_{n}q^{n-1}\rangle =\sum _{n=2}^{\infty }nC_{n}\langle q^{n }\rangle .

Ellentétben a többi itt felhozott példával, az ekvipartíciós törvény

\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\frac {1}{2}}k_{B}T-\sum _{n=3}^{\infty }\left({ \frac {n-2}{2}}\right)C_{n}\langle q^{n}\rangle

mert az átlagos potenciális energia nem írható fel ismert állandókkal.

Brown-mozgás

Az ekvipartíciós törvényt egy Brown - részecske szórásának származtatására használják a Langevin-egyenlet segítségével . [4] Ezen egyenlet szerint egy m tömegű és v sebességű részecske mozgása megfelel Newton második törvényének.

{\frac {d\mathbf {v} }{dt))={\frac {1}{m))\mathbf {F} =-{\frac {\mathbf {v} }{\tau } }+{\frac {1}{m}}\mathbf {F} ^{\mathrm {rnd} },

ahol F rnd egy véletlenszerű erő, amely leírja egy részecske véletlenszerű ütközését a környező molekulákkal, és ahol az időállandó egy súrlódási erő létezését tükrözi , amely a mozgással ellentétes irányban irányul. A súrlódási erőt gyakran a részecske sebességével arányosnak írják fel , ebben az esetben az időállandó . $\tau$ $\mathbf {F} ^{\mathrm {drag} }=-\gamma \mathbf {v}$ $\tau$ $m/\gamma$

Ennek az egyenletnek és a részecske helyvektorának skaláris szorzata átlagolás után (idővel) az egyenlethez vezet $\mathbf {r}$

{\Bigl \langle }\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt)){\Bigr \rangle }+{\frac {1}{\tau ))\ langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \rangle =0

Brown-mozgásra (mivel az F rnd véletlenszerű erő nem korrelál az r vektorral ). Matematikai összefüggések használata

{\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)={\frac {d}{dt}}\left(r^{2} \right)=2\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)

és

{\frac {d}{dt))\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)=v^{2}+\mathbf {r} \cdot {\frac {d \mathbf {v} }{dt}},

a Brown-mozgás alapegyenlete így írható fel

{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\langle r^{2}\rangle +{\frac {1}{\tau }}{\frac {d}{dt }}\langle r^{2}\rangle =2\langle v^{2}\rangle ={\frac {6}{m}}k_{B}T,

ahol az utolsó egyenlőség a transzlációs mozgás kinetikus energiájára vonatkozó egyenlítési törvényből következik:

\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle ={\Bigl \langle }{\frac {p^{2}}{2m}}{\Bigr \rangle }=\langle {\tfrac { 1}{2}}mv^{2}\rangle ={\tfrac {3}{2}}k_{B}T.

Ekkor a differenciálegyenlet (megfelelő kezdeti feltételek mellett) pontosan megoldható: $\langle r^{2}\rangle$

\langle r^{2}\rangle ={\frac {6k_{B}T\tau ^{2}}{m}}\left(e^{-t/\tau }-1+{\ frac {t}{\tau }}\right).

Ha az idő kicsi az időállandóhoz ( ) képest, akkor a részecske szabadon mozgónak tekinthető, és az exponenciális függvényre a Taylor-bővítést felhasználva, mivel az elmozdulás négyzete megközelítőleg négyzetesen nő , azt kapjuk, hogy $t\ll \tau$

\langle r^{2}\rangle \approx {\frac {3k_{B}T}{m}}t^{2}=\langle v^{2}\rangle t^{2}.

Időnként sokkal nagyobb, mint az időállandó ( ), az exponenciális tag és az állandó elhanyagolhatóan kicsi, és az elmozdulás négyzete lineárisan nő : $t\gg \tau$

\langle r^{2}\rangle \approx {\frac {6k_{B}T\tau }{m}}t=6\gamma k_{B}Tt.

Ez a kifejezés egy részecske diffúzióját írja le az időben. Egy merev molekula rotációs diffúziójának hasonló egyenlete hasonló módszerrel származtatható.

A csillagok fizikája

Az ekvipartíciós tételt és a viriális tételt régóta használják az asztrofizikában . [48] Például a viriális tételt a csillagok hőmérsékletének vagy a fehér törpék tömegének Chandrasekhar határértékének becslésére használják . [49] [50]

Egy csillag átlagos hőmérsékletét az ekvipartíciós tételből becsüljük meg. [51] Mivel a legtöbb csillag gömbszimmetrikus, a teljes gravitációs potenciálenergiát az integrál becsüli meg.

H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }=-\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{2}G}{r}}M (r)\,\rho (r)\,dr,

ahol M(r) az r sugaron belüli tömeg , ρ(r) a csillagsűrűség r sugárnál , G a gravitációs állandó , R a csillag teljes sugara. Állandó csillagsűrűség esetén a sugár feletti integráció a kifejezéshez vezet

H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }=-{\frac {3GM^{2}}{5R)),

ahol M a csillag teljes tömege. Ebből következik, hogy egy részecske átlagos potenciális energiája egyenlő

\langle H^{\mathrm {grav} }\rangle ={\frac {H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }}{N}}=-{\frac {3GM^ {2}}{5RN}},

ahol N a részecskék száma a csillagban. A legtöbb csillag főleg ionizált hidrogénből áll , így az N körülbelül (M/m p ) , ahol m p a proton tömege. Az ekvipartíciós törvény alkalmazása becslést ad a csillag hőmérsékletére

{\Bigl \langle }r{\frac {\partial H^{\mathrm {grav} }}{\partial r}}{\Bigr \rangle }=\langle -H^{\mathrm {grav} }\rangle =k_{B}T={\frac {3GM^{2}}{5RN}}.

