A legkisebb cselekvés elve

A Hamilton-féle legkisebb cselekvés elve , szintén csak Hamilton elve (pontosabban a cselekvés stacionaritásának elve ) egy módja annak, hogy egy fizikai rendszer mozgásegyenleteit megkapjuk egy stacionárius (gyakran szélsőséges , általában a kialakult helyzethez kapcsolódóan ) keresésével. a cselekvés jelének meghatározásának hagyománya , - egy speciális funkció legkisebb) értéke - akciók . William Hamiltonról nevezték el , aki ezt az elvet használta az úgynevezett hamiltoni formalizmus megalkotására a klasszikus mechanikában .

A cselekvés stacionaritásának elve a legfontosabb az extrém elvek családjában . Nem minden fizikai rendszer rendelkezik mozgásegyenletekkel, amelyek ebből az elvből származnak, de minden alapvető kölcsönhatás engedelmeskedik ennek, ezért ez az elv a modern fizika egyik kulcsfontosságú rendelkezése. A segítségével kapott mozgásegyenleteket Euler-Lagrange egyenleteknek nevezzük .

Az elv első megfogalmazását P. Maupertuis ( fr. P. Maupertuis ) adta meg 1744 -ben, azonnal rámutatva annak univerzális természetére, és az optikára és a mechanikára alkalmazhatónak tartotta. Ebből az elvből vezette le a fény visszaverődésének és törésének törvényeit.

Történelem

Még az ókori természetfilozófusok (például Arisztotelész ) is azt feltételezték, hogy „a természet semmit sem tesz hiába, és minden megnyilvánulásában a legrövidebb vagy legkönnyebb utat választja” [1] . A „legrövidebb” vagy „legkönnyebb” kifejezések konkrét jelentését azonban nem határozták meg [2] . Claudius Ptolemaiosz kimutatta, hogy amikor egy fénysugár visszaverődik, annak teljes útja akkor a legrövidebb, ha a visszaverődési szög egyenlő a beesési szöggel, ami a gyakorlatban megfigyelhető. Figyelmeztetett azonban, hogy fénytörés esetén az út ( szaggatott vonal) már nem lesz a legrövidebb.

A tudománytörténet első variációs elvét Pierre de Fermat fogalmazta meg 1662-ben, és kifejezetten a fénytörésre utalt. Fermat kimutatta, hogy ebben az esetben nem az út, hanem az idő a kritérium - a nyaláb olyan szögben törik meg, hogy a teljes utazási idő minimális [3] . Modern jelöléssel a Fermat-elv a következőképpen írható fel:

T=\int \limits _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }{\frac {ds}{v}}=\int \limits _{\mathbf {A} }^{ \mathbf {B} }\mu \,ds={\text{min)),

ahol a közeg törésmutatója . $\mu$

A Fermat-elv matematikai kutatását és fejlesztését Christian Huygens [4] végezte , majd a témát a 17. század legnagyobb tudósai is aktívan tárgyalták. Leibniz 1669-ben vezette be a cselekvés alapvető fogalmát a fizikába : „A mozgás formális cselekvései arányosak... az anyagmennyiség, az általuk megtett távolságok és a sebesség szorzatával.”

A mechanika alapjainak elemzésével párhuzamosan módszereket dolgoztak ki a variációs problémák megoldására. Isaac Newton a " Matematical Principles of Natural Philosophy " (1687) című művében felállította és megoldotta az első variációs problémát: találni egy olyan forradalmi testet, amely ellenálló közegben a tengelye mentén mozog, amelyre a tapasztalt ellenállás a legkisebb lenne. . Szinte egyidejűleg más variációs problémák is megjelentek: a brachistochrone (1696), a felsővezeték alakja stb.

