Maxwell eloszlás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. augusztus 11-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A Maxwell-eloszlás számos valószínűségi eloszlás általános neve, amelyek leírják az ideális gázrészecskék paramétereinek statisztikai viselkedését . A megfelelő valószínűségi sűrűségfüggvény formáját az határozza meg, hogy milyen mennyiség: részecskesebesség , sebességprojekció , sebességmodulus, energia , impulzus stb. - folyamatos valószínűségi változóként működik . Egyes esetekben a Maxwell-eloszlás kifejezhető diszkrét eloszlásként az energiaszintek halmazán.

A legjelentősebb Maxwell-eloszlást a részecskesebesség-modulusra írják fel folytonos esetben, és a sűrűsége: $v$

f_{v}(x)=Bx^{2}\exp \left[-\beta x^{2}\right]\,\,(x\geq 0)

és

f_{v}(x)=0\,\,(x<0),

ahol formális változó, a faktort a részecskék típusa és a hőmérséklet határozza meg, és a faktort ennek függvényében választjuk ki a normalizálás érdekében. Ezt a kifejezést tekintik Maxwell-eloszlásnak a matematikában, bár más részecskeparaméterek esetében a Maxwell-eloszlás analitikai formája más lesz. $x$ $\beta>0$ $B$ $\beta$

A Maxwell-eloszlás a gázok kinetikai elméletének alapja , amely megmagyarázza a gázok számos alapvető tulajdonságát, beleértve a nyomást és a diffúziót . A gázmolekulák átlagos és legvalószínűbb sebességének és energiáinak kiszámítására szolgál. Alkalmas továbbá az elektronikus szállítási folyamatok és egyéb fizika és kémia jelenségeinek leírására . A Maxwell-eloszlást statisztikai mechanika segítségével kaphatjuk meg (lásd a partíciófüggvény eredetét ). Ez az eloszlás a vizsgált paraméter legnagyobb valószínűségi eloszlása.

A Maxwell disztribúció hatóköre

A leírt rendszer követelményei, példák

A Maxwell-eloszlás egy adott rendszerre való alkalmazhatóságának kérdése egyenértékű azzal a kérdéssel, hogy ez a rendszer kellő pontossággal ideális gáznak tekinthető-e. Ugyanakkor a rendszernek kell

nagyszámú részecskéből áll, és termodinamikai egyensúlyban van ;
izotróp legyen ;
legyen klasszikus , azaz a relativisztikus és kvantumhatásoknak kicsiknek kell lenniük;
ütközési domináns legyen (a részecskék kölcsönhatása csak akkor megengedett, ha az csak a részecskék relatív helyzetétől függ, különösen az abszolút rugalmas ütközések megengedettek).

Egy ilyen követelményrendszer normál körülmények között elsősorban gázoknál, például levegőnél teljesül. A Maxwell-eloszlás a gázban lévő egyes molekulák különféle tulajdonságaira vonatkozik. Általában elsősorban a gázban lévő molekulák energiaeloszlásának tekintik, de alkalmazható a sebességek és egyéb molekuláris paraméterek eloszlására is. Leggyakrabban ez egy véletlenszerű paraméter változásának folytonos eloszlása.

Sok esetben azonban az elasztikus ütközések minden más folyamattal szembeni dominanciájának feltétele megközelítőleg sem teljesül. Tehát az ionoszféra és a térplazma fizikájában a rekombinációs és ütközési gerjesztési folyamatok (vagyis a sugárzási folyamatok), különösen az elektronok esetében, nagy jelentőséggel bírnak. A Maxwell-eloszlás alkalmazása ebben az esetben nemcsak mennyiségileg hibás eredményeket adna, hanem a megfelelő folyamatok minőségileg helytelen értelmezéséhez is vezetne.

A klasszikus mérlegelés feltételei

Azokban az esetekben, amikor a gázrészecskék kvantum de Broglie hullámhossza nem kicsi a részecskék távolságához képest, a Maxwell-eloszlástól a kvantumhatások miatt eltérések vannak. Ezért fontos a klasszikus megfontolás alkalmazhatósági határainak kérdése.