A Nap tömegét és sugarát behelyettesítve ebbe a kifejezésbe , a becsült naphőmérséklet T 14 millió kelvin , nagyon közel van a Nap magjának hőmérsékletéhez (15 millió kelvin). Igaz, itt meg kell jegyezni, hogy a Nap szerkezete sokkal összetettebb, mint az ebben az egyszerűsített modellben elfogadott, és hőmérséklete, valamint sűrűsége erősen változik a sugár függvényében, és ilyen jó egyezés (≈7% relatív hiba ) részben a mi szerencsénk. [52]

Csillagképződés

A fenti képletek segítségével meghatározhatóak az óriásmolekulafelhőkből való csillagkeletkezés feltételei . [53]

Az ilyen felhők sűrűségének helyi ingadozása instabil állapothoz vezethet, amelyben a felhő saját súlya alatt összeomlik. Ilyen összeomlás akkor következik be, amikor az ekvipartíciós tétel, vagy ezzel egyenértékű a viriális tétel már nem érvényesül, vagyis amikor a gravitációs potenciálenergia kétszerese a kinetikus energiának.

{\frac {3GM^{2}}{5R}}>3Nk_{B}T

Feltételezve, hogy a felhő sűrűsége állandó, a képlet szerint $\rho$

M={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho

becslést kaphatunk egy csillag születésének minimális tömegére, amelyet M J Jeans tömegnek neveznek

M_{J}^{2}=\left({\frac {5k_{B}T}{Gm_{p))}\right)^{3}\left({\frac {3}{4 \pi \rho }}\right)

Az ilyen megfigyelhető felhők tipikus tömegeinek értékeit ( T =150 K, ρ = 2⋅10 -16 g/cm³) helyettesítve 17 naptömegre becsülhető minimális tömeg, ami összhangban van a megfigyelt csillagkeletkezéssel. Ezt a hatást Jeans instabilitásnak nevezik . Nevét James Jeans brit fizikusról kapta , aki 1902-ben ismertette ezt az instabilitást. [54]

Következtetések

A kinetikus energia és a Maxwell-Boltzmann eloszlás

Az ekvipartíciós tétel eredeti megfogalmazása szerint egy termodinamikai egyensúlyi állapotú fizikai rendszerben minden részecske azonos átlagos kinetikus energiával rendelkezik , (3/2) k B T . [55] Ez a Maxwell-Boltzmann eloszlással mutatható ki (lásd a fenti ábrát a molekulasebességek valószínűségi sűrűségeloszlását illetően ), amely a valószínűségi eloszlás

{\displaystyle f(v)=4\pi \left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}\!\!v^{2}\ exp {\Bigl (}{\frac {-mv^{2}}{2k_{B}T}}{\Bigr )))

egy m tömegű részecske sebességére a rendszerben, ahol a v sebesség a sebességvektor amplitúdója . ${\displaystyle {\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))))$ $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$

A Maxwell–Boltzmann eloszlás atomrendszerre alkalmazható, és csak azt feltételezi, hogy a részecskerendszer egy kanonikus együttes , különösen, hogy a kinetikus energiák a Boltzmann-tényező szerint oszlanak meg T hőmérsékleten . [55] Az m tömegű részecske átlagos kinetikus energiáját az integrál képlet adja meg

\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle =\langle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}\rangle =\int _{0}^{\infty }{\ tfrac {1}{2}}mv^{2}\ f(v)\ dv={\tfrac {3}{2}}k_{B}T,

ahogy az ekvipartíciós tétel is mondja. Ugyanezt az eredményt kaphatjuk a részecskék energiáinak átlagolásával és annak a valószínűségével, hogy valamilyen energiakvantumállapotban részecskét találunk [44] .

Másodfokú energiák és partíciós függvény

Egy általánosabb megfogalmazásban az ekvipartíciós tétel azt mondja, hogy bármely szabadságfok , amely a teljes energiában csak az alak másodfokú tagjaként jelenik meg , ahol állandó, termodinamikai egyensúlyban ½ átlagos energiával rendelkezik. Ebben az esetben az ekvipartíció a partíciós függvényből származtatható , ahol a reciprok hőmérséklet . [56] A változó feletti integráció megadja a tényezőt $x$ $H$ $Ax^{2}$ $A$ $k_{B}T$ $Z(\beta )$ $\beta =1/(k_{B}T)$ $x$

Z_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }dx\ e^{-\beta Ax^{2))={\sqrt {\frac {\pi }{\beta A }}},

a képletben . Az ehhez a tényezőhöz tartozó átlagos energiát a $Z$

\langle H_{x}\rangle =-{\frac {\partial \ln Z_{x}}{\partial \beta }}={\frac {1}{2\beta }}={\frac {1}{2}}k_{B}T

ahogy az ekvipartíciós tétel mondja.