A döntő események 1744-ben történtek. Leonhard Euler publikálta az első általános munkát a variációszámításról ("A maximum vagy minimum tulajdonságokkal rendelkező görbék megtalálásának módszere"), Pierre-Louis de Maupertuis pedig "A különböző természeti törvények egyetértése , amely eddig " című értekezésében. összeegyeztethetetlennek tűnt" - adta meg a legkisebb cselekvés elvének első megfogalmazását: "A fény által követett út az az út, amelyen a cselekvés mennyisége a legkisebb lesz." Bemutatta ennek a törvénynek a teljesülését mind a fényvisszaverődés, mind a fénytörés tekintetében. Maupertuis cikkére válaszul Euler (ugyanabban az 1744-ben) publikálta „A kidobott testek mozgásának meghatározásáról nem ellenálló közegben a maximumok és minimumok módszerével” című munkáját, és ebben a munkájában megadta. A Maupertuis-elv egy általános mechanikai jelleg: „Mivel minden természeti jelenség a maximum vagy minimum bármely törvényét követi, nem kétséges, hogy a kidobott testeket leíró görbe vonalak esetében, amikor bármilyen erő hat rájuk, a maximum vagy minimum valamilyen tulajdonsága szükséges. hely. Továbbá Euler megfogalmazta ezt a törvényt: a test pályája a minimumot jelenti . Ezután alkalmazta, levezetve a mozgás törvényeit egy egységes gravitációs térben, és számos más esetben is. $\int mv\,ds$

1746-ban Maupertuis egy új művében egyetértett Euler véleményével, és kihirdette elvének legáltalánosabb változatát: „Amikor a természetben bekövetkezik egy bizonyos változás, a változáshoz szükséges cselekvés mértéke a lehető legkisebb. A cselekvés mértéke a testek tömegének, sebességének és a megtett távolságnak a szorzata. Az ezt követő széles körű vitában Euler támogatta Maupertuis prioritását, és az új törvény egyetemes természete mellett érvelt: „minden dinamika és hidrodinamika meglepően könnyen feltárható pusztán a maximumok és minimumok módszerével”.

Új szakasz kezdődött 1760-1761-ben, amikor Joseph Louis Lagrange bevezette a függvény variációjának szigorú fogalmát, modern megjelenést kölcsönzött a variációszámításnak, és kiterjesztette a legkisebb cselekvés elvét egy tetszőleges mechanikai rendszerre (vagyis nem csak ingyenes anyagpontok ). Ez jelentette az analitikus mechanika kezdetét. Az elv további általánosítását Carl Gustav Jacob Jacobi végezte el 1837-ben - a problémát geometriailag vizsgálta, mint egy variációs probléma szélsőértékeinek megtalálását egy konfigurációs térben nem euklideszi metrikával. Jacobi különösen arra mutatott rá, hogy külső erők hiányában a rendszer pályája egy geodéziai vonal a konfigurációs térben.

1834-1835-ben William Rowan Hamilton egy még általánosabb variációs elvet adott ki, amelyből az összes korábbi speciális esetként következett:

\delta {\mathcal {S}}=\delta \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L{\big (}\mathbf {q} (t),\mathbf {\pont {q}} (t),t{\big )}\,dt=0.

Itt van a dinamikus rendszer Lagrange -ja, és az általánosított koordináták . Hamilton ezt az elvet „ hamiltoni mechanikájának ” alapjául helyezte, és a variációs probléma megoldását „ kanonikus egyenletek ” formájában adta meg. $L$ $q$

Hamilton megközelítése sokoldalúnak és rendkívül hatékonynak bizonyult a fizika matematikai modelljeiben, különösen a kvantummechanikában . Heurisztikus erejét megerősítette az általános relativitáselmélet megalkotása , amikor David Hilbert a Hamilton-elvet alkalmazta a gravitációs tér végső egyenleteinek levezetésére (1915).

A klasszikus mechanikában

A legkisebb cselekvés elve a mechanika lagrangi és hamiltoni megfogalmazásának alapvető és standard alapja .

