A kvantumelmélet megfogalmazása útintegrálokkal

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. március 2-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A kvantummechanika útintegrál megfogalmazása a kvantumelmélet leírása, amely általánosítja a klasszikus mechanika működési elvét . A kvantumamplitúdó kiszámításához a lehetséges pályák végtelen halmazán keresztül felváltja az egyetlen egyedi rendszerpálya klasszikus meghatározását egy teljes összeggel (funkcionális integrállal ) . Módszertanilag az útintegrál megfogalmazása közel áll a klasszikus hullámelméletből származó Huygens-Fresnel elvhez .

Az útintegrált megfogalmazást 1948-ban Richard Feynman fejlesztette ki . Néhány előzmény már korábban kidolgozásra került, amikor disszertációját John Archibald Wheeler vezette .

Ez a megfogalmazás kulcsfontosságú volt az elméleti fizika későbbi fejlődéséhez , mivel időben és térben egyértelműen szimmetrikus (Lorentz-kovariáns). A korábbi módszerektől eltérően az útintegrál lehetővé teszi a fizikus számára, hogy könnyedén mozogjon egyik koordinátáról a másikra ugyanazon kvantumrendszer kanonikus leírásában.

Az útintegrál a kvantum- és sztochasztikus folyamatokra is vonatkozik, és ez adta az alapot az 1970-es évek nagy szintéziséhez, amely a kvantumtérelméletet ötvözte a másodrendű fázisátmenetekhez közeli téringadozások statisztikai elméletével . Ebben az esetben a Schrödinger -egyenlet egy képzeletbeli diffúziós együtthatóval rendelkező diffúziós egyenlet , az útintegrál pedig az összes lehetséges út összegzésének módszerének analitikus folytatása. Emiatt a Brown-mozgás és diffúzió tanulmányozására pályaintegrálokat használtak valamivel korábban, mint a kvantummechanikában [1] .

A közelmúltban az útintegrálok definícióját kibővítették, így a Brown-mozgás mellett Levy-repüléseket is leírhatnak . A Lévy-útintegrálok szerinti megfogalmazás törtkvantummechanikához és a Schrödinger-egyenlet törtkiterjesztéséhez vezet [ 2 ] .

A cselekvés kvantumelve

A hagyományos kvantummechanikában a Hamilton - féle végtelenül kicsi (végtelenül kicsi) időbeli lefordítások generátora (például egy kvantummechanikai rendszer állapotterében). Ez azt jelenti, hogy a végtelenül kicsi idő utáni állapot az adott pillanatban fennálló állapottól annyiban tér el, mint a Hamilton-operátor ezen állapotra gyakorolt hatásának szorzata . Egy bizonyos energiájú állapotok esetében ez a frekvencia és az energia közötti de Broglie-relációt fejezi ki , és az általános összefüggés összhangban van vele, figyelembe véve a szuperpozíció elvét . $dt$ $-én$ $dt$

De a Hamilton a klasszikus mechanikában a Lagrange -ból származik, amely a speciális relativitáselmélet szerint alapvetőbb mennyiség . A Hamilton a rendszer időbeni fejlődését írja le, de az idő fogalma megváltozik, amikor az egyik vonatkoztatási rendszerről a másikra lépünk. Így a Hamilton-féle különböző vonatkoztatási rendszerekre eltérő, és a kvantummechanika kezdeti megfogalmazásában a Lorentz-invarianciája nem nyilvánvaló.

A Hamilton a koordináták és a nyomaték függvénye, és ebből határozzák meg a koordinátákat és az impulzusokat egy későbbi időpontban. A Lagrange a koordináták függvénye most és a koordináták egy kicsit később (vagy ezzel egyenértékűen, végtelenül kicsi időintervallumok esetén a koordináták és a sebesség függvénye). Az elsőt és a másodikat a Legendre-transzformáció köti össze, és a klasszikus mozgásegyenleteket meghatározó feltétel a minimális cselekvési feltétel .