Általános bizonyíték

Az ekvipartíciós tétel általános következtetései számos statisztikai mechanikai tankönyvben megtalálhatók mind a mikrokanonikus együttesre [4] [6] , mind a kanonikus együttesre [4] [42] . Ezek a módszerek magukban foglalják a rendszer átlagolását egy fázistéren keresztül , amely szimplektikus sokaság .

E következtetések magyarázatához a következő jelölést kell bevezetnünk. Először a fázisteret a q j általánosított koordinátákkal és a p j konjugált momentumokkal együtt írjuk le . A q j mennyiségek teljesen leírják a rendszer konfigurációját , ugyanakkor a mennyiségek ( q j , p j ) együtt teljes mértékben leírják a rendszer állapotát .

Másodszor egy végtelenül kicsi térfogatot vezetünk be

{\displaystyle d\Gamma =\prod _{i}dq_{i}dp_{i))

fázistér, és használja azt a fázistér azon részének Γ( E , Δ E ) térfogataként, ahol a H rendszer energiája az E és E+ΔE közötti energiatartományba esik :

\Gamma (E,\Delta E)=\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}d\Gamma .

Ebben a kifejezésben ΔE nagyon kicsi, ΔE<<E . Hasonlóképpen Σ( E ) a fázistér teljes térfogataként definiálható, ahol az energia kisebb, mint E :

\Sigma (E)=\int _{H<E}d\Gamma .

A ΔE kicsinysége miatt a következő integrációk egyenértékűek

\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}\ldots d\Gamma =\Delta E{\frac {\partial }{\partial E))\int _{H <E}\ldots d\Gamma ,

ahol a pontok egy integrálható kifejezést jelentenek. Ebből következik, hogy Γ arányos ΔE-vel

\Gamma =\Delta E\ {\frac {\partial \Sigma }{\partial E))=\Delta E\ \rho (E),

ahol ρ(E) az állapotok sűrűsége . A statisztikai mechanika szokásos definíciói szerint az S entrópia egyenlő k B log Σ(E) , a T hőmérséklet pedig:

{\frac {1}{T}}={\frac {\partial S}{\partial E}}=k_{b}{\frac {\partial \log \Sigma }{\partial E}} =k_{b}{\frac {1}{\Sigma }}\,{\frac {\partial \Sigma }{\partial E)).

Canonical Ensemble

A kanonikus együttesben a rendszer termikus egyensúlyban van egy végtelen termikus tározóval T hőmérsékleten (kelvinben). [4] [42] Az egyes fázistérbeli állapotok valószínűségét a Boltzmann -szorzója és a normalizációs tényező szorzata adja meg , amelyet úgy választunk meg, hogy a valószínűségek összege eggyel egyenlő. $\mathcal{N}$

{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}d\Gamma =1,

ahol β = 1/k B T . A két a és b határ közötti x k fázistérváltozó (amely lehet q k vagy p k ) részenkénti integrálása az egyenletet eredményezi.

{\mathcal {N}}\int \left[e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\right]_{x_{k}=a}^{x_{k} =b}d\Gamma _{k}+{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\beta {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}d\Gamma =1,

ahol dΓ k = dΓ/dx k , azaz az első integrációt nem hajtjuk végre x k felett . Az első tag általában nulla, mert x k nulla a határértékeken, vagy mert az energia a határokon divergál. Ebben az esetben ebből az egyenletből közvetlenül következik az ekvipartíciós tétel

{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k))}\,d\ Gamma ={\Bigl \langle }x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k))}{\Bigr \rangle }={\frac {1}{\beta ))=k_{ B}T.

Itt az átlagolás a kanonikus együttes átlagolását jelenti . $\langle \ldots \rangle$

Microcanonical Ensemble

A mikrokanonikus együttesben a rendszer el van szigetelve a világ többi részétől, vagy legalábbis lazán össze van kapcsolva. [6] Ebből következik, hogy összenergiája állandó. A határozottság kedvéért legyen a H teljes energia E és E + ΔE között . Adott E energiához és ΔE bizonytalansághoz a Γ fázistérben van egy tartomány, ahol a rendszer rendelkezik ezzel az energiával, és a mikrokanonikus együttes definíciója szerint a fázistér adott tartományában az egyes állapotok valószínűsége egyenlő. Ezekből a definíciókból következik, hogy az x m (amely lehet q k vagy p k ) és x n fázistérváltozók átlagát a következőképpen :

{\begin{aligned}{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }&={\frac {1} {\Gamma ))\,\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}\, d\Gamma \\&={\frac {\Delta E}{\Gamma }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}\,d\Gamma \\&={\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\ int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial \left(HE\right)}{\partial x_{n))}\,d\Gamma ,\end{igazított))

ahol az utolsó egyenlőség abból következik, hogy E nem függ x n -től . A részenkénti integráció a relációhoz vezet

{\begin{aligned}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial (HE)}{\partial x_{n))}\,d\Gamma &=\int _ {H<E}{\frac {\partial }{\partial x_{n))}{\bigl (}x_{m}(HE){\bigr )}\,d\Gamma -\int _{H< E}\delta _{mn}(HE)d\Gamma \\&=\delta _{mn}\int _{H<E}(EH)\,d\Gamma ,\end{igazított}}

mivel az első sorban a jobb oldali első tag egyenlő nullával (a hipertér fölé H - E integrálként írható , ahol H = E ).