Tekintsük először a Lagrange-féle mechanika felépítését ilyen módon . Egy [5] szabadságfokkal rendelkező fizikai rendszer példáján felidézzük, hogy a cselekvés (általánosított) koordináták (egy szabadságfok esetén egy koordináta ) függvénye , azaz keresztül kifejezve úgy, hogy a függvény minden elképzelhető változata egy bizonyos számhoz – akcióhoz – van társítva (ebben az értelemben azt mondhatjuk, hogy a művelet mint funkcionális olyan szabály, amely lehetővé teszi, hogy egy adott függvény jól definiált számot számítson ki – is akciónak nevezzük). Az akció úgy néz ki $q(t)$ $q(t)$ $q(t)$ $q(t)$

S[q]=\int {\mathcal {L}}{\big (}q(t),{\pont {q}}(t),t{\big )}\,dt,

ahol a rendszer Lagrange -ja az általánosított koordinátától , annak első deriváltja az idő függvényében , és esetleg kifejezetten az idő függvényében is . Ha a rendszernek több szabadságfoka van , akkor a Lagrange-féle több általánosított koordinátától és azok első deriváltjától függ . Így az akció a test pályájától függő skaláris funkcionális. ${\displaystyle {\mathcal {L}}{\big (}q(t),{\pont {q}}(t),t{\big )))$ $q$ ${\pont {q}}$ $t$ $n$ $q_{i}(t),\ i=1,2,\pontok ,n$

Az a tény, hogy a művelet skalár, megkönnyíti bármilyen általánosított koordinátába írását, a lényeg, hogy a rendszer helyzetét (konfigurációját) egyedileg jellemezzék (például a derékszögű koordináták helyett polárisak is lehetnek koordináták , a rendszer pontjai közötti távolságok, szögek vagy ezek függvényei stb. d.).

A cselekvés teljesen tetszőleges pályára számítható , függetlenül attól, hogy mennyire "vad" vagy "természetellenes". A klasszikus mechanikában azonban a lehetséges pályák összessége közül csak egy van, amelyen a test ténylegesen halad. A cselekvés stacionaritásának elve éppen arra a kérdésre ad választ, hogy a test hogyan fog ténylegesen mozogni: $q(t)$

Két adott pont között a test úgy mozog, hogy a cselekvés mozdulatlan legyen.

Ez azt jelenti, hogy ha a rendszer Lagrange-ja adott, akkor a variációszámítás segítségével pontosan meghatározhatjuk, hogyan fog a test mozogni, először megkapjuk a mozgásegyenleteket - az Euler-Lagrange egyenleteket , majd megoldjuk azokat. Ez nem csak a mechanika megfogalmazásának komoly általánosítását teszi lehetővé, hanem az egyes problémákhoz a legkényelmesebb koordináták kiválasztását is, nem csak a derékszögű koordinátákat, amelyek nagyon hasznosak lehetnek a legegyszerűbb és legkönnyebben megoldható egyenletek megszerzésében.

Hasonlóképpen , a Hamiltoni mechanika a legkisebb cselekvés elvéből származik. A cselekvést ebben az esetben a legtermészetesebben úgy írják [6] , hogy

S[p,q]=\int {\Big (}\sum _{i}p_{i}\,dq_{i}-{\mathcal {H))(q,p,t)\, dt{\Big )}=\int {\Big (}\sum _{i}p_{i}{\pont {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,p,t) {\Big )}\,dt,

hol van az adott rendszer Hamilton-függvénye ; - (általánosított) koordináták, - konjugált (általánosított) impulzusok, amelyek minden adott időpillanatban együtt jellemzik a rendszer dinamikus állapotát, és mindegyik az idő függvénye, így jellemzi a rendszer fejlődését (mozgását). Ebben az esetben ahhoz, hogy a rendszer mozgásegyenleteit kanonikus Hamilton-egyenletek formájában kapjuk meg, szükséges az így felírt műveletet egymástól függetlenül minden és -re variálni . ${\mathcal {H}}(q,p,t)\equiv {\mathcal {H}}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N},p_{1}, p_{2},\pontok ,p_{N},t)$ $q\equiv q_{1},q_{2},\dots ,q_{N}$ $p\equiv p_{1},p_{2},\dots ,p_{N}$ $q_{i}$ $p_{i}$