A bizonytalansági relációnak (gyakran leegyszerűsítve olyan formában írva, ahol az impulzus koordinátájának és vetületének bizonytalanságai vannak , Planck -állandó ) van egy háromdimenziós analógja az alábbi formában: ahol a részecske lokalizációs zóna jellemző lineáris méretét jelöli. . Ahhoz, hogy a koordináta és az impulzus bizonytalansága ne játsszon szerepet, és a kvantummechanika helyett a klasszikus mechanika alkalmazható legyen, az összefüggést ki kell elégíteni: $\Delta x\cdot \Delta p_{x}\sim h,$ $\Delta x,$ $\Delta p_{x}$ $x$ $h$ $r\cdot p\sim h,$ $r$

V^{1/3}\cdot p\gg h,

ahol az a térfogat, amely átlagosan egy részecskét tesz ki, és egyenlő a gázrészecskék reciprok koncentrációjával . Ha mindkét oldalt négyzetre emeled, a következőt kapod: $V$ $n^{{-1}}$

n^{-{\frac {2}{3))}h^{-2}p^{2}\gg 1.

Ezt figyelembe véve és a mennyiséget mint jellemző energiaértéket a következőhöz jutunk: $p^{2}=2mE$ $(3/2)kT,$

T\gg {\frac {n^{\frac {2}{3}}h^{2}}{3mk}}=T_{deg}\qquad

( a degenerációs hőmérséklet és a részecske tömege ).

{\displaystyle T_{deg))

m

Maxwell-eloszlás alatti hőmérsékleten nem alkalmazható. ${\displaystyle T_{deg))$

Maxwell állapoteloszlása

A Maxwell-eloszlás felírható diszkrét eloszlásként a molekula állapotainak halmazán, a szimbólummal számozva : $én$

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp \left(-E_{i}/kT\right)}{\sum _{j}^{}{\exp \left(-E_{j}/kT\jobb)}}}

Egy molekula th állapotú energiáját és az ilyen molekulák számát jelöli és , a rendszer hőmérséklete, a rendszerben lévő molekulák teljes száma, és a Boltzmann-állandó . (Előfordul, hogy a fenti egyenletet az energiaszintek degeneráltsági fokát jelző tényezővel írjuk fel. Ebben az esetben nem az állapotokat, hanem az energiákat sorolja fel, és az összeg az energiák szerint lesz, nem pedig az államok). Mivel a sebesség az energiához kapcsolódik, az utolsó egyenlet felhasználható a hőmérséklet és a gázban lévő molekulák sebessége közötti összefüggés levezetésére. A nevező kanonikus partíciós függvényként ismert . $E_{i}$ $N_{i}$ $én$ $T$ $N$ $k$ $GI$ $én$

A folyamatos Maxwell-eloszlás változatai

Az ebben a részben bemutatott Maxwell-eloszlások levezetése, ami a modern oktatási irodalom számára természetes, eltér attól a származtatástól, amelyet maga James Clerk Maxwell javasolt, és később Ludwig Boltzmann kevesebb feltevéssel írt le . A történeti következtetést a cikk végén közöljük.

Lendületvektor eloszlás

Nem kölcsönható molekulákból álló ideális gáz esetén az összes energia mozgási energia formájában van jelen. A kinetikus energia a részecske impulzusával függ össze:

E={\frac {p^{2}}{2m}}

ahol az impulzusvektor négyzete , akkor $p^{2}$ $\mathbf {p} =[p_{x},p_{y},p_{z}]$

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_{y }^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\jobbra]

ahol az előző szakaszban szereplő for kifejezés nevezőjének megfelelő megoszlási függvény és a molekula tömege. $Z$ $N_{i}/N$ $m$

Ha az energiaszintek elég sűrűek, akkor a diszkrétség ténye lényegtelenné válik, és feltételezhetjük, hogy az energiák folyamatosan oszlanak el. Ekkor az arány arányos annak a molekulának a valószínűségi sűrűségfüggvényével , amely az impulzuskomponensek ezen értékeivel állapotban van. Ilyen módon: $N_{i}/N$ ${\displaystyle f_{\mathbf {p} ))$

f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\frac {C}{Z))\exp \left[{\frac {-(p_) {x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]