Ha ezt az eredményt behelyettesítjük az előző egyenletbe, azt kapjuk

{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\frac {1}{ \rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}\left(EH\right)\,d\Gamma =\delta _{mn}{\frac { 1}{\rho }}\,\int _{H<E}\,d\Gamma =\delta _{mn}{\frac {\Sigma }{\rho )).

Mivel az ekvipartíciós törvény ezt mondja: $\rho ={\frac {\partial \Sigma }{\partial E))$

{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\Bigl (}{\ frac {1}{\Sigma }}{\frac {\partial \Sigma }{\partial E}}{\Bigr )}^{-1}=\delta _{mn}{\Bigl (}{\frac { \partial \log \Sigma }{\partial E}}{\Bigr )}^{-1}=\delta _{mn}k_{B}T.

Így megkaptuk az ekvipartíciós tétel általános megfogalmazását

{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}k_{B}T,

amelyet a fenti alkalmazásokban használtak .

Alkalmazhatóság

Ergodicitási követelmény

Az ekvipartíciós törvény csak a termodinamikai egyensúlyban lévő ergodikus rendszerekre érvényes , ami azt jelenti, hogy minden egyenlő energiájú állapotot azonos valószínűséggel kell kitölteni. [6] Ezért lehetővé kell tenni az energia cseréjét annak különböző formái között a rendszeren belül, vagy egy külső hőtárolóval a kanonikus együttesben . Kevés azon fizikai rendszerek száma, amelyekre vonatkozóan az ergodikitás szigorú bizonyítéka ismert. A leghíresebb példa a Jacob Sinai kemény labdák rendszere . [57] A garantált ergodicitású izolált rendszerekre, így az ekvipartícióra vonatkozó vizsgált követelmények megteremtették a dinamikus rendszerek modern káoszelméletének előfeltételeit . Egy kaotikus Hamilton-rendszernek nem kell ergodikusnak lennie, bár ez általában jó közelítés. [58]

A csatolt harmonikus oszcillátorok rendszere egy gyakran emlegetett ellenpélda, mivel az energia nem oszlik meg a különböző formái között, és az egyenlőség nem áll fenn a mikrokanonikus együttesben. [58] Ha a rendszer el van szigetelve a világ többi részétől, az energia minden normál üzemmódban állandó, és nem kerül át energia egyik üzemmódból a másikba. Ezért az ekvipartíciós törvény nem érvényes egy ilyen rendszerre, mivel az energia mennyiségét minden normál üzemmódban a kezdeti értéke határozza meg. Ha az energiában kellően erős nemlineáris tagok vannak, akkor az újraelosztható a normál módusok között, ami az ekvipartíciós törvény teljesüléséhez vezet. A Kolmogorov-Arnold-Moser-tétel azonban kimondja, hogy a nemlineáris perturbációknak elég erősnek kell lenniük az energia újraelosztásához; különben, ha kicsik, az energia legalább néhány üzemmódban koncentrált marad.

A kvantummechanika által támasztott korlátok

Az ekvipartíciós törvény megsérül, ha a k B T hőenergia sokkal kisebb lesz, mint az energiaszintek közötti távolság. Az ekvipartíció nem működik, mert az energiaszintek folytonos spektrumának feltételezése, amelyet fentebb az ekvipartíciós törvény levezetésénél használtunk, már nem jó közelítés. [4] [6] Történelmileg a fekete test fajhőjének és sugárzásának a klasszikus ekvipartíciós tétellel való megmagyarázásának lehetetlensége szolgált fő okként annak felismerésére, hogy új anyag- és sugárzáselméletekre van szükség, nevezetesen a kvantummechanikára , ill . kvantumtér elmélet . [nyolc]

Az ekvipartíciós tétel megsértésének szemléltetésére vegyük figyelembe egyetlen (kvantum) harmonikus oszcillátor átlagos energiáját, amelyet a klasszikus esetre fentebb tárgyaltunk. Kvantumszintjei E n = nhν , ahol h Planck állandója , ν az oszcillátor alapfrekvenciája , n pedig pozitív egész szám. Annak valószínűségét, hogy egy adott energiaszint kitöltődik a kanonikus együttesben , a Boltzmann-szorzója adja meg:

P(E_{n})={\frac {e^{-n\beta h\nu }}{Z)),

ahol β = 1/ k B T és a Z nevező a partíciós függvény , itt a geometriai sorozat

Z=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta h\nu }={\frac {1}{1-e^{-\beta h\nu }} }.

Átlagos energiáját adjuk meg

\langle H\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}P(E_{n})={\frac {1}{Z}}\sum _{n= 0}^{\infty }nh\nu \ e^{-n\beta h\nu }=-{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial Z}{\partial \beta }}= -{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta )).

Z képletet behelyettesítve a kívánt eredményhez jutunk [6]

\langle H\rangle =h\nu {\frac {e^{-\beta h\nu }}{1-e^{-\beta h\nu }}}.