Megjegyzendő, hogy ha a feladat feltételeiből alapvetően meg lehet találni a mozgástörvényt, akkor ez nem jelenti automatikusan azt, hogy lehetséges olyan funkcionális konstruálni, amely a valódi mozgás során stacionárius értéket vesz fel. Ilyen például az elektromos töltések és a monopólusok - mágneses töltések - együttes mozgása egy elektromágneses térben . Mozgásegyenleteik nem vezethetők le a cselekvés stacionaritásának elvéből. Hasonlóképpen, néhány Hamilton-rendszerben vannak olyan mozgásegyenletek, amelyek nem ebből az elvből származnak .

Példák

A triviális példák segítenek a működési elv használatának értékelésében az Euler-Lagrange egyenleten keresztül. Egy szabad részecske ( m tömege és v sebessége ) egyenes vonalban mozog az euklideszi térben . Az Euler-Lagrange egyenletek felhasználásával ez poláris koordinátákban a következőképpen mutatható meg . Potenciál hiányában a Lagrange-függvény egyszerűen egyenlő a kinetikus energiával

{\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m({\pont {x}}^{2}+{\pont {y}} ^{2})

ortogonális koordinátarendszerben . $(x, y)$

A polárkoordinátákban a kinetikus energia és így a Lagrange-függvény alakul ki $(r,\varphi )$

L={\frac {1}{2}}m({\pont {r}}^{2}+r^{2}{\pont {\varphi }}^{2}).

Az egyenletek radiális és szögösszetevői rendre:

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r))))\right)-{\frac {\partial L}{\ részleges r}}=0\quad \Rightarrow \quad {\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}=0,

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial L}{\partial {\pont {\varphi ))))\right)-{\frac {\partial L}{ \partial \varphi }}=0\quad \Rightarrow \quad {\ddot {\varphi }}+{\frac {2}{r}}{\pont {r}}{\pont {\varphi }}=0 .

A két egyenlet megoldása:

r\cos \varphi =at+b,

r\sin \varphi =ct+d,

kezdeti feltételek által meghatározott a , b , c , d állandókkal . Így valóban a megoldás egy polárkoordinátákkal megadott egyenes.

A kontinuummechanikában és a klasszikus térelméletben

A cselekvés fogalmát a kontinuummechanika és a klasszikus térelmélet hasonlóan vezeti be. Ezekben az akció magában foglalja a Lagrange-sűrűség integrálját , amely a tér egyes pontjaiban a közeg (mező) paramétereitől és azok térbeli koordinátákkal és idővel kapcsolatos deriváltjaitól függ. A cselekvés változtatásával kapott mozgásegyenletek parciális differenciálegyenletekké válnak.

A stacionaritás elve bizonyult az egyik legegyszerűbb módnak a mozgásegyenletek relativisztikus változatlanságának biztosítására - ehhez elég, ha a Lagrange-sűrűség skalár (invariáns) legyen például a referenciarendszer transzformációi során. , Lorentz transzformációk . Emiatt az elv szerepe jelentősen megnőtt a relativisztikus fizikában. Konkrétan a Noether -tétel , amely a térrendszerek időbeli fejlődésében a megmaradt mennyiségeket határozza meg, kifejezetten a Lagrange-rendszerekre vonatkozik.

Meg kell jegyezni, hogy a hatás stacionaritás elvének alkalmazása a mérőmezők elméletére (például az elektrodinamikára) időnként specifikus problémákba ütközik, amelyek azonban megoldhatók.

