Pont (geometria)

A pont az egyik alapvető ( nem definiált ) matematikai objektum , amelynek tulajdonságait egy axiómarendszer adja meg . Szigorúan nem lehetséges egy pontot a megfelelő matematikai tér oszthatatlan elemeként ábrázolni , amelyet a geometria , a matematikai elemzés és a matematika más ágai határoznak meg [1] .

Ugyanakkor a matematika különböző szakaszaiban a pont fogalma eltérő lehet. A koordinátarendszerű terekben egy pontot a koordinátáinak halmaza ad meg, és általában azzal azonosítják. A pont fogalmát azonban koordinátarendszer nélküli terekben is használják (például a topológiában vagy a gráfelméletben ) [1] .

A geometriai pontoknak általában nincs mérhető jellemzője ( hossz , terület , térfogat stb.), kivéve a koordinátákat. A matematika bizonyos területein bizonyos típusok különleges tulajdonságokkal és elnevezésekkel rendelkezhetnek - például szinguláris pontok , határpontok , kritikus pontok stb. [1] A fizikában bevezetik az anyagi pont fogalmát , amelyhez bizonyos értéket rendelnek. tömeg- és dinamikai jellemzők (sebesség, gyorsulás stb.).

Pont az euklideszi geometriában

Eukleidész első axiómája Principiájában a pontot úgy határozta meg, mint "részek nélküli tárgyat". Az euklideszi geometria modern axiomatikájában a pont egy elsődleges fogalom , amelyet csak tulajdonságainak listája – axiómái – határoz meg .

A választott koordinátarendszerben a kétdimenziós euklideszi tér bármely pontja ábrázolható valós számok rendezett párjaként ( x ; y ) . Hasonlóképpen, egy n - dimenziós euklideszi térben (vagy vektorban vagy affin térben) egy pont ábrázolható n számból álló sorként ( a 1 , a 2 , … , a n ) .

Az euklideszi geometriában sok objektum végtelen számú pontból áll, amelyek megfelelnek bizonyos axiómáknak. Például egy egyenes egy végtelen alakú ponthalmaz , ahol c 1 ... c n és d állandók, n pedig a tér mérete. Vannak hasonló szerkezetek, amelyek síkot , vonalszakaszt és más kapcsolódó fogalmakat határoznak meg. A csak egy pontból álló szakaszt degenerált szakasznak nevezzük . $\scriptstyle {L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+.. .a_{n}c_{n}=d\rbrace }$

A pontok és a pontokhoz kapcsolódó objektumok meghatározása mellett Eukleidész azt a kulcsgondolatot is feltételezte, hogy bármely két pont összeköthető egyenes vonallal. Ez lehetővé tette szinte az összes akkoriban ismert geometriai fogalom megalkotását. Eukleidész pont-posztulátuma azonban nem volt sem teljes, sem végleges, és olyan rendelkezéseket is tartalmazott, amelyek nem következtek közvetlenül az axiómáiból, mint például a pontok sorrendje egy egyenesen vagy bizonyos pontok létezése. Az Euclid rendszer modern kiterjesztései kiküszöbölik ezeket a hiányosságokat.

Pont méret

A dimenzió minden általános definíciójában egy pont nulldimenziós objektum, de a különböző dimenziókoncepciókban eltérően írják le.

Vektor tér

A vektortér dimenziója egy lineárisan független részhalmaz maximális mérete . Egy egyetlen pontból álló vektortérben (amelynek nulla vektornak kell lennie) nincs lineárisan független részhalmaz. Maga a nulla vektor nem lineárisan független, mivel van egy nem triviális lineáris kombináció, amely nullává teszi: . $1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$

Topológiai dimenzió

Az X topológiai tér topológiai dimenzióját úgy definiáljuk, mint n minimális értékét úgy, hogy X minden véges nyitott fedője beengedi X véges nyitott fedelét , amely finomítja , és amelyben egyetlen pont sem szerepel n + 1 elemnél több elemben. Ha nem létezik ilyen minimum n, akkor a térnek végtelen fedődimenziója van. $\mathcal{A}$ ${\mathcal {B}}$ $\mathcal{A}$

A pont a burkolat méretéhez képest nulla dimenziós , mivel a tér minden nyitott fedelének van egy nyitott halmazból álló finomítása.