Magas hőmérsékleten, amikor a k B T hőenergia sokkal nagyobb, mint az energiaszintek hν távolsága, az exponenciális βhν sokkal kisebbnek bizonyul, mint egység, és az átlagos energia egyenlő lesz k B T -vel , az egyenlítési törvénynek megfelelően. (lásd a grafikont). Alacsony hőmérsékleten azonban, amikor hν >> k B T , az átlagos energia nullára hajlik – a magas frekvenciájú energiaszintek „kifagynak” (lásd a grafikont). Egy másik példa, hogy a hidrogénatom gerjesztett elektronállapotai nem járulnak hozzá a gáz fajlagos hőkapacitásához szobahőmérsékleten, mert a k B T hőenergia (körülbelül 0,025 eV ) sokkal kisebb, mint az alapállapot és a gáz közötti távolság. az első gerjesztett szint (kb. 10 eV ).

Hasonló megfontolások érvényesek függetlenül attól, hogy az energiaszintek közötti távolság nagyobb-e, mint a hőenergia. Például Albert Einstein ezt a feltevést használta az ultraibolya feketetest-sugárzás katasztrófájának megoldására. [59] A paradoxon abból adódik, hogy egy zárt tartályban végtelen számú független elektromágneses módus létezik , amelyek mindegyikét harmonikus oszcillátorként kezeljük. Ha minden elektromágneses mód átlagos energiája k B T , akkor a tartály végtelen energiát tartalmaz. [59] [60] Azonban a fent tárgyalt ok miatt a nagyfrekvenciás üzemmódokban az átlagos energia nullára hajlik, ahogy a frekvencia a végtelenbe megy; sőt, Planck feketetest-sugárzási törvénye , amely az energia módusok közötti kísérletileg megállapított eloszlásából következik, ugyanebből az okból következik. [59]