A kvantummechanikában

A kvantummechanikában a koppenhágai értelmezés szerint nem szükséges pontosan tudni, hogyan mozog egy részecske. Ráadásul Feynman megfogalmazása kimondja, hogy:

a részecske minden elképzelhető pályán (amelyből nyilván végtelen sok van) egyszerre halad a kezdeti állapotból a végső állapotba . Az egyik adott állapotból a másikba való átmenet valószínűségének amplitúdója ezen pályák amplitúdóinak összege, és funkcionális integrálként van felírva.

\psi =\int [Dx]\,e^{iS[x]/\hbar }.

Itt van egy feltételes jelölése a végtelen hajtású funkcionális integrációnak az összes x ( t ) pályán, és ez a Planck -konstans . Hangsúlyozzuk, hogy elvileg a kitevőben lévő cselekvés önmagában jelenik meg (vagy jelenhet meg), a kvantummechanikai evolúciós operátor tanulmányozása során azonban az egzakt klasszikus (nem kvantum) analóggal rendelkező rendszerek esetében pontosan egyenlő. a szokásos klasszikus akcióhoz. $\int[dx]$ $\hbar$

Ennek a kifejezésnek a matematikai elemzése a klasszikus határértékben - kellően nagy , vagyis a képzeletbeli kitevő nagyon gyors oszcillációi esetén azt mutatja, hogy ebben az integrálban az összes lehetséges trajektóriák túlnyomó többsége kioltja egymást a határértékben (formálisan, at ) . Szinte minden úthoz létezik olyan útvonal, amelyen a fázisbehatolás pontosan ellentétes lesz, és ezek összege nulla hozzájárulást jelent. Csak azok a pályák nem csökkennek, amelyeknél az akció közel van a szélsőértékhez (a legtöbb rendszernél a minimumhoz). Ez egy tisztán matematikai tény egy komplex változó függvényelméletéből ; például az állófázisú módszer arra épül . $S/\hbar$ $S/\hbar \to \infty$

Ennek eredményeként a részecske a kvantummechanika törvényeinek teljes mértékben megfelelõen egyidejûleg mozog minden pálya mentén, de normál körülmények között csak a stacionáriushoz (vagyis klasszikushoz) közeli pályák járulnak hozzá a megfigyelt értékekhez. Mivel a kvantummechanika a nagy energiák határán lép át a klasszikus mechanikába, feltételezhetjük, hogy ez a hatásstacionaritás klasszikus elvének kvantummechanikai levezetése .

A kvantálás funkcionális integrálok (gyakran úgy is szokták mondani: „útintegrálok”, „ útintegrálok ” vagy „történetek összegzése”) megfogalmazásának felfedezése, valamint a klasszikus határértékkel való kapcsolatának megállapítása Richard Feynmané . aki kreatívan kidolgozta Paul Dirac ötletét .

A Schrödinger-egyenlet [ 7] a legkisebb cselekvés elve alapján, Euler-egyenletnek tekintve.

{\frac {\partial L}{\partial \psi }}-\sum _{k=0}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\frac {\partial L}{\partial \left({\frac {\partial \psi }{\partial x_{k))}\right)))=0

variációs probléma, amelyben a Lagrange-féle sűrűség alakja

L=i\hbar \psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t))-{\frac {\hbar ^{2)){2m))\nabla \psi ^ {*}\nabla \psi -U(r,t)\psi ^{*}\psi -i\hbar {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\psi

A kvantumtérelméletben

A kvantumtérelméletben a cselekvés stacionaritás elvét is sikeresen alkalmazzák. A Lagrange-sűrűség itt tartalmazza a megfelelő kvantummezők operátorait. Bár itt helyesebb (a klasszikus határ és részben félklasszikus kivételével) nem a cselekvés stacionaritásának elvéről beszélni, hanem e mezők konfigurációjában vagy fázisterében - a Lagrange-sűrűség felhasználásával - Feynman-integrációról. csak említettem.

További általánosítások

Tágabb értelemben a művelet alatt olyan funkcionálist értünk, amely a konfigurációs térből a valós számok halmazára való leképezést határoz meg, és általában nem kell integrálnak lennie, mert elvileg nem lokális műveletek is lehetségesek, legalábbis elméletileg. Ezenkívül a konfigurációs tér nem feltétlenül függvénytér , mert lehet nem kommutatív geometriája .