Az állandót a normalizálási feltételből határozzuk meg, amely szerint annak a valószínűsége, hogy a molekuláknak egyáltalán van impulzusa, eggyel egyenlőnek kell lennie. Ezért az integrálnak minden érték felett egyenlőnek kell lennie az egységgel. Meg lehet mutatni, hogy $C$ ${\displaystyle f_{\mathbf {p} ))$ ${\displaystyle p_{x}\,,p_{y))$ $p_{z}$

\iiiint \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{Z}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_ {y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}={\frac {1} {Z}}\left(2\pi mkT\right)^{3/2}

Így ahhoz, hogy az integrál értéke 1 legyen, szükséges, hogy

{\displaystyle C={\frac {Z}{({\sqrt {2\pi mkT)))^{3))))

Ha ezt behelyettesítjük az egyenletbe, és felhasználjuk azt a tényt , hogy: $C$ ${\displaystyle f_{\mathbf {p} ))$ ${\displaystyle p_{i}=mv_{i))$

f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\sqrt {\left({\frac {1}{2\pi mkT))\right )^{3}}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}} \jobb]

Sebességvektor eloszlás

Figyelembe véve, hogy a sebességeloszlás sűrűsége arányos a lendületeloszlás sűrűségével: $f_{\mathbf {v} }$

f_{{\mathbf {v}}}d^{3}v=f_{{\mathbf {p}}}\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{ 3}v

és használatával a következőket kapjuk: $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})={\sqrt {\left({\frac {m}{2\pi kT))\right )^{3}}}\exp \left[{\frac {-m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT} }\jobb]

amely a Maxwell-eloszlás három derékszögű sebességprojekcióra. Annak a valószínűsége, hogy egy részecskét találunk egy végtelenül kicsi elemben a sebesség közelében : ${\displaystyle dv_{x}\,,dv_{y}\,,dv_{z))$ $\mathbf {v} =[v_{x},v_{y},v_{z}]$

{\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)dv_{x}dv_{y}dv_{z))

Sebesség vetületi eloszlás

A sebességvektor Maxwell-eloszlása a három irány mindegyikének eloszlásának szorzata: $[v_{x},v_{y},v_{z}]$

f_{v}\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{ v}(v_{z}),

ahol egyirányú eloszlás:

f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT))}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2)) {2kT}}\jobbra]

Ez az eloszlás normális eloszlású . Ahogy az egy nyugalmi gáz esetében várható, az átlagos sebesség bármely irányban nulla.

Eloszlás modulo momentum

Integrálással megtalálhatjuk az impulzus abszolút nagyságán belüli eloszlást:

f_{p}=\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\phi =0}^{2\pi }~f_{\mathbf {p} }p^{2 }\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi =4\pi {\sqrt {\left({\frac {1}{2\pi mkT}}\right)^{3}}} ~p^{2}\exp \left[{\frac {-p^{2}}{2mkT}}\jobbra].

Energiaelosztás

Végül a és összefüggések felhasználásával megkapjuk a kinetikus energia eloszlását: $p^{2}=2\,mE$ $f_{E}\,dE=f_{p}\,dp$

f_{E}=f_{p}{\frac {dp}{dE}}={\frac {2\pi }{\sqrt {(\pi kT)^{3}}}}{\sqrt {E}}{}~\exp \left[{\frac {-E}{kT}}\jobbra].

Elosztási modulo sebesség

Általában az abszolút érték feletti eloszlás érdekesebb, mint a molekulák sebességének vetületei. Sebességmodulus, definíció szerint $v$

{\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))))

mindig nem negatív. Mivel minden normális eloszlású , lesz egy khi-négyzet eloszlás három szabadságfokkal. Ha a sebességi modulus valószínűségi sűrűségfüggvénye , akkor $v_{i}$ $v^2$ $f(\mathbf {v} )$

f\left(v\right)dv=P(\chi ^{2}|3)d\chi ^{2}

ahol . Így a sebességi modulus valószínűségi sűrűségfüggvénye az $\chi ^{2}=mv^{2}/kT$

f(v)dv=4\pi v^{2}\left({\frac {m}{2\pi kT))\right)^{3/2}\exp \left({\frac {-mv^{2}}{2kT}}\right)dv