Vannak finomabb kvantumeffektusok, amelyek az ekvipartíciós tétel korrekcióihoz vezethetnek, mint például a részecskeazonosságok és a folytonos szimmetriák . A részecskék megkülönböztethetetlenségi hatásai nagy koncentrációban és alacsony hőmérsékleten dominálhatnak. Például egy fémben lévő vegyértékelektronok átlagos kinetikus energiája több elektronvolt is lehet, ami több tízezer fokos hőmérsékletnek felel meg. Ezek az elektronok olyan állapotban, amikor sűrűségük olyan nagy, hogy a Pauli-kizárási elv miatt a klasszikus megközelítés nem alkalmazható, degenerált Fermi-gázt alkotnak . Az ilyen gázok fontosak a fehér törpék és a neutroncsillagok szerkezetében . Alacsony hőmérsékleten a Bose-Einstein kondenzátum fermion analógja képződik (amelyben sok azonos részecske foglalja el az alapenergia állapotát); az ilyen szuperfolyékony elektronok felelősek a szupravezetésért .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Itt, amint láthatja, a szabadságfok kifejezést abban a "termodinamikai" értelemben használjuk, amely némileg eltér a fizikában megszokottól, nevezetesen (a cikkben megadott változatban): koordináta (a potenciális energiáért felelős). ) és sebesség (a kinetikáért felelős), míg általában a koordinátát és a hozzá tartozó sebességet azonos szabadsági foknak tulajdonítják. Könnyen belátható, hogy ebben az összefüggésben a fogalom ilyen jellegű jelentésének megváltoztatását a tétel megfogalmazásának egyszerűsége indokolja. Megjegyzendő, hogy azok a koordináták, amelyektől a potenciális energia nem függ (legalábbis az első közelítésben) kvadratikusan (és ezek a molekula transzlációs és forgó mozgásának megfelelő koordináták), elhanyagolható mértékben járulnak hozzá a potenciális energiához, bár a szokásos hozzájárulás ½ k B T a kinetikus energiához. A vibrációs szabadsági fokok megkülönböztető jellemzője, amelyek potenciális energiája négyzetes (legalább megközelítőleg), hogy a harmonikushoz közeli oszcillációs rendszerekben a potenciális energia egyenlő a szabad rezgések kinetikus energiájával.
↑ 1 2 Kundt, A. ; Warburg E. Über die specifische Wärme des Quecksilbergases (A higanygázok fajhőjéről) (angol) // Annalen der Physik : folyóirat. - 1876. - Kt. 157 . - P. 353-369 . Az eredetiből archiválva : 2013. április 13. (Német)
↑ Az urándúsításról szóló adatlap archiválva 2021. február 25-én a Wayback Machine US Nuclear Regulatory Commissionnál. Hozzáférés dátuma: 2007. április 30
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Pathria, RK Statisztikai Mechanika. — Pergamon Press, 1972. - S. 43-48, 73-74. — ISBN 0-08-016747-0 .
↑ 1 2 3 Goldstein, H. Klasszikus mechanika. — 2. szerk. - Addison-Wesley , 1980. - ISBN 0-201-02918-9 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Huang, K. Statisztikai mechanika. - 2. kiadás .. - John Wiley and Sons , 1987. - S. 136-138.
↑ 12 Mandl , F. Statisztikai fizika . - John Wiley and Sons , 1971. - S. 213-219 .
↑ 1 2 3 4 Pais, A. Finom az Úr . - Oxford University Press , 1982. - ISBN 0-19-853907-X .
↑ 1 2 Tolman, RC Az energiafelosztás általános elmélete a kvantumelmélet alkalmazásaival // Fizikai áttekintés : folyóirat . - 1918. - évf. 11 . - P. 261-275 .
↑ Miedl M., Garcia M., Bamforth C. Haze formation in model beer systems // J. Agric . élelmiszer-kémia. : folyóirat. - 2005. - 20. évf. 53 , sz. 26 . - P. 10161-10165 . - doi : 10.1021/jf0506941 . — PMID 16366710 .
↑ Mason, M; Weaver W. A kis részecskék ülepedése folyadékban // Fizikai áttekintés : folyóirat . - 1924. - Kt. 23 . - P. 412-426 . - doi : 10.1103/PhysRev.23.412 .
↑ Brush, SG A mozgás típusa, amit hőnek hívunk, 1. kötet . - Amszterdam: Észak-Hollandia, 1976. - P. 134-159. — ISBN 978-0444870094 .
↑ Brush, SG The Kind of Motion We Call from Heat, 2. kötet . - Amszterdam: Észak-Hollandia, 1976. - P. 336-339. — ISBN 978-0444870094 .
↑ Waterston, JJ . A mozgásállapotban lévő szabad és rugalmas molekulákból álló közegek fizikájáról (angol) // Roy. szoc. Proc. : folyóirat. — 1846/1893. — Vol. 5 . — 604. o . (absztrakt). {{{title}}} -ig nem tették közzé teljesen // Philos. Trans. R. Soc. London. - 1893. - T. A183 . - S. 1-79 . Újraközölve John James Waterston / JS Haldane összegyűjtött tudományos közleményei. – Edinburgh: Oliver és Boyd, 1928.
↑ Waterston, JJ Gondolatok a mentális funkciókról. - 1843. (Újranyomva a Lapjaiban , 3 , 167, 183.)
↑ Waterston, JJ {{{title}}} // British Association Reports. - 1851. - T. 21 . - S. 6 . Waterston fő tanulmányát 1845-ben írták és nyújtották be a Királyi Társasághoz . Miután a társaság megtagadta a mű kinyomtatását, a kézirat visszaadását is megtagadta, és az archívumban lévő egyéb cikkek között megőrizte. A kéziratot 1891-ben Lord Rayleigh találta meg , aki bírálta a referenst, amiért nem ismerte fel Waterston munkájának jelentőségét. Waterstonnak 1851-ben sikerült publikálnia elképzeléseit, így megelőzte Maxwellt az ekvipartíciós tétel első változatának bemutatásában.
↑ Maxwell, JC Illustrations of the Dynamical Theory of Gases // The Scientific Papers of James Clerk Maxwell / WD Niven. - New York: Dover, 2003. - P. 1. kötet, pp. 377-409. — ISBN 978-0486495606 . Olvassa: Prof. Maxwell a Brit Szövetség találkozóján Aberdeenben 1859. szeptember 21-én .
↑ Boltzmann, L. Einige allgemeine Sätze über Wärmegleichgewicht (Néhány általános megállapítás a termikus egyensúlyról) (német) // Wiener Berichte : magazin. - 1871. - Bd. 63 . - S. 679-711 . (német) Ebben az előmunkában Boltzmann megmutatta, hogy az átlagos teljes kinetikus energia egyenlő az átlagos teljes potenciális energiával, amikor külső harmonikus erők hatnak a rendszerre.
↑ Boltzmann, L. Über die Natur der Gasmoleküle (A gázmolekulák természetéről) // Wiener Berichte. - 1876. - T. 74 . - S. 553-560 . (Német)
↑ 1 2 McQuarrie, D. A. Statisztikai mechanika . - átdolgozott 2. kiadás - University Science Books, 2000. - 91-128 .
↑ Petit, A. T. ; Dulong PL Recherches sur quelques points fontoss de la théorie de la chaleur (Tanulmányok a hőelmélet kulcsfontosságú pontjairól) (francia) // Annales de Chimie et de Physique :magazin. - 1819. - évf. 10 . - P. 395-413 . Az eredetiből archiválva : 2009. január 22. (fr.)
↑ Dewar, J. The Specific Heat of Carbon at High Temperatures // Philosophical Magazine : folyóirat . - 1872. - Kt. 44 . - 461. o .
↑ Weber, H.F. Die specifische Wärme des Kohlenstoffs (A szén fajhője) (angol) // Annalen der Physik : Journal. - 1872. - Kt. 147 . - P. 311-319 . Az eredetiből archiválva: 2006. december 10. (Német)
↑ Weber, HF Die specifische Wärmen der Elemente Kohlenstoff, Bor und Silicium (Az elemi szén, a bór és a szilícium fajlagos hője ) // Annalen der Physik : Journal. - 1875. - évf. 154 . - P. 367-423, 553-582 . (nem elérhető link) (német)
