Kvantumtér-perturbáció elmélet a statisztikai fizikában

A kvantumtér-perturbáció elmélete a statisztikus fizikában a statisztikai fizika kölcsönható rendszereinek tanulmányozására szolgáló módszer, amely eredetileg az elemi részecskefizika igényeire kifejlesztett technikákon alapul. A perturbációelmélet (PT) egy kicsinek tekintett perturbáció lépésről lépésre történő figyelembevételén alapul. A nulla lépésnél ez a zavar teljesen megszűnik, ami egy idealizált szabad (perturbáció nélküli) rendszernek felel meg. A következő lépésben a perturbációban már lineáris nulla közelítésre vonatkozó korrekciót veszik figyelembe, a második lépésben a másodfokú korrekciót, és így tovább. Természetesen így nem lehet figyelembe venni az összes megrendelés hozzájárulását a számított értékhez. Általában a bővítés első néhány feltételére korlátozódnak, és jól illeszkednek a kísérleti adatokhoz. A számítások pontosításához a következő bővítési feltételeket kell figyelembe venni. A TV-t nagyon sikeresen használják az útintegrálok módszerében [ 1] [2]

Bevezetés

A statisztikai fizika fontos tárgya a teljes korrelációs függvény . Az útintegrálok formalizmusában az n-pontú korrelációs függvényt a következőképpen definiáljuk: [3]

G_{k}(x_{1},...,x_{n})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi \phi (x_{1})...\phi (x_) {n})e^{{-S}}}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{{-S(\phi )))}},

itt a vizsgált rendszer Hamilton -féle , a Boltzmann-állandó , az abszolút hőmérséklet és a sorrendi paraméter véletlenszerű mezője (például a rendszersűrűség eltérése az átlagtól). Vegye figyelembe, hogy ezt néha "akciónak" nevezik, de nem szabad összetéveszteni a valódi cselekvéssel . A korrelációs függvények közvetlenül mérhetők kísérletekben, például a fény szóródásán a sűrűség-ingadozásokkal $S(\phi )={\frac {H(\phi )}{k_{B}T}}$ $H(\phi)$ $k_B$ $T$ $\phi (x)$ $S(\phi )$

A rendszer teljes fizikáját a típus és a tulajdonságok határozzák meg . A statisztikai fizika legfontosabb modellje a modell , amelyet a következő képlet írja le: $S(\phi )$ $\phi^4$

S(\phi )=\int dx\left({\frac {c(\nabla \phi (x))^{2}}{2}}+{\frac {\tau {\phi (x)}^ {2}}{2}}+{\frac {g{\phi (x)}^{4}}{4!}}\jobbra)

Feltételezzük, hogy itt minden paraméter a hőmérséklet analitikus függvénye. Ez a modell jól leírja a folyadékok és gőzök viselkedését a kritikus pont közelében, a mágnesek viselkedését a Curie-pont közelében stb.

A korrelációs függvények kiszámításához ki kell számítani a megfelelő útvonalintegrált egy adott művelethez vagy a generáló függvényhez . Nyilvánvaló, hogy általános esetben ez lehetetlen. Pontos analitikai kifejezést csak olyan cselekvésekre kaphatunk, amelyek a mezőben kvadratikusak, azaz Gauss-eloszlás esetén . Emiatt itt a TV módszert alkalmazzuk. Egy kis zavar a vizsgált elméletben a kifejezés . $g\phi ^{4}$

A végtelenség problémája

A perturbáció kicsinysége lehetővé teszi a g csatolási állandó exponenciális hatványainak kiterjesztését és az útintegrálok további kiszámítását másodfokú Hamilton-féleséggel. Az ilyen számítások a Wick-tétel és a Feynman-szabályok alkalmazásán alapulnak . Használatuk során vegyünk egy kétpontos korrelációs függvényt:

G_{2}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi e^{{-S_{0))}\phi (x_{1}) \phi (x_{2})\sum _{{j=0}}^{{\infty }}{\frac {1}{j!)}}{\left(-\int dx{\frac {g \ phi ^{4}}{4!}}\jobbra)}^{j}}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{{-S_{0}}}\sum _{{j = 0}}^{{\infty }}{\frac {1}{j!)}}{\left(-\int dx{\frac {g\phi ^{4}}{4!}}\jobbra )} ^{j}}}.

