Az állapotok sűrűsége

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. június 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 9 szerkesztést igényelnek .

Az állapotsűrűség egy olyan mennyiség, amely háromdimenziós esetben (kétdimenziós esetben egységnyi területen) határozza meg az egységnyi energiaintervallumban térfogategységenkénti energiaszintek számát. Fontos paraméter a statisztikai és szilárdtestfizikában . A kifejezés alkalmazható fotonokra, elektronokra, szilárd testben lévő kvázi részecskékre stb. Csak egyrészecskés problémákra, azaz olyan rendszerekre használják, ahol a kölcsönhatás elhanyagolható (nem kölcsönható részecskék) vagy hozzáadható kölcsönhatás perturbációként (ez az állapotsűrűség módosulásához vezet) .

Definíció

Egy részecske állapotsűrűségének (az állapotok száma egységnyi energiaintervallumban) kiszámításához először a reciprok térben (impulzus vagy -tér) találjuk meg az állapotsűrűséget. Az állapotok közötti "távolságot" a peremfeltételek határozzák meg . Egy régióban lévő szabad elektronok és fotonok, illetve a rácsméretű kristályrács elektronjai esetében a Born-von Karman periodikus peremfeltételeket használjuk a hullámfüggvényhez : . Egy szabad részecske hullámfüggvényével megkapjuk az összefüggéseket $k$ ${\displaystyle 0<x<L_{x))$ ${\displaystyle L_{x))$ $\psi (x)=\psi (x+L_{x})$ $\psi (x)={\mbox{const}}\cdot e^{ikx}$

2\pi N=kL_{x}\qquad {\frac {2\pi }{L_{x}}}=\Delta k

ahol tetszőleges egész szám és a különböző állapotú állapotok közötti távolság . Hasonló összefüggések érvényesek más derékszögű koordinátákra is ( , ). $N$ $\Delta k$ $k$ $y$ $z$

A részecske számára elérhető -állapotok teljes száma a rendelkezésére álló -tér mennyisége osztva az egy állapot által elfoglalt -tér mennyiségével. A rendelkezésre álló kötet egyszerűen a -tól ig integrált . $k$ $k$ $k$ $0$ $k$

A -tér térfogata egy állapothoz -dimenziós esetben úgy írható fel $k$ $n$

G(k)={\frac {g_{s}}{\left({\Delta k}\right)^{n}}}\int \limits _{0}^{k}\,{d^{ n}{{\mathbf {k}}}},

ahol a szint degeneráltsága (általában ez a 2-vel egyenlő spin-degeneráció). Ezt a kifejezést meg kell különböztetni, hogy megtaláljuk az állapotok sűrűségét a -térben: . Az állapotok energiasűrűségének meghatározásához ismernünk kell a részecske diszperziós törvényét, azaz kifejezni és kifejezésekkel és kifejezésekkel . Például egy szabad elektronhoz: $g_s$ $k$ $g(k)\,dk={\frac {dG(k)}{dk))\,dk$ $k$ $dk$ $g(k)dk$ $E$ $dE$ $E={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}$ $dE={\frac {\hbar ^{2}k}{m}}\,dk.$

Egy általánosabb definícióhoz kapcsolódik a reláció

D(E)=\sum _{s}~\delta (E-E_{s})

(általában egységnyi térfogatot jelentenek, de az általános írásmódhoz hozzáadunk egy szorzót ), ahol az index a diszkrét vagy folytonos spektrum valamely állapotának felel meg, és egy delta függvény . Amikor a dimenziók fázisterén az összegzésről az integrációra térünk át , a szabályt kell használni $1/V$ $s$ $\delta$ $2n$

{\displaystyle \sum _{s}\rightarrow \int {\frac {d^{n}p~d^{n}q}{(2\pi \hbar )^{n))))

ahol a Planck -állandó , az impulzus, a térbeli koordináták (ha a térfogat egység, ez az integrál kimarad). $\hbar$ $p$ $q$