A kvantummechanikában a Legendre-transzformáció nehezen értelmezhető, mivel a mozgás nem követ egy meghatározott utat. A klasszikus mechanikában idődiszkretizálással

\varepsilon H=p{\big (}q(t+\varepsilon )-q(t){\big )}-\varepsilon L,

és

p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q)))),

ahol a q -ra vonatkozó parciális derivált q ( t + ε )-t fixen hagyja . Inverz legenda transzformáció:

\varepsilon L=p\varepsilon {\dot {q}}-\varepsilon H,

ahol

{\pont {q}}={\frac {\partial H}{\partial p)),

és a parciális deriváltot most p -re vonatkoztatva q rögzített .

A kvantummechanikában az állapot különböző állapotok szuperpozíciója, különböző q értékekkel vagy különböző p értékekkel , és a p és q mennyiségek nem ingázási operátorokként értelmezhetők. A p operátornak csak azokon az állapotokon van határozott értéke, amelyekben nincs határozott q . Ekkor képzelünk el két időben elválasztott állapotot, és a Lagrange-nak megfelelő operátorral reagálunk rájuk:

e^{i[p\{q(t+\varepsilon )-q(t)\}-\varepsilon H(p,q)]}.

Ha ebben a képletben a szorzási műveleteket operátorok (vagy mátrixaik) szorzatának tekintjük, akkor ez azt jelenti, hogy az első tényező

e^{-ipq(t)}

és az összes állapot összege integrálódik q ( t ) összes értékébe - így a Fourier-transzformáció a p ( t ) változóra kerül végrehajtásra. Ezt a műveletet a Hilbert téren hajtják végre – a p ( t ) változóra való áttérés t időpontban .

Ezután jön a szorzó

e^{-i\varepsilon H(p,q)},

egy rendszer evolúcióját írja le végtelenül kis időintervallumon keresztül.

És az utolsó szorzó ebben az értelmezésben:

e^{ipq(t+\varepsilon )},

bázisváltozást állítva elő q -ra ( t ), de egy későbbi időpontban.

Ez nem sokban különbözik a szokásos időbeli evolúciótól: H tartalmazza az összes dinamikus információt - ez tolja előre az állapotot az időben. Az első és az utolsó rész a Fourier-transzformációt p ( t ) köztes változóvá és vissza.

A Hamilton-féle p és q függvénye , így ennek a mennyiségnek a feltárása és a bázis p -ről q -ra történő változtatása minden lépésben lehetővé teszi, hogy a H mátrixelem egyszerű függvényként fejezhető ki az egyes útvonalak mentén. Ez a függvény a klasszikus cselekvés kvantumanalógja. Ezt a megfigyelést először Dirac tette .

Dirac később megjegyezte, hogy felvehetjük az evolúciós operátor négyzetét az S - ábrázolásban:

e^{i\varepsilon S},

így kapunk egy evolúciós operátort t időről időre t + 2ε. Míg a H -ábrázolásban a közbülső állapotok felett összegző érték egy nem nyilvánvaló mátrixelem, addig az S -ábrázolásban egy útvonalhoz kapcsolódik. Ennek az operátornak a nagy fokának határán rekonstruálja a teljes fejlődést két állapot között: egy korai állapot, amely a q (0) koordináták rögzített értékeinek felel meg, és egy késői, egy rögzített q ( t ) között. ). Az eredmény az utak összege, amelynek fázisa a kvantumműködés.

Feynman értelmezése

Dirac munkája nem adott pontos algoritmust az útösszegek kiszámítására, és nem mutatta be, hogy ebből a megközelítésből miként vezethető le a Schrödinger-egyenlet vagy a kanonikus kommutációs relációk. Ezt Feynman tette.