A csatolási állandó nulladrendű TV-jében megkapjuk a szabad elmélet korrelációs függvényét:

G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi e^{{-S_{0))}\phi (x_ {1})\phi (x_{2})}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{{-S_{0}}}}},

g-ben az első sorrendben a következők vannak:

G_{2}^{1}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi e^{{-S_{0))}\phi (x_ {1})\phi (x_{2})\left(-\int dx{\frac {g\phi ^{4}}{4!}}\jobbra)}{\int {\mathfrak {D}} \phi e^{{-S_{0}}}}}},

akkor a korrelációs függvény egy ilyen lineáris közelítésben a következő lesz:

G_{2}(x_{1},x_{2})=G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})+G_{2}^{1}(x_{1}, x_{2})+O(g^{2})

Minden korrekció a szabad elmélet propagátorból és az interakciós tagból épül fel . Az impulzusábrázolásban az első g korrekció a következő kifejezésnek felel meg: $G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})$ $g\phi ^{4}$

G_{2}^{1}(p)=-{\frac {g}{2}}G_{2}^{0}(p)\int {\frac {d^{4}k}{(2 \pi )^{3}}}G_{2}^{0}(k)

, ahol

G_{2}^{0}(k)={\frac {1}{ck^{2}+\tau }}.

Látható, hogy ez az integrál nagy impulzusok - UV (ultraibolya) - divergencia esetén divergál. Ha bevezetünk egy cutoff paramétert, azaz korlátozzuk az integrációs területet a feltétellel , akkor . Így egyértelmű, hogy már a TV első lépésénél végtelen kifejezések jelennek meg. Általánosságban elmondható, hogy a végtelenek nemcsak az integrálok UV divergenciái miatt jelenhetnek meg, hanem IR divergenciák (kis momentumoknál), kollineáris divergenciák (a momentum párhuzamossága miatt) stb . példa . Ennek eredményeként a számított kifejezések ezektől az ismeretlen regularizációs paraméterektől függenek. Lehetőség van azonban az eredeti mezők és díjak újradefiniálására , hogy a válasz ne tartalmazzon szabályosítót. Technikailag ez úgy történik, hogy az eredeti (alap) művelethez ellenszavakat adunk, amelyek a regularizációs paramétertől függenek, és felszámolják az összes szabályosított tagot g-ben minden sorrendben, így a válaszok végesek. Az ilyen korrigált művelettel rendelkező elméletet renormalizáltnak nevezzük. Kiderült, hogy az elméleti eltéréseket nem mindig lehet csökkenteni. Ha a divergens járulékok száma véges, akkor az elmélet szuperrenormálható, ha a számuk végtelen, de minden sorrendben törölhetők, akkor az elmélet renormálható, ha ez nem lehetséges, akkor az elmélet nem renormalizálható. A modell 4-nél kisebb térdimenziókban szuperrenormálható, 4 dimenzióban újranormálható, nagyobb dimenziójú térben lehetetlen az összes végtelent törölni. Általában egy elmélet egyik vagy másik kategóriába való tartozását a töltés mérete határozza meg. $|k|\leqslant \Lambda$ $G_{2}^{1}(p)\sim {\Lambda }^{2}$ $\lambda$ $\phi ^{4}$

A rendszeresítés másik módja a tér dimenziójának eltolása . Ebben a megközelítésben az integrálok divergens részei pólusok formájában vannak a paraméterben . Az ellenszavak hozzáadása az alapművelethez egyenértékű a kezdeti (seed) paraméterek kiterjesztésével: $4\jobbra nyíl 4-\epszilon$ $\epsilon$

\phi (x)\rightarrow Z_{{\phi }}\phi (x),g\rightarrow g\mu ^({\epsilon }}Z_{g},\tau \rightarrow \tau Z_{{\tau } }.