↑ de la Rive, A.; Marcet F. Quelques recherches sur la chaleur spécifique (Néhány kutatás a fajhőről) (francia) // Annales de Chimie et de Physique :magazin. - 1840. - Kt. 75 . - 113-144 . o . Archiválva az eredetiből 2021. április 27-én. (fr.)
↑ Regnault, HV Recherches sur la chaleur spécifique des corps simples et des corps composés (deuxième Mémoire) (Egyszerű és összetett testek fajhőinek tanulmányozása) (francia) // Annales de Chimie et de Physique :magazin. - 1841. - Kt. 1 (3me Serie) . - 129-207 . o . Az eredetiből archiválva : 2013. április 13. (francia) Felolvasott az l'Académie des Sciences- ben 1841. január 11- én .
↑ Wigand, A. Über Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärme fester Elemente (A szilárd anyagok fajhőjének hőmérsékletfüggéséről ) // Annalen der Physik : Journal. - 1907. - 1. évf. 22 . - P. 99-106 . (Német)
↑ 1 2 Wüller, A. Lehrbuch der Experimentalphysik (Textbook of Experimental Physics ) . - Lipcse: Teubner, 1896. - P. Vol. 2, 507kk. (Német)
↑ 1 2 Eucken, A. Die Molekularwärme des Wasserstoffs bei tiefen Temperaturen (A hidrogén molekuláris fajhője alacsony hőmérsékleten ) // Sitzungsberichte der königlichen Preussischen Akademie der Wissenschaften : Journal. - 1912. - 1. évf. 1912 . - 141-151 . o . (Német)
↑ 1 2 Maxwell, JC A testek molekuláris felépítésének dinamikus bizonyítékairól // The Scientific Papers of James Clerk Maxwell / WD Niven. - Cambridge: At the University Press, 1890. - P. Vol. 2, pp. 418-438. Maxwell professzor előadása a Chemical Society számára 1875. február 18-án .
↑ 1 2 Kittel, C. Bevezetés a szilárdtestfizikába. - New York: John Wiley and Sons , 1996. - S. 151-156.
↑ Boltzmann, L. A gázelmélet egyes kérdéseiről // Természet . - 1895. - 1. köt. 51 . - P. 413-415 .
↑ Thomson, W. Baltimore Előadások. – Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1904. - S. Sec. 27. Újranyomta 1987-ben az MIT Press, mint Kelvin's Baltimore-i előadások és Modern elméleti fizika: Történelmi és filozófiai perspektívák (Robert Kargon és Peter Achinstein, szerkesztők). ISBN 978-0-262-11117-1
↑ Rayleigh, JWS A kinetikus energia felosztásának törvénye // Philosophical Magazine : folyóirat . - 1900. - 1. köt. 49 . - P. 98-118 .
↑ Einstein, A. Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme (A sugárzás Planck-elmélete és a fajhő elmélete) // Annalen der Physik . - 1907. - T. 22 . - S. 180-190 . (Német)
↑ Einstein, A. Berichtigung zu meiner Arbeit: 'Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme' (Javítás az előző cikkhez) (német) // Annalen der Physik : magazin. - 1907. - Bd. 22 . — S. 800 . (Német)
↑ Einstein, A. Eine Beziehung zwischen dem elastischen Verhalten and der spezifischen Wärme bei festen Körpern mit einatomigem Molekül (A kapcsolat a rugalmas viselkedés és a szilárd anyagok fajhője között egyatomos molekulákkal) // Annalen der Physik . - 1911. - T. 34 . - S. 170-174 . Archiválva : 2020. május 20. (Német)
↑ Einstein, A. Bemerkung zu meiner Arbeit: 'Eine Beziehung zwischen dem elastischen Verhalten and der spezifischen Wärme bei festen Körpern mit einatomigem Molekül' (Megjegyzés az előző cikkhez) (német) // Annalen der Physik : magazin. - 1911. - Bd. 34 . - S. 590 . Archiválva : 2020. május 20. (Német)
↑ Einstein, A. Elementare Betrachtungen über die thermische Molekularbewegung in festen Körpern (Elemi megfigyelések a szilárd anyagokban lévő molekulák hőmozgásairól) // Annalen der Physik . - 1911. - T. 35 . - S. 679-694 . Archiválva az eredetiből 2021. április 27-én. (Német)
↑ Nernst, W. Untersuchungen über die spezifische Wärme bei tiefen Temperaturen. II. (Az alacsony hőmérsékletű fajhő vizsgálata) // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften: folyóirat. - 1910. - 1. évf. 1910 . - P. 262-282 . (Német)
↑ Hermann, Armin. The Genesis of Quantum Theory (1899–1913) (angol) . - eredeti cím: Frühgeschichte der Quantentheorie (1899–1913) , fordította Claude W. Nash. - Cambridge, MA: The MIT Press , 1971. - P. 124-145 . - ISBN 0-262-08047-8 , .
↑ 1 2 3 Tolman, R. C. The Principles of Statistical Mechanics. - New York: Dover Publications , 1938. - 93-98. - ISBN 0-486-63896-0 .
↑ Clausius, R. Ueber einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz (német) // Annalen der Physik : magazin. - 1870. - Bd. 141 . - S. 124-130 . Archiválva az eredetiből 2021. március 8-án. (német)
Clausius, RJE A hőre alkalmazható mechanikai tételről // Philosophical Magazine, Ser. 4. - 1870. - T. 40 . - S. 122-127 .
↑ 1 2 L. Vu-Quoc, Konfigurációs integrál (statisztikai mechanika) Archiválva : 2008. október 11. , 2008.
↑ McQuarrie, D. A. Statisztikai mechanika . - átdolgozott 2. kiadás - University Science Books, 2000. - 254-264 . — ISBN 978-1891389153 .
↑ 1 2 Tolman, R. C. Statisztikai mechanika, fizika és kémia alkalmazásaival . - Vegyipari Katalógus Vállalat, 1927. - P. 76-77.
↑ Terletskii, YP Statistical Physics. — fordította: N. Fröman. - Amszterdam: Észak-Holland, 1971. - S. 83-84. - ISBN 0-7204-0221-2 , .
↑ Collins, GW The Virial Theorem in Stellar Astrophysics . – Pachart Press, 1978. Archiválva : 2010. december 4. a Wayback Machine -nél
↑ Chandrasekhar, S. Bevezetés a csillagszerkezet tanulmányozásába . - Chicago: University of Chicago Press , 1939. - P. 49-53.
↑ Kourganoff, V. Bevezetés a haladó asztrofizikába. – Dordrecht, Hollandia: D. Reidel, 1980. - S. 59-60, 134-140, 181-184.
↑ Chiu, H.-Y. Stellar Physics, I. kötet – Waltham, MA: Blaisdell Publishing, 1968.
↑ Noyes, R.W. A nap, a mi csillagunk . - Cambridge, MA: Harvard University Press , 1982. - ISBN 0-674-85435-7 .
↑ Ostlie, D.A.; Carroll BW Bevezetés a modern csillagasztrofizikába . - Reading, MA: Addison-Wesley , 1996. - ISBN 0-201-59880-9 .
↑ Jeans, JH A gömbköd stabilitása // Phil . Trans. A : folyóirat. - 1902. - Kt. 199 . - P. 1-53 . doi : 10.1098 / rsta.1902.0012 .
↑ 1 2 McQuarrie, D. A. Statisztikai mechanika . - átdolgozott 2. kiadás - University Science Books, 2000. - 121-128 . — ISBN 978-1891389153 .
↑ Callen, HB Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics . - New York: John Wiley and Sons , 1985. - P. 375-377 . — ISBN 0-471-86256-8 .
↑ Arnold, VI ; Avez A. Théorie ergodique des systèms dynamiques. – Gauthier-Villars, Párizs. (francia) (angol kiadás: Benjamin-Cummings, Reading, Mass. 1968), 1967.
↑ 1 2 Reichl, LE A Statisztikai fizika modern kurzusa. - 2. kiadás .. - Wiley Interscience , 1998. - S. 326-333. — ISBN 978-0471595205 .
↑ 1 2 3 Einstein, A. Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (A fény teremtésének és átalakításának heurisztikus modellje) (német) // Annalen der Physik : magazin. - 1905. - Bd. 17 . - S. 132-148 . - doi : 10.1002/andp.19053220607 . (nem elérhető link) (német) . Angol fordítás elérhető a Wikiforrásból .
↑ Rayleigh, JWS Megjegyzések a teljes sugárzás törvényéhez // Philosophical Magazine : folyóirat . - 1900. - 1. köt. 49 . - P. 539-540 .

