Simson egyenes

A Simson -vonal egy olyan egyenes, amely a merőlegesek alapjain halad át a háromszög oldalaihoz a körülírt kör egy pontjából. Léte Simson tételén alapul .

Simson-tétel

A háromszög körülírt körének tetszőleges pontjából az oldalaira ejtett merőlegesek alapjai vagy kiterjesztéseik ugyanazon az egyenesen fekszenek. Ezt a vonalat Simson - vonalnak nevezik [1] . $P$ $ABC$

A fordított állítás is igaz: ha egy pontból a háromszög oldalaira ejtett merőlegesek alapjai vagy azok kiterjesztései ugyanazon az egyenesen fekszenek, akkor a pont a háromszög körülírt körén fekszik. $P$ $ABC$ $P$

Történelem

Ennek a vonalnak a felfedezését sokáig Robert Simsonnak (1687-1768) tulajdonították, de valójában csak 1797-ben fedezte fel William Wallace skót matematikus . Ezért ennek az egyenesnek a hagyományos elnevezése mellett gyakran használják a történelmileg igazságosabb nevet is: "Wallace egyenes vonala" . [2]

Tulajdonságok

Legyen a háromszög ortocentruma . Ekkor a háromszög körülírt körének tetszőleges pontjának Simson-vonala felezi a szakaszt a kilenc pontból álló körön fekvő pontban . $H$ $ABC$ $P$ $ABC$ $PH$

Ha P és Q pontok a körülírt körön, akkor a P és Q pontok Simson-egyenesei közötti szög egyenlő a PQ ív szögének felével .
- Különösen, ha a körülírt kör 2 pontja átlósan ellentétes, Simson-vonalaik merőlegesek, ebben az esetben 2 merőleges Simson-egyenes metszéspontja is a kilencpontos körön fekszik . Ebben az esetben a Simson 2 merőleges egyenesének kilencpontos körrel a második metszéspontja lesz az utolsó kör átmérőjének vége.

Két adott, azonos körülírt körrel rendelkező háromszög esetén a Simson-féle P pont vonalai közötti szög mindkét háromszög esetében független P -től .

Simson vonala és Morley háromszöge

Pontosan három olyan pont van a háromszög körülírt körében , amelyek Simson-vonala érinti a háromszög Euler-körét , és ezek a pontok szabályos háromszöget alkotnak . Ennek a háromszögnek az oldalai párhuzamosak Morley háromszög oldalaival . $ABC$ $ABC$

Simson vonala és Steiner vonala

A körülírt kör P pontjára szimmetrikus pontok a háromszög oldalaihoz képest ugyanazon az egyenesen fekszenek, amelyek átmennek az ortocentrumon. Ez az egyenes ( a Steiner-vonal ) párhuzamos a Simson-vonallal, és 1/2-es együtthatóval homotizálódik bele.

Simson vonala és Feuerbach pontja

A Feuerbach-pont , azaz a beírt vagy a körvonal érintési pontja a kilenc pontból álló körrel, két Simson-egyenes metszéspontja, amelyeket a körülírt kör átmérőjének a beírt vagy körbeírt kör megfelelő középpontján átmenő végeire szerkesztettek. [3] .
- Konkrétan a Feuerbach-pontok megszerkeszthetők anélkül, hogy használnánk a megfelelő be- vagy körvonalat és az Euler-kört érintőt .

Simson vonala és deltoidja

Egy adott háromszög Simson-vonalcsaládjának burkológörbéje egy deltoid - az úgynevezett Steiner - deltoid .
- Jacob Steiner a deltoidot részleges hipocikloidként fedezte fel , amelyet egy kör tetszőleges rögzített pontja ír le, amely csúszás nélkül gördül a háromszor nagyobb átmérőjű körön belül. És azt a tényt, hogy az összes lehetséges Simson-vonal halmaza, amely egy adott háromszögre rajzolható, delta alakú burokkal rendelkezik, körülbelül 100 évvel ezelőtt fedezte fel, és egyáltalán nem Steiner [4] .

Simson vonala és ortopólusa

Ha az ortopólus a Simson-egyenesen fekszik, akkor a ℓ egyenese merőleges rá [5] .
Ha az ortopólus ℓ egyenese két P és Q pontban metszi a háromszög körülírt körvonalát, akkor maga az ortopólus az utolsó két P és Q pont két Simson-egyenesének metszéspontjában van. [6]
Ha az ortopólus ℓ egyenese a P pont Simson-vonala , akkor a P pontot a Simson-egyenes ℓ pólusának nevezzük [5]

Simson egyenes egyenlete

Ha a háromszöget a komplex síkra helyezzük, tegyük fel, hogy az ABC háromszög be van írva az egységkörbe , és olyan csúcsai vannak, amelyek komplex koordinátái a , b , c , és legyen P komplex p koordinátájú pontja a körön. Ekkor a Simson-vonalat a következő egyenlet írja le z -en : [7] $2abc{\bar {z}}-2pz+p^{2}+(a+b+c)p-(bc+ca+ab)-{\frac {abc}{p}}=0,$

ahol az overbar összetett ragozást jelöl .

Változatok és általánosítások

Egyik legalább 5 oldalú konvex sokszögnek sincs Simson-vonala. [nyolc]
Ha egy háromszög körülírt körének adott pontjából egyeneseket húzunk az oldalaival adott szögben, akkor a kapott három metszéspont egy egyenesen fog feküdni. $P$ $ABC$
Simson egyenese bármely beírt -gonra definiálható indukcióval a következőképpen: Egy pont Simson-vonala egy adott -gonhoz képest az az egyenes, amely tartalmazza a pont vetületeit az összes -gon Simson-vonalaira, amelyet az egyik csúcs eltávolításával kapunk. a -gon. $n$ $P$ $n$ $P$ $(n-1)$ $n$
Lazac tétele
Poder-háromszög - olyan háromszög, amelynek csúcsai a háromszög oldalaira ejtett merőlegesek alapjai; Abban az esetben, ha a pont a körülírt körön fekszik, a szubdermális háromszög degenerálódik, csúcsai pedig a Simson-egyenesen helyezkednek el.