Példák

A táblázat az elektronok állapotainak sűrűségére vonatkozó kifejezéseket tartalmazza parabolikus diszperziós törvény szerint :

	Rendelkezésre álló kötet	Kötet egy államhoz	Az állapotok sűrűsége
$3D$	${\frac {4}{3}}\pi k^{3}$	${\frac {(2\pi )^{3}}{L_{x}L_{y}L_{z}}}$	${\frac {{\sqrt {2m^{3}}}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}{\sqrt {E}}$
$2D$	$\pi k^{2}$	${\frac {(2\pi )^{2}}{L_{x}L_{y}}}$	${\frac {m}{\pi \hbar ^{2}L_{z))}\sum _{l}\Theta (E-E_{l})$
$1D$	$2k$	${\frac {2\pi }{L_{x}}}$	${\frac {\sqrt {2m}}{\pi \hbar L_{y}L_{z}}}\sum _{l}{\frac {1}{\sqrt {E-E_{l} }}}$
$0D$			${\frac {2}{L_{x}L_{y}L_{z}}}\sum _{l}\delta (E-E_{l})$

ahol a méret kvantálási részsáv indexe, a Heaviside függvény . A képletek azt az esetet írják le, amikor a kvantálás egy vagy több irányban valamilyen korlátozó potenciállal társul. $l$ $\Theta$

A jobb szélső oszlopban megadott összes képlet mérete J -1 m -3 , és a szerkezet "valamilyen kifejezés osztva a kvantálási tartomány lineáris dimenzióinak szorzatával" - ezekből a dimenziókból annyi van, mint a mozgás a koordináták mentén korlátozott. Ha nem történik ilyen felosztás (minden eltávolítása ), akkor az [ ] = J -1 m -3 , J -1 m -2 , J -1 m -1 és J -1 méretben marad , kétdimenziós (2D), egydimenziós (1D) és nulla dimenziós (0D) esetek. Az "állapotok sűrűsége" a szövegkörnyezettől függően nemcsak , hanem . $D(E)$ $\rho (E)$ $L$ $\rho (E)$ $\rho$ $D(E)$ $\rho (E)$

Használat

Az állapotsűrűség az ismert energiaeloszlású részecskék koncentrációjának kiszámítására szolgáló kifejezésekben jelenik meg. A fermionok esetében, amelyek elektronok, egyensúlyi körülmények között ez az eloszlás megfelel a Fermi-Dirac statisztikának , a bozonok esetében, beleértve a fotonokat is, a Bose-Einstein statisztikának .

Tegyük fel , hogy az egyensúlyi állapotban lévő félvezető vezetési sávjában ( vegyértéksávban ) lévő elektronok ( lyukak ) koncentrációját a következőképpen számítjuk ki

n=\int \limits _{E_{c}}^{+\infty }\rho (E)F(E)\,dE,\quad p=\int \limits _{-\infty }^ {E_{v}}\rho (E)(1-F(E))\,dE

ahol a Fermi-függvény, ( ) a vezetési sáv alsó részének ( a vegyértéksáv tetejének ) energiája . Ahogy itt is, a megfelelő méretű objektum képletét kell helyettesíteni: az anyag vastagságára (és akkor a koncentrációk m -3 -ban lesznek ), a kvantumkútra (és akkor megkapjuk a koncentrációt m-ben - 2 ), a kvantumhuzalra (m -1 -ben kapjuk a koncentrációt ) vagy ( kvantumpont esetén nem a koncentrációt, hanem a részecskék számát kapjuk). $F$ $E_{c}$ $E_{v}$ $\rho$ ${\displaystyle \rho _{3D))$ $\rho _{2D}$ $\rho _{1D}$ $\rho _{0D}$

Külső linkek

Britney Spears Útmutatója a félvezető fizikához archiválva : 2011. május 14. a Wayback Machine -nél