Geometriai átlag

Több pozitív valós szám geometriai közepe olyan szám, amely helyettesítheti ezeket a számokat úgy, hogy a szorzatuk nem változik. Formálisabban:

G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\sqrt[ {n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n))}=\left( \prod _{{i=1}}^{n}x_{i}\right)^{{1/n}}

Két szám mértani középértékét arányos középértéküknek is nevezik [1] , mert két szám mértani közepe és a következő tulajdonsággal rendelkezik: , azaz a mértani közép ugyanúgy kapcsolódik az első számhoz, mint a második szám. a geometriai átlaghoz tartozik. $g$ $a_{1}$ $a_{2}$ ${\frac {a_{1}}{g}}={\frac {g}{a_{2}}}$

Tulajdonságok

Csakúgy, mint bármely más átlag , a geometriai átlag az összes szám minimuma és maximuma között van:

\operátornév {min} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\ leqslant \operatorname {max} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

Két szám geometriai átlaga ezeknek a számoknak a számtani-harmonikus átlaga, azaz egyenlő két sorozat határával: $a=A_{0},b=G_{0}$

A_{i}={\frac {A_{i-1}+G_{i-1}}{2)),\quad G_{i}={\sqrt {A_{i-1}G_{ i-1}}}.

Két szám mértani közepe megegyezik számtani és harmonikus átlaguk geometriai átlagával [2] .

Geometriai súlyozott átlag

Valós súllyal rendelkező valós számok halmazának geometriai súlyozott átlagát a következőképpen definiáljuk $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$

{\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i= 1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\;\sum _{ i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\jobbra).

Abban az esetben, ha minden súly egyenlő, a súlyozott geometriai átlag egyenlő a geometriai átlaggal.

Geometriában

Egy derékszögű háromszögnek a befogóra esett magassága a lábak hipotenuszon lévő vetületei közötti átlagos arányos , és az egyes lábak átlagosan arányosak a hipotenususon és a hipotenuszon lévő vetületei között.

Ez geometriai módot ad két (hosszúságú) szakasz geometriai átlagának megszerkesztésére: e két szakasz összegére, mint egy átmérőre, kört kell építeni , majd vissza kell állítani a magasságot a csatlakozási ponttól a metszéspontig. a kör adja meg a kívánt értéket.

A gömb horizontjától való távolság a gömb legközelebbi pontja és a gömb legtávolabbi pontja közötti távolság mértani átlaga.

Általánosítások

A geometriai átlag tekinthető az átlagos kitevők határának . $A_{g}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[ {g}]{\frac {x_{1}^{g}+\ldots +x_{n}^{g }}{n}}}$ $g\ to 0$
A geometriai átlag a Kolmogorov-átlag -nál . $\phi (x)=\ln x$

Jegyzetek

↑ "Arányos átlag". - cikk a Great Soviet Encyclopedia- ból .
↑ Rowe S. Geometriai gyakorlatok egy darab papírral . - 2. kiadás - Odessza: Matesis, 1923. 2020. augusztus 13-i archivált példány a Wayback Machine -nél

Lásd még

Átlagos
Matematika	Teljesítmény átlag ( súlyozott ) harmonikus átlag súlyozott geometriai átlag súlyozott Átlagos súlyozott négyzetes közép Átlagos köbméter mozgóátlag Számtani-geometriai átlag Funkció Átlag Kolmogorov jelentése
Geometria	geometriai középpont Barycenter
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika	Winsorizált átlag minta átlag Várható érték Középső Divat szórás Csonka átlag Feltételes elvárás
Információs technológia	Medoid k-medián módszer
Tételek	Első átlagtétel Második átlagtétel Egyenlőtlenség a számtani, geometriai és harmonikus átlagról
Egyéb	Elosztóközpont mérőszámai