Legyen ABC háromszög, és a ℓ egyenes (az ábrán zöld) menjen át a körülírt kör X 3 középpontján, és legyen a körön a P pont . Az AP, BP, CP metsze a ℓ egyenest az A p , B p , C p pontokban . Legyen A 0 , B 0 , C 0 az A p , B p , C p pontok vetületei a BC, CA, AB egyenesekre . Ekkor 3 A 0 , B 0 , C 0 pont kollineáris pont , azaz egy egyenesen fekszik. Ezenkívül a rajtuk áthaladó egyenes egyidejűleg átmegy a PH szakasz felezőpontján , ahol H az ABC háromszög ortocentruma . Ha ℓ átmegy P -n , akkor az egyenes egybeesik Simson egyenesével. [9] [10] [11]

Példák

A háromszög Steiner-pontjának Simson-vonala párhuzamos az egyenessel , a Tarry-pont Simson-vonala pedig merőleges arra az egyenesre , ahol a körülírt kör középpontja és három szimmedián metszéspontja ( Lemoine-pont ) a háromszögből . $ABC$ $rendben$ $rendben$ $O$ $K$ $ABC$

Jegyzetek

↑ Coxeter G. S. M., Greitzer S. P. Új találkozások a geometriával. - M .: Nauka, 1978. - T. 14. - (Matematikai kör könyvtára).
↑ Gibson History 7 – Robert Simson (2008. január 30.). Letöltve: 2019. október 2. Az eredetiből archiválva : 2016. október 9.. (határozatlan)
↑ Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. – 648. §. Megjegyzés. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Archiválva : 2020. június 30. a Wayback Machine -nél
↑ Savelov, 1960 .
↑ 1 2 Az ortopólus (2017. január 21.). Letöltve: 2020. június 22. Az eredetiből archiválva : 2020. június 22. (határozatlan)
↑ Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. Nathan Altshiller-Court. (Paragrafus: G. Az ortopólus. 697. tétel. Tétel. 155. ábra. P.289-290). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.
↑ Todor Zaharinov, "A Simson-háromszög és tulajdonságai", Forum Geometricorum 17 (2017), 373-381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf Archiválva : 2020. október 7. a Wayback Machine -nél
↑ Tsukerman, Emmanuel. Azokról a sokszögekről, amelyek a Simson-vonalat a parabolák diszkrét analógjaiként fogadják el // Forum Geometricorum : folyóirat. - 2013. - Kt. 13 . - P. 197-208 .
↑ A Simson Line általánosítása . Cut-the-knot (2015. április). Letöltve: 2019. október 2. Az eredetiből archiválva : 2019. augusztus 28.. (határozatlan)
↑ Nguyen Van Linh (2016), A Simson-vonaltétel Dao-féle általánosításának újabb szintetikus bizonyítéka , Forum Geometricorum vol . 16:57–61 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201608.pdf > Archived from December > 2018. 22. a Wayback Machine -nél
↑ Nguyen Le Phuoc és Nguyen Chuong Chi (2016). 100.24 A Simson-tétel Dao általi általánosításának szintetikus bizonyítéka. Matematikai Közlöny, 100., 341-345. doi:10.1017/mag.2016.77. Archivált : 2016. augusztus 19., a Wayback Machine The Mathematical Gazette

Irodalom

Savelov A. A. Síkgörbék . Szisztematika, tulajdonságok, alkalmazások (Referencia útmutató) / Szerk. A.P. Norden. - M . : Fizmatlit, 1960.
V. Berezin. Deltoid // Kvant . - 1977. - 3. sz . - S. 19 . (Orosz)
EH Lockwood. 8. fejezet: A deltoid // Görbék könyve (neopr.) . – Cambridge University Press , 1961.
Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p . doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false.— P. 140-149 , 158, 165, 252, 273, 284, 288, 289

Linkek

Simson Line a cut-the-knot.org oldalon
FM Jackson és Weisstein, Eric W. Simson Line (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
A Neuberg-tétel és a Simson-Wallace egyenes általánosítása a Dynamic Geometry Sketchesnél , egy interaktív dinamikus geometriai vázlat.

Háromszög
A háromszögek típusai	Négyszögletes Egyenlő szárú Egyenlő oldalú Egyenlőszárú téglalap alakú
Csodálatos vonalak egy háromszögben	Középső Magasság Felezővonal Középmerőleges középső vonal Beírt és körülírt körök Simson egyenes Euler vonal Simediana Cheviana
A háromszög figyelemre méltó pontjai	Orthocenter Centroid Incenter Brocard pont Vecten pont Pont Gergonne Lemoine pont Miquel pont Nagel pont Napóleon rámutat Torricelli pontjai Kilenc pontos kör középpontja Spieker Center Háromszögközpontok enciklopédiája
Alaptételek	háromszög egyenlőtlenség A háromszögek hasonlóságának jelei Háromszögek megoldása Háromszög külső szög tétel Szögösszeg háromszög tétele Pitagorasz tétel Koszinusz tétel Szinusztétel A vetítési tétel Heron képlete
További tételek	Van Obel tétele Menelaosz tétele Reuschle (Terkema) tétel Stewart tétele Érintőtétel Kotangens tétel Ceva tétele Mollweide képletek
Általánosítások	gömb alakú háromszög hiperbolikus háromszög Simplex