A függvény alakja megfelel a preambulumban megadottnak, azzal a különbséggel, hogy ott formális változót használunk a nagyobb matematikai általánosság érdekében. $f(v)$ $x$

Ideális gázmolekulák jellemző sebességei

A for egyenlete megadja a sebességeloszlást, vagy más szóval a meghatározott sebességgel rendelkező molekulák arányát. De más mennyiségek gyakran érdekesebbek. Az alábbiakban meghatározzuk a legvalószínűbb , átlagos és effektív sebességeket. $f(v)dv$

Valószínűleg sebesség

A legvalószínűbb sebesség , , az a sebesség, amelynek valószínűsége a rendszer bármely molekulájának a maximuma, és amely megfelel az eloszlás valószínűségi sűrűségének maximális értékének (tehát ennek az eloszlásnak a módusának ). Ennek megtalálásához ki kell számítani , nullával egyenlőnek kell lennie, és meg kell oldania : $v_p$ $f(v)$ $df/dv$ $v$

{\frac {df(v)}{dv}}=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-mv^ {2}/2kT\jobb)\bal[8\pi v+4\pi v^{2}(-mv/kT)\jobb]=0

{\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {2kT}{m))}={\sqrt {\frac {2RT}{\mu ))))

ahol a vizsgált részecske tömege, a moláris tömege . $m$ $\mu$

Átlagsebesség

\langle v\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv

Helyettesítve és integrálva kapjuk $f(v)$

{\displaystyle \langle v\rangle ={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m))}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi \mu ))))

RMS sebesség

\langle v'^{2}\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv

Behelyettesítve és integrálva a következőket kapjuk: $f(v)$

{\sqrt {\langle v'^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{\mu }}}

A Maxwell-eloszlás történeti levezetése

Most kapjuk meg az eloszlási képletet ugyanúgy, mint maga Maxwell [1] [2] .

Tekintsük a sebességpontok terét (a molekula minden sebességét pontként (sebességpontként) ábrázoljuk a koordinátarendszerben a gáz stacionárius állapotában . Válasszunk egy végtelenül kicsi térfogatelemet . Mivel a gáz álló helyzetben van, a A sebességi pontok időben változatlanok maradnak, a sebességtér izotróp , ezért a függvények a valószínűségi sűrűségek minden irányban azonosak. ${\displaystyle Ov_{x}v_{y}v_{z))$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$

dP(v_{x})=\varphi (v_{x})dv_{x}\qquad dP(v_{y})=\varphi (v_{y})dv_{y}\qquad dP(v_ {z})=\varphi (v_{z})dv_{z}

Maxwell azt javasolta, hogy a sebességek iránybeli eloszlása statisztikailag független, vagyis a molekula sebességkomponense nem függ a - és - komponensektől. ${\displaystyle v_{x))$ $y$ $z$

dP(v_{x},v_{y},v_{z})=\underbrace {\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})} _ {f(v)}dv_{x}dv_{y}dv_{z}

- valójában egy nagy sebességű pont megtalálásának valószínűsége a kötetben .

{\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))

f(v)=\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})

{\displaystyle \ln f(v)=\ln \varphi (v_{x})+\ln \varphi (v_{y})+\ln \varphi (v_{z})\quad {\bigg |}\ quad {\frac {\partial }{\partial v_{x))))

{\frac {f'(v)}{f(v)}}{\frac {\partial v}{\partial v_{x}}}={\frac {\varphi '(v_{x} )}{\varphi (v_{x})))

{\frac {\partial v}{\partial v_{x}}}={\frac {v_{x}}{v}}

{\frac {1}{v}}{\frac {f'(v)}{f(v)))={\frac {1}{v_{x}}}{\frac {\varphi '(v_{x})}{\varphi (v_{x})}}

