Wien eltolási törvénye

A Wien-féle eltolási törvény egy fizikai törvény, amely megállapítja annak a hullámhossznak a függőségét a fekete test hőmérsékletétől , amelynél a fekete test sugárzási fluxusának spektrális sűrűsége eléri a maximumot .

Wilhelm Wien először 1893 -ban vezette le ezt a törvényt a termodinamika törvényeinek elektromágneses sugárzásra történő alkalmazásával . Kísérletileg megfigyeltük az intenzitáscsúcs megfelelő eltolódását a hőmérséklet függvényében. Jelenleg a Wien-féle eltolási törvény matematikailag levezethető a Planck-törvényből .

A bécsi eltolási törvény általános nézete

A törvényt a képlet fejezi ki

\lambda _{\text{max}}=b/T,

ahol a maximális intenzitású sugárzás hullámhossza és a hőmérséklet. Az együtthatót (ahol c a fény sebessége vákuumban , h Planck - állandó , k Boltzmann - állandója , α ≈ 4,965114… egy állandó, az egyenlet gyöke ), az úgynevezett Wien-állandó a nemzetközi rendszerben Egységek (SI) értéke 0,002898 m K. _ _ $\lambda _{\text{max))$ $T$ $b={\frac {ch}{k\alpha ))$ ${\displaystyle \alpha /5=1-e^{-\alpha ))$

A fény frekvenciájára ( hertzben ) a Wien-féle eltolási törvény alakja van $\nu$

\nu _{\text{max}}={\frac {\alpha }{h}}kT\kb. 5{,}879\szer 10^{10}\cdot T,

ahol α ≈ 2,821439… egy állandó érték (az egyenlet gyöke ), k a Boltzmann -állandó , h a Planck -állandó , T a hőmérséklet ( kelvinben ). $\alpha /3=1-e^{-\alpha }$

A numerikus állandók különbsége itt a sugárzás hullámhosszára és frekvenciájára felírt Planck-eloszlás exponenseinek különbségéből adódik: az egyik esetben - -be lép be , a másik esetben - . Ez a különbség pedig a frekvencia és a hullámhossz közötti kapcsolat nemlinearitásából adódik: $\lambda ^{-5}$ ${\displaystyle \omega ^{3}\sim \lambda ^{-3))$

\omega ={\frac {2\pi c}{\lambda )),\quad {\frac {d}{d\omega ))=-{\frac {\lambda ^{2)){2 \pi c}}{\frac {d}{d\lambda }}.

A törvény levezetése

Következtetésként használhatja a Planck-féle sugárzási törvény kifejezését egy abszolút fekete test emissziós tényezőjére, hullámhosszakra írva : $\varepsilon _{\lambda }(\lambda ,T)$

\varepsilon _{\lambda }={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}- egy}}.

Ahhoz, hogy megtaláljuk ennek a függvénynek a hullámhossztól függő szélsőértékét , meg kell különböztetni, és a deriváltot nullával kell egyenlővé tenni : $\lambda$

{\frac {\partial \varepsilon _{\lambda }}{\partial \lambda }}={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{6}}}{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}\left({\frac {hc}{kT\lambda }}{\frac {e^{hc/\lambda kT}}{\left( e^{hc/\lambda kT}-1\jobbra)}}-5\jobbra)=0.

Ebből a képletből azonnal megállapítható, hogy a derivált mikor vagy mikor közelíti meg a nullát , ami igaz -ra . Azonban mindkét eset megadja a Planck-függvény minimumát , amely eléri a nullát az adott hullámhosszon (lásd a fenti ábrát). Ezért az elemzést csak a harmadik lehetséges esettel kell folytatni, amikor $\lambda \to \infty$ $e^{hc/\lambda kT}\to \infty$ $\lambda \0-ra$ $B(\lambda)$

{\frac {hc}{kT\lambda }}{\frac {e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)))- 5=0.

A változók változásával ez az egyenlet formára alakítható $x={\frac {hc}{kT\lambda ))$

{\frac {xe^{x}}{e^{x}-1}}-5=0.

Ennek az egyenletnek a numerikus megoldása [1]

x=4{,}965114231744276\ldots

Így a változók változásával és a Planck-állandók , Boltzmann és a fénysebesség értékeivel meghatározhatjuk azt a hullámhosszt, amelynél a fekete test sugárzási intenzitása eléri a maximumot:

\lambda _{\text{max}}={\frac {hc}{x}}{\frac {1}{kT}}={\frac {2{,}89776829\ldots \times 10^ {-3}}{T}},

ahol a hőmérséklet kelvinben és méterben van megadva . $\lambda _{\text{max))$

Példák

A bécsi eltolási törvény szerint egy emberi testhőmérsékletű fekete test (~310 K ) maximális hősugárzással rendelkezik körülbelül 10 µm hullámhosszon , ami megfelel a spektrum infravörös tartományának.

Az ereklye sugárzás effektív hőmérséklete 2,7 K , maximumát 1 mm -es hullámhosszon éri el . Ennek megfelelően ez a hullámhossz már a rádiótartományhoz tartozik .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Egy egyenlet megoldása nem fejezhető ki elemi függvényekkel. Pontos megoldását a Lambert W-függvény segítségével találhatjuk meg , de ebben az esetben elegendő egy közelítő megoldást használni. ${\frac {xe^{x}}{e^{x}-1}}=n$

Linkek

A fizika világa – Eric Weistein
Soffer, BH; Lynch, DK Néhány paradoxon, hiba és megoldás az emberi látás spektrális optimalizálásával kapcsolatban // American Journal of Physics : folyóirat. - 1999. - 1. évf. 67 , sz. 11 . - P. 946-953 . - doi : 10,1119/1,19170 . — .
Heald, MA Hol van a "bécsi csúcs"? (angol) // American Journal of Physics . - 2003. - 1. évf. 71 , sz. 12 . - P. 1322-1323 . - doi : 10,1119/1,1604387 . - .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy norvég