Számításkor a legkényelmesebb a minimális kivonási séma vagy az MS-séma (a minimális kivonásokból). Ebben a mennyiségek a dimenzió nélküli g függvényei (g dimenzióját a renormalizációs tömeg „átveszi” ) és . Ezeknek a mennyiségeknek megvan a szerkezetük $Z_{{\phi )),Z_{g},Z_{{\tau }}$ $\mu$ $\epsilon$

Z(g,\epsilon )=1+\sum _{{n=1}}^({\infty }}g^{n}\sum _{{i=1}}^{{n}}{\ epsilon }^{{-i}}a_{{ni}},

hol vannak a numerikus tényezők [4] [5] . $a_{{ni}}$

Sorozatkonvergencia

A renormalizálás után a TV-sorozat minden tagja véges hozzájárulást ad. A következő megoldandó probléma a kapott sorozatok konvergenciája.

Nyilvánvaló, hogy az egyes hozzájárulások végessége nem vonja maga után a tévésorozat végességét. A konvergencia sugarának meghatározásához használhatja a d'Alembert jelet :

R=\lim _{{N\rightarrow \infty }}{\frac {C_{N}}{C_{{N+1}}}},

íme egy sorozat valamely mennyiségének tágulási együtthatói g-ban. Ez azt jelenti, hogy a konvergencia sugarának meghatározásához elegendő ismerni at aszimptotikus viselkedését , azaz a magas rendűek aszimptotikus viselkedését (HTO). $C_{N}$ $C_{N}$ $N\jobbra \infty$

Tekintsük a teljes n-pontú korrelációs függvényt a g töltés függvényének. Sorozatbővítése g-ben a következő:

G_{n}(x_{1},...,x_{n},g)=\sum _{{N=0}}^{{\infty }}g^{N}G_{n}^{ N}(x_{1},...,x_{n}),

és a tágulási együtthatókat, az analitikusság feltételezése mellett , a következő képlet határozza meg : $G_{n}(g)$

G_{n}^{N}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\gamma }{\frac {G_{n}(g)}{g^{{N+ 1 }}}}dg.

Ez a nézet lehetővé teszi az átigazolási módszer alkalmazását a WUA-k tanulmányozására. Az n-pontos korrelációs függvény kiterjesztési együtthatóinak AVP végső kifejezése:

G_{n}^{N}(x_{1},...,x_{n})=c(n)N!N^{{b(n)}}a^{N}(1+O( 1/N))F(x_{1},...,x_{n}),

a c(n), b(n) mennyiségek csak n-től függenek, a konstans, és néhány függvény. Látható, hogy a tévésorozatok semmiféle konvergenciájáról nem kell beszélni. A legtöbb esetben a tévésorozatok tünetmentesek. [6] [7] $F(x_{1},...,x_{n})$

Kritikus indexek dekompozíciói

Annak ellenére, hogy az UV eltérések megjelenése a TV-ben nehézségekhez vezet, ennek a helyzetnek van egy pozitív oldala is. Mint már ismeretes, a dimenzióregulációban a Z renormalizációs állandók pólusszerkezete a -ben . Kiderül, hogy a renormalizációs állandók egyszerű pólusainál lévő maradékok tartalmaznak minden információt a modell kritikus viselkedéséről, vagyis a kritikus pont közelében való viselkedésről. A kritikus indexek közvetlenül kapcsolódnak az anomális méretekhez, amelyeket ezek a maradékok határoznak meg: . Ebben a megközelítésben a kritikus indexek sorozatok szegmenseiként épülnek fel a paraméter szempontjából [8] . Amint azt az ilyen -kiterjesztés ATP-jének elemzése mutatja, ezen sorozatok együtthatói ugyanolyan aszimptotikusak (a, b(n), c(n természetesen különböznek), mint az n-pontos korrelációs függvények. Ezért nincs értelme az ilyen bővítések közvetlen összegzésének, mivel a következő tag nagyobb hozzájárulást jelent, mint az előző. A faktorálisan divergens sorozatok azonban általánosított értelemben is összegezhetők, és meglehetősen jó eredményeket kaphatunk, és a végeredménybe tegyük bele, ha háromdimenziós rendszerekre vagyunk kíváncsiak, vagy kétdimenziós esetben. Megjegyezzük, hogy a kritikus exponenseket kezdetben Landau átlagtérelméletének keretein belül számították ki, és rosszul egyeztek a kísérlettel. A renormalizációs csoportos megközelítés ( - expanzió) lehetővé teszi a kritikus kitevők jó pontosságú kiszámítását [9] . $\epsilon$ $\eta =2\gamma _{{\phi }}(g_{*}),1/\nu =2+\gamma _{{\tau }}(g_{*})$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon=1$ $\epsilon=2$ $\epsilon$

Perturbációs sorozat Borel összegzése

Most összpontosítsunk egy módszerre, amely lehetővé teszi a faktorálisan eltérő sorozatok összegzését.