Irodalom

K Huang . Statisztikai mechanika. — 2. kiadás. - John Wiley and Sons , 1987. - P. 136-138. — ISBN 0-471-81518-7 .
AI Khinchin . A statisztikai mechanika matematikai alapjai / Per. G. Gamow . - New York: Dover Publications , 1949. - P. 93-98. - ISBN 0-486-63896-0 .
L. D. Landau , E. M. Lifshitz . Statisztikai fizika, 1. rész - 3. kiadás. - Pergamon Press , 1980. - P. 129-132. — ISBN 0-08-023039-3 .
F. Mandl. Statisztikai fizika . - John Wiley and Sons , 1971. - P. 213-219 . - ISBN 0-471-56658-6 .
F. Mohling. Statisztikai mechanika: módszerek és alkalmazások. - John Wiley and Sons , 1982. - P. 137-139, 270-273, 280, 285-292. — ISBN 0-470-27340-2 .
RK Patria. Statisztikai mechanika. - Pergamon Press , 1972. - P. 43-48, 73-74. — ISBN 0-08-016747-0 .
W. Pauli . Pauli Fizikai előadások: 4. kötet. Statisztikai mechanika. - MIT Press , 1973. - P. 27-40. — ISBN 0-262-16049-8 .
R. C. Tolman . Statisztikai mechanika, fizika és kémia alkalmazásaival. - Chemical Catalog Company , 1927. - P. 72-81.
R. C. Tolman . A statisztikai mechanika alapelvei. - New York: Dover Publications , 1938. - P. 93-98. - ISBN 0-486-63896-0 .

Linkek

Kisalkalmazás archiválva 2020. augusztus 6-án a Wayback Machine -nél , bemutatva az egy- és kétatomos gázok keverékének valós idejű egyenlítési törvényét
Az ekvipartíciós tétel a csillagfizikában , amelyet Nir J. Shaviv, a Jeruzsálemi Héber Egyetem Racah Fizikai Intézetének docense írt .