Hausdorff dimenzió

Legyen X metrikus tér . Ha S ⊂ X és d ∈ [0, ∞, akkor a Hausdorff-halmaz az S d-dimenziós térben annak a δ ≥ 0 számhalmaznak az infimuma , amelyre létezik valamilyen (indexelt) metrikahalmaz, amely lefedi S -t r -vel. i > 0 minden i ∈ I kielégítésére . $\{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}$ $\sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta$

Az X metrikus tér Hausdorff-dimenzióját a következőképpen határozzuk meg

\operátornév {dim} _{\operátornév {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.

Egy pont Hausdorff-dimenziója 0, mert egyetlen tetszőlegesen kis sugarú gömb lefedhető.

Geometria pontok nélkül

A pont fogalma alapvető a geometria és topológia legtöbb területén, de vannak olyan matematikai fogalmak, amelyek elvileg elutasítják a pont fogalmát, például a nem kommutatív geometria és az értelmetlen topológia . Ezekben a megközelítésekben a "pontok nélküli teret" nem halmazként határozzák meg , hanem valamilyen (algebrai vagy logikai) struktúrán keresztül, amely úgy néz ki, mint egy jól ismert funkcionális tér egy halmazon: a folytonos leképezések algebrája vagy a halmazok algebra. , ill. Pontosabban, az ilyen struktúrák általánosítanak ismert függvénytereket oly módon, hogy a "vesz értéket ezen a ponton" művelet esetleg nem definiálható. Az ilyen struktúrákról szóló tanulmányokat Alfred Whitehead egyes írásai tartalmazzák .

Ponttömeg és a Dirac delta függvény

A fizika és a matematika számos elmélete esetében hasznos olyan absztrakt objektumot pontként használni, amelynek tömege vagy töltése nem nulla (ez különösen gyakori a klasszikus elektrodinamikában , ahol az elektronokat pontként ábrázolják nem -nulla töltés). A Dirac delta függvény vagy δ-függvény nem egy valós változó függvénye, hanem általánosított függvényként definiálható : folytonos lineáris függvény a differenciálható függvények terén. Nem egyenlő nullával csak azon a ponton, ahol végtelenné válik oly módon [2] , hogy bármely szomszédság feletti integrálja egyenlő legyen 1-gyel. A delta függvény fizikai értelmezése egy idealizált ponttömeg vagy ponttöltés [ 3]. . Ezt a funkciót Paul Dirac angol elméleti fizikus vezette be . A jelfeldolgozás során gyakran nevezik egyetlen impulzusszimbólumnak (vagy funkciónak) [4] . A Dirac δ-függvény diszkrét analógja a Kronecker szimbólum , amelyet általában véges tartományban határoznak meg, és a 0 és 1 értékeket veszi fel. $x=0$ $x=0$

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 3 pont // Matematikai enciklopédikus szótár . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1988. - S. 585 . — 847 p.
↑ Weisstein, Eric W. Delta függvény a Wolfram MathWorld webhelyén .
↑ Arfken és Weber, 2000 , p. 84
↑ Bracewell, 1986 , 5. fejezet

Irodalom

Arfken, G. B. & Weber, H. J. (2000), Mathematical Methods for Physicists (5. kiadás), Boston, Massachusetts: Academic Press , ISBN 978-0-12-059825-0 .
Bracewell, R. N. (1986), The Fourier Transform and Its Applications (2. kiadás), McGraw-Hill .
Clarke, Bowman , 1985, Individuals and Points, Notre Dame Journal of Formal Logic 26 : 61-75.
Gerla, G. , 1995, Pointless Geometries in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and Funds . Észak-Hollandia: 1015-31.
Whitehead, A.N. , 1920. The Concept of Nature . Cambridge Univ. Nyomja meg. 2004-es puhakötésű, Prometheus Books. Lévén az 1919-es Tarner-előadások a Trinity College -ban .

Linkek

Pont (angolul) a PlanetMath weboldalán .
Weisstein, Eric W. Point (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .
A pont meghatározása
Pontdefiníciós oldalak

Tematikus oldalak	FMA
Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy norvég Nagy orosz
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4298379-4