A jobb oldal nem függ és -től, így a bal oldal sem függ a és -től. Azonban a és egyenlőek, ezért a bal oldal nem függ a -tól . Tehát ez a kifejezés csak valamilyen állandóval lehet egyenlő. $v_{y}$ $v_{z}$ $v_{y}$ $v_{z}$ $v_{x}$ $v_{y}$ $v_{x}$

{\frac {1}{v}}{\frac {f'(v)}{f(v)))=-\alpha

{\displaystyle {\frac {\varphi '(v_{x})}{\varphi (v_{x)))))=-\alpha v_{x))

\varphi (v_{x})=Ae^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (v_{x})\,dv_{x}=1\qquad \Rightarrow \qquad A\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}=A\,{\sqrt {\frac {2 }{\alpha }}}\,{\sqrt {\pi }}=1\qquad \Rightarrow \qquad A={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}

\varphi (v_{x})={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}} {2}}}

Most meg kell tennie egy alapvető lépést - adja meg a hőmérsékletet. A hőmérséklet kinetikai meghatározása (mint a molekulák mozgásának átlagos kinetikus energiájának mértéke):

\left\langle {\frac {mv^{2}}{2}}\right\rangle ={\frac {3}{2}}kT,

ahol J/K Boltzmann állandója . $k=1{,}380649\cdot 10^{-23}$

v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))}.

Minden irány egyenlőségére tekintettel:

\langle v_{x}^{2}\rangle =\langle v_{y}^{2}\rangle =\langle v_{z}^{2}\rangle ={\frac {1}{3 }}\langle v^{2}\rangle ={\frac {kT}{m}}.

Az átlagérték meghatározásához integráljuk a valószínűségi sűrűségfüggvénnyel mínusztól plusz végtelenig: ${\displaystyle v_{x}^{2))$

{\frac {kT}{m}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{v_{x}}^{2}\,\varphi (v_{x})\ ,dv_{x}={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }v_{x}^{2}\, e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}=

\qquad ={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\left[-2\,{\frac {d}{d\alpha }}\,\int \limits _{ -\infty }^{\infty }e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}\right]=-2\,{ \sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\,{\frac {\delta }{\delta \alpha }}{\sqrt {\frac {2\pi }{\alpha }}}= -2{\sqrt {\alpha }}(-{\frac {1}{2}}\alpha ^{-{\frac {3}{2}}})={\frac {1}{\alpha } }.

Innen találjuk : $\alpha$

\alpha ={\frac {m}{kT)).

Valószínűség-sűrűség-eloszlási függvény ehhez ( és ehhez hasonlóan): ${\displaystyle v_{x))$ ${\displaystyle v_{y))$ $v_{z}$

\varphi (v_{x})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {1}{2}}\,e^{-{\ frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}}.

Most nézzük a sebességeloszlást. Térjünk vissza a sebességpontok teréhez. Minden sebesség modulusú pont egy sugarú és vastagságú gömbrétegben található , és ennek a gömbrétegnek a térfogata. $v\subset [v;v+dv]$ $v$ $dv$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$

dP(v_{x},v_{y},v_{z})=\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})dv_{x}dv_ {y}dv_{z}

\underbrace {dP(v_{x},v_{y},v_{z})} _{dP(v)}=\left({\frac {m}{2\pi kT))\right )^{\frac {3}{2}}\,e^{-{\frac {mv_{x}^{2}+mv_{y}^{2}+mv_{z}^{2}}{ 2kT}}}\underbrace {dv_{x}dv_{y}dv_{z}} _{4\pi v^{2}dv}

dP(v)=\underbrace {4\pi \,\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {3}{2}}\,v^ {2}\,e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}} _{F(v)}dv

Így megkaptuk a valószínűségi sűrűségfüggvényt , amely a Maxwell-eloszlás. $F(v)$

Lásd még

Jegyzetek

↑ betanítás. Karavaev V. A. - Molekuláris fizika - A binomiális eloszlás korlátozó esetei (2017. július 26.). Letöltve: 2019. március 3. (határozatlan)
↑ betanítás. Karavaev V. A. - Molekuláris fizika - Maxwell-eloszlás (2017. július 26.). Letöltve: 2019. március 3. (határozatlan)

Linkek

http://www.falstad.com/gas/