Feynman megmutatta, hogy a Dirac-akciókvantum a legtöbb érdekes esetben egyszerűen megegyezik a klasszikus cselekvéssel, megfelelően diszkretizálva. Ez azt jelenti, hogy a klasszikus cselekvés egy kvantumevolúciós fázis két rögzített végpont között. Azt javasolta, hogy az összes kvantummechanikát a következő posztulátumokból származtassa:

Egy esemény valószínűségét az úgynevezett "amplitúdó" komplex szám modulusának négyzeteként kapjuk meg.
Az amplitúdót úgy kapjuk meg, hogy összeadjuk a konfigurációs térben található összes előzmény hozzájárulását.
A történelem hozzájárulása az amplitúdóhoz arányos -val , ahol a Planck -állandó , amely mértékegységrendszer kiválasztásával egyenlővé tehető az egységgel, míg S ennek a történelemnek a hatása, amelyet a Lagrange-féle időintegrál ad meg megfelelő útvonalat. $e^{{iS/\hbar }}$ $\hbar$

Egy adott folyamat teljes amplitúdó valószínűségének meghatározásához össze kell adni vagy integrálni kell az amplitúdót a rendszer összes lehetséges történetének terében a kezdeti és a végső állapotok között, beleértve a klasszikus mércével abszurd előzményeket is (például részecske a pályákon a sebességek meghaladhatják a fénysebességet). Egy adott időn belül egyik helyről a másikra mozgó részecskék amplitúdójának kiszámításához olyan történeteket is be kell vonni, amelyekben a részecske egy bizarr mintázatot ír le, amelyben a részecske "a térbe repül" és visszarepül, és így tovább. Az útvonalintegrál ezeket a történet-amplitúdókat egyenlő nagyságrendűnek (modulusnak), de fázisban eltérőnek tekinti (komplex szám argumentum). A klasszikus történelemtől lényegesen eltérő hozzájárulásokat csak az ellentétes fázisú, hasonló történetekből származó hozzájárulások interferenciája szorítja el (lásd alább).

Feynman megmutatta, hogy a kvantummechanikának ez a megfogalmazása egyenértékű a kvantummechanika kanonikus megközelítésével, amikor a Hamilton-féle impulzus kvadratikus. A Feynman-elvek szerint számított amplitúdó az adott cselekvésnek megfelelő Hamilton-féle Schrödinger-egyenletet is generálja.

A klasszikus cselekvési elvek ideálisságukból adódóan nehézségekhez vezetnek: ahelyett, hogy a kezdeti feltételek alapján jósolnák meg a jövőt, a kezdeti és végső feltételek kombinációján keresztül jósolják meg az adott jövőhöz vezető utat, mintha a rendszer valahogy tudná, milyen állapotnak kell lennie. be. gyere. Az útintegrál megmagyarázza a klasszikus cselekvési elvet a kvantum-szuperpozíció szempontjából. A rendszernek nem kell előre tudnia, hogy merre halad – az útvonalintegrál egyszerűen kiszámítja a valószínűségi amplitúdót bármely adott folyamathoz, és a pálya minden lehetséges irányba halad. Azonban kellően hosszú idő elteltével az interferenciahatások biztosítják, hogy csak a stacioner akciópontokból származó hozzájárulások adjanak értelmes valószínűségű történeteket. A stacionárius hatáspontok a klasszikus pályáknak felelnek meg, így a rendszer átlagosan a klasszikus pályán mozog.

Pontos megfogalmazás

Feynman posztulátumai a következőképpen értelmezhetők:

Időszeletelés

Sima potenciálú részecske esetén az útintegrált, amely egydimenziós esetben közönséges integrálok szorzata, cikk-cakk pályákkal közelítjük. Amikor egy részecske egy adott időpontban egy pozícióból egy pontra mozog , az idősorozat n kis fix időtartamú szegmensre osztható (egy fennmaradó szegmens elhanyagolható, mivel végső soron a határértéket tekintjük ). Ezt a folyamatot időszeletelésnek nevezik. $x=x_{a}$ ${\megjelenítési stílus t=t_{a))$ $x=x_{b}$ ${\megjelenítési stílus t=t_{b))$ ${\megjelenítési stílus t_{a}<t_{1}<\lpontok <t_{n-1}<t_{n}<t_{b))$ $t_{j}-t_{j-1},\ j=1,\dots ,n$ $\varepsilon \equiv \Delta t={\frac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}$ $n\to \infty$