Jegyzetek

↑ Euler L. Értekezés a legkisebb cselekvés elvéről, a leghíresebb prof. Koenig, ez ellen az elv ellen felhozott // A mechanika variációs elvei. - M. : Fizmatgiz , 1959. - S. 96-108.
↑ Rumjancev, 1988 , p. 181.
↑ Fermat P. Szintézis a fénytöréshez // A mechanika variációs elvei. - M . : Fizmatgiz , 1959. - S. 6-10.
↑ Huygens X. Treatise on Light. - M. - L .: Gostekhizdat , 1935. - 172 p.
↑ Egy sok szabadságfokkal rendelkező rendszernél mindent hasonlóan írunk le, csak egy általánosított koordináta helyett több (vagy akár - végtelen dimenziós rendszerek esetén - végtelen számú) általánosított koordinátát használnak . Az egyszerűség kedvéért először egy egy szabadságfokkal rendelkező rendszer példáját tekintjük. $q$ $q_{1},q_{2},\pontok$
↑ Ezúttal egy nem egydimenziós példát adunk.
↑ Kushnirenko, 1971 , p. 38.

Irodalom

Berdicsevszkij VL A kontinuummechanika variációs elvei. — M .: Nauka , 1983. — 448 p.
A mechanika variációs elvei. Ült. a tudomány klasszikusainak cikkei / Szerk. L. S. Polak . - M. : Fizmatgiz, 1959. - 932 p.
Veretennikov V. G. , Sinitsyn V. A. Változó cselekvés módszere. 2. kiadás . - M. : Fizmatlit, 2005. - 272 p. — ISBN 5-9221-0569-8 .
Gantmakher F. R. Előadások az analitikai mechanikáról. 2. kiadás . — M .: Nauka , 1966. — 300 p.
Dobronravov VV Az analitikai mechanika alapjai . - M . : Felsőiskola, 1976. - 264 p.
Landau L.D., Lifshitz E.M. Mechanics. - 4. kiadás, átdolgozott. - M .: Nauka , 1988 . — 215 p. — („Elméleti fizika”, I. kötet). — ISBN 5-02-013850-9 .
Landau L.D., Lifshitz E.M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. - M .: Nauka , 1988 . — 512 p. - ("Elméleti fizika", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .
Lanczos K. A mechanika variációs elvei . — M .: Mir, 1965. — 408 p.
Leach JW Classical Mechanics . - M . : Külföldi. Irodalom, 1961. - 174 p.
Pavlenko Yu. G. Előadások az elméleti mechanikáról. — M. : Fizmatlit, 2002. — 392 p. — ISBN 5-9221-0241-9 .
Pars L. A. Analitikai dinamika . — M .: Nauka , 1971. — 636 p.
Polak L. S. V. R. Hamilton és a cselekvés stacionaritás elve. - M . : A Szovjetunió Tudományos Akadémia Kiadója, 1936. - 272 p.
Rumyantsev V. V. Leonard Euler és a mechanika variációs elvei // Leonhard Euler és a modern tudomány elképzeléseinek fejlesztése. — M .: Nauka , 1988. — 518 p. — ISBN 5-02-000002-7 . - S. 180-207.
Feynman R., Hibs A. Kvantummechanika és útintegrálok. Per angolból. - M. : Mir, 1968. - 384 p.
Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Fizikai előadások. T. 6: Elektrodinamika. Per. angolról. 3. kiadás - M . : Szerkesztői URSS, 2004. - 352 p. - ISBN 5-354-00704-6 . — 19. fejezet: A legkisebb cselekvés elve.
Kushnirenko AN Bevezetés a kvantumtérelméletbe. - M . : Felsőiskola, 1971. - 304 p.

Lásd még

Művelet (fizikai mennyiség)