Az útvonalintegrál közelítése arányos a kifejezéssel

\int \limits _{x_{1}=x_{a}}^{x_{1}=x_{b}}\ldots \int \limits _{x_{n}=x_{a}}^ {x_{n}=x_{b}}\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\int \limits _{t_{a}}^{t_{b}}{\mathcal {L }}{\big (}x(t),v(t),t{\big )}\,dt\jobbra)\,dx_{n}\ldots dx_{1},

ahol egy egydimenziós rendszer Lagrange-ja az x ( t ) térbeli változótól és a sebességtől függően , és megfelel a j -edik időlépésben elfoglalt pozíciónak, ha az időintegrált n tag összegével közelítjük . ${\mathcal {L}}(x,v,t)$ $v={\pont {x}}(t)$ ${\displaystyle dx_{j))$

Abban a határértékben, amikor n a végtelen felé hajlik, ez a kifejezés funkcionális integrállá válik , amely (egy jelentéktelen tényezőtől eltekintve) közvetlenül a kvantummechanikai részecske megtalálásának valószínűségi sűrűségének amplitúdóinak szorzata a kezdeti állapotban és a pontban. végső állapot . $\langle x_{a},t_{a}|x_{b},t_{b}\rangle$ ${\megjelenítési stílus t=t_{a))$ $x=x_{a}$ ${\megjelenítési stílus t=t_{b))$ $x=x_{b}$

Valójában a szóban forgó egydimenziós rendszer klasszikus Lagrange-je , ahol a Hamilton ( p a lendület, definíció szerint egyenlő, és a fent említett „cikk-cakk” megfelel a kifejezések megjelenésének ${\mathcal L}$ ${\mathcal {L}}(x,{\pont {x}},t)=p{\pont {x}}-{\mathcal {H}}(x,p,t)$ $\mathcal H$ $p=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\pont {x)),$

\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\,\varepsilon \cdot \sum _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}\left({\tilde {x}}_{j},{\tfrac {x_{j}-x_{j-1}}{\varepsilon }},j\right)\right),

ahol van egy pont a megfelelő szegmensből. Például elfoglalhatja a szegmens közepét: . ${\tilde x}_{j}\in [x_{{j-1}},x_{j}]$ ${\tilde {x}}_{j}={\tfrac {x_{j}+x_{j-1}}{2}}$

Így a klasszikus mechanikával ellentétben nemcsak a stacionárius pálya járul hozzá, hanem tulajdonképpen minden virtuális pálya a kezdő- és végpontok között.

Az időkvantálás Feynman-féle közelítése azonban nem létezik az atomok legfontosabb kvantummechanikai útintegráljaira, mivel a Coulomb -potenciál szingularitása nullán. Csak miután a t időt egy másik, útfüggő paraméterre ("pszeudoidő") cseréljük , a szingularitás megszűnik, és létezik egy pontosan integrálható időkvantálási közelítés, mivel egyszerű koordináta-transzformációval harmonikussá tehető, amint azt İsmail Hakkı mutatja. Duru és Hagen Kleinert 1979-ben [3] . Az idő-"pszeudo-idő" transzformáció és a koordináta-transzformációk kombinált alkalmazása számos útintegrál kiszámításának fontos technikája, és ezt Duru-Kleinert transzformációnak nevezik. $e^{2}/r$ $s=\int dt/r(t)$

Szabad részecske

Az útintegrál ábrázolásban a kvantumamplitúdó az x pontból az y pontba integrálként mozog az összes útvonalon. Szabad részecske esetén a ( , ) cselekvési integrál $m=1$ $\hbar = 1$

S=\int {{\pont {x}}^{2} \over 2} dt

kifejezetten megtalálható.

Ehhez koncepcionálisan kényelmes az i tényező nélkül kezdeni a kitevőben, így a nagy eltéréseket kis számok ellensúlyozzák, ahelyett, hogy törölnék az ingadozó hozzájárulásokat:

K(xy;T)=\int _{{x(0)=x}}^{{x(T)=y}}e^{{-\int _{0}^{T}{{\pont {x}}^{2} \over 2}dt}}Dx.

Az integrált részekre bontjuk:

K(x,y;T)=\int _{{x(0)=x}}^{{x(T)=y}}\Pi _{t}e^{{-{\frac 12}\ left({x(t+\varepsilon )-x(t) \over \varepsilon }\right)^{2}\varepsilon }}\,Dx,

ahol Dx -et minden ε egész tényezőre kiterjedő integrációk véges halmazaként értelmezzük. A szorzat minden egyes tényezője Gauss -féle x ( t + ε ) függvényében, középpontja x ( t ), ε variációval. A többszörös integrálok ennek a Gauss -féle G ε ismétlődő konvolúciói önmaga szomszédos időkbeli másolataival:

K(xy;T)=G_{\varepsilon }*G_{\varepsilon }*\dots *G_{\varepsilon },

ahol a konvolúciók száma egyenlő T /ε-vel. Az eredményt könnyen megkaphatjuk mindkét oldal Fourier-transzformációjával, így a konvolúciók szorzásokká válnak:

{\tilde {K}}(p;T)={\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)^{{T \over \varepsilon }}.

A Gauss - G Fourier-transzformációja egy másik inverz variációjú Gauss- transzformáció[ pontosítás ] :

{\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)=e^{{-\varepsilon {p^{2} \over 2}}},

és eredmény

{\tilde {K}}(p;T)=e^{{-T{p^{2} \over 2}}}.

A Fourier-transzformáció K -t ad , és ez ismét egy Gauss-féle inverz variációval:

K(xy;T)\sim e^{{-(xy)^{2} \over 2T}}.

Az arányossági állandót a részidős megközelítés nem igazán határozza meg, csak a különböző végső választások értékeinek arányát határozza meg. Az arányossági állandót meg kell választani annak biztosítására, hogy a két időpartíció között az időfejlődés kvantummechanikailag egységes legyen, de a normalizálás korrigálásának világosabb módja, ha az útintegrált feltételezzük egy sztochasztikus folyamat leírásaként.

Az eredmény valószínűségi értelmezésű. Az exponenciális tényező összes trajektóriájának összege egy adott pályaválasztás valószínűségének összes pályájának összegeként ábrázolható. A valószínűség egy adott szegmens kiválasztási valószínűségének minden szegmensének szorzata, így minden szegmens valószínűségileg egymástól függetlenül kerül kiválasztásra. Az a tény, hogy a válasz egy időben lineárisan terjedő Gauss-féle, egy központi határtétel, amely a statisztikai útintegrál első történeti levezetéseként értelmezhető.

A valószínűségi értelmezés természetes választást biztosít a normalizáláshoz. Az útvonalintegrált úgy kell meghatározni, hogy:

\int K(xy;T)dy=1.

Ez a feltétel normalizálja a Gauss-t, és egy magot képez, amely kielégíti a diffúziós egyenletet:

{d \over dt}K(x;T)={\nabla ^{2} \over 2}K.

Az oszcilláló útvonalintegrálok esetében, amelyeknél i a számláló, az időfelosztás elvetemült Gauss-féleséget eredményez, mint korábban. Most azonban a görbületi szorzat a legkisebb mértékben szinguláris, mivel az oszcilláló integrálok meghatározásához gondos korlátok szükségesek. Ahhoz, hogy a tényezők jól definiálhatók legyenek, a legegyszerűbb, ha az ε időtaghoz hozzáadunk egy kis képzeletbeli részt. Ezután ugyanaz a csavaró argumentum, mint korábban, megadja a terjedési kernelt:

K(xy;T)\propto e^{i(xy)^{2} \over 2T}.

Ami ugyanazzal a normalizálással, mint korábban (nem az összeg-négyzet normalizálással! ennek a függvénynek divergens normája van) kielégíti a szabad Schrödinger egyenletet

{d \over dt}K(x;T)={\rm {i}}{\nabla ^{2} \over 2}K.

Ez azt jelenti, hogy K bármely szuperpozíciója is kielégíti ugyanezt az egyenletet, lineárisan. Meghatározó

\psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(xy;t)dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0 )=x}^{x(t)=y}e^{iS}Dx,

akkor ψt kielégíti a szabad Schrödinger-egyenletet, valamint K:

{\rm {i}}{\partial \over \partial t}\psi _{t}=-{\nabla ^{2} \over 2}\psi _{t}.

Linkek

↑ Kleinert, H. Mérőmezők kondenzált anyagban . - Szingapúr: World Scientific, 1989. - Vol. I. - ISBN 9971-5-0210-0 . Az eredetiből archiválva : 2006. május 14. Archivált másolat (nem elérhető link) . Letöltve: 2009. szeptember 20. Az eredetiből archiválva : 2006. május 14.. (határozatlan) Interneten is elérhető: 1. évf. 2008. május 27- én archiválva a Wayback Machine -nél .
↑ Laskin N. Fractional Quantum Mechanics // Fizikai Szemle E. - 2000. - V. 62 . - S. 3135-3145 . - doi : 10.1103/PhysRevE.62.3135 . arXiv : 0811.1769 .
↑ I. H. Duru, H. Kleinert. A H-atom útintegráljának megoldása (angol) // Physics Letters B. - 1979. - Vol. 84 , iss. 2 . - P. 185-188 . - doi : 10.1016/0370-2693(79)90280-6 .

Lásd még

Irodalom

Simon B. Funkcionális integráció és kvantumfizika. – Akadémiai Kiadó, 1979.
Berezin F. A. Második kvantálási módszer. — M .: Nauka, 1986. — 320 p.
Zinn-Justin J. Kontinuumintegrál a kvantummechanikában. - M. : Fizmatlit, 2010. - 360 p.
Lobanov Yu. Yu. Hozzávetőleges funkcionális integrációs módszerek kvantumfizikai modellek numerikus vizsgálatához (a fizika-matematikai tudományok doktori fokozatához értekezés). - M. , 2009.
Polyakov A. M. Mérőmezők és húrok. - Izhevsk: RHD, 1999. - 316 p.
Popov VN Continuum integrálok a kvantumtérelméletben és a statisztikai mechanikában. — M .: Atomizdat , 1976. — 256 p.
Slavnov AA, Faddeev LD Bevezetés a mérőmezők kvantumelméletébe. - M. : Nauka, 1988. - 272 p.
Smolyanov O. G. , Shavgulidze E. T. Continuum integrálok. — M .: Nauka, 1990. — 150 p.
Feynman R., Hibs A. Kvantummechanika és útintegrálok. - M. : Mir, 1968. - 384 p.
Shestakova TP Útintegrál módszere a kvantumtérelméletben. Előadás tanfolyam. - M . : In-t számítógép. issled., 2005. - 228 p. — ISBN 5-939724-07-8 .
Cikk a Physical Encyclopedia-ban (A. A. Slavnov): http://femto.com.ua/articles/part_2/4433.html

Richard Feynman
A tudomány	Feynman diagramok Egyhurkos Feynman diagram Feynman-Katz képlet Wheeler-Feynman abszorpciós elmélet Bethe-Feynman képlet Hellmann-Feynman tétel Feynman perjel jelölés Feynman-paraméterezés Fogalmazás útintegrálokkal Parton (részecske) propagátor ragadós gyöngy érv Az egyelektronos univerzum elmélete Kvantum cellás automata Rogers Bizottság Feynman sakktábla Feynman pont Feynman öntöző Feynman-Smoluchowski racsnis
Művek	" Rengeteg szoba lent " (1959) "The Feynman Lectures on Physics " (1964) " A fizikai törvények természete " (1965) " A QED a fény és az anyag furcsa elmélete " (1985) – Természetesen viccel, Mr. Feynman! » (1985) „ Mit érdekel, mit gondolnak mások? » (1988) " Feynman elveszett előadása " (1997) " Az egész értelme " (1999) " The Pleasure of Finding Things " (1999) " Tökéletesen ésszerű eltérések a járt pályától " (2005)
Egyéb	Tudományos rakománykultusz " Kvantumember: Richard Feynman élete a tudományban " (2011) Tuva vagy Bust! Feynman nanotechnológiai díj " Végtelen " (film, 1996) " QED " (színdarab, 2001) " Challenger " (film, 2013)