Tegyük fel, hogy valamilyen funkció

Q(z)=\sum _{{k=0}}^{{\infty }}Q_{k}z^{k}

típusú WUA-val rendelkezik . Ekkor egy függvény Borel -függvénye a függvény $Q_{k}\sim k!k^{b}{(-a)}^{k}$ $B(z)$ $Q(z)$

B(z)=\összeg _{{k=0}}^{{\infty }}B_{k}z^{k}

oly módon, hogy

B_{k}={\frac {Q_{k}}{(k+b_{0})!}},

és

Q(z)=\int \limits _{{0}}^{{\infty }}e^{{-t}}t^{{b_{0}}}B(zt)dt.

Ennek az állításnak az érvényessége Watson [10] [11] tételén alapul , ami akkor igaz, ha a Q(z) függvény a z változó komplex síkjának valamelyik szektorában analitikus. A kvantumtérelméletben és a statisztikus fizikában általában nem ismerjük előre annak a függvénynek az analitikai tulajdonságait, amelyre a tévésorozatot megszerkesztjük, így a Watson-tétel alkalmazhatósága továbbra is kérdéses marad. Tekintsük a függvényt a z komplex változó függvényének. Tágulási együtthatóinak meghatározásából az következik, hogy a megfelelő WUA a következő formában lesz: $B(z)$

B_{k}\sim {(-a)}^{k}k^{{b-b_{0}}}.

Ebből következik, hogy a körben a sorozat a függvényhez konvergál $|z|<1/a$

B(z)={\frac {r_{1}}{{(1+az)}^{{b-b_{0}+1}}}}+r_{2},

hol vannak az állandók. Vegyük észre, hogy az integrációs kontúr keresztezi a sorozat konvergencia körét, és túlmutat az analitikus tartományon , ezért az érték kiszámításához analitikus folytatásokat kell építeni a konvergencia tartományon túlra. Az ilyen bővítmények többféleképpen is kialakíthatók. Az egyik a Padé-féle közelítő módszer . A közelítés további követelménye a pólusok hiánya az integrációs tengelyen. A második módszer a konformális leképezések módszere [12] $\r_{1},r_{2}$ $B(z)$ $B(z)$ $Q(z)$ $B(z)$

Így az újraösszegzési eljárás egy konvergens sorozatra való áttérésből, annak összegének kiszámításából és az eredeti értékre történő inverz transzformációból áll. Ha ezt a módszert S összegű közönséges konvergens sorozatokra alkalmazzuk, akkor Borel-összegzés után ugyanazt az S választ kapjuk.

Példaként bemutatjuk néhány kritikus exponens értékét, amelyet egy izotróp ferromágnesre összegzéssel - expanzió (öt hurok) ( ), magas hőmérsékletű expanzió (HT) és kísérletileg (E) - kaptunk: $\epsilon$ $\epsilon$

Látható, hogy minden kritikus kitevő számítási módszere ugyanazt az eredményt adja a hibán belül. Így annak ellenére, hogy a tévésorozatok aszimptotikusak, és a formálisan kis terjeszkedési paraméter valójában egységnyi nagyságrendű és még nagyobb is, a számítási eredmények abszolút objektívek. A perturbatív QED ellenőrzése olyan mennyiségekre, mint a Lamb-eltolás vagy az anomális mágneses momentum, rekord pontosságot ad az elmélet és a kísérlet közötti egyetértésről. Az elemi részecskefizika elektrogyenge kölcsönhatásainak standard modellje is elképesztő egyezést mutat a perturbációelméleti számítások és a kísérleti eredmények között. A TV azonban minden hatékonysága ellenére korlátozottan alkalmazható. Ezek a korlátok összefüggenek mind a hurokszámítások bonyolultságának növekedésével a TV minden egyes sorrendjében, mind az elmélet perturbatív és nemperturbatív spektruma közötti alapvető különbséggel. A QCD -ben nem lehet boldogulni pusztán perturbatív számításokkal a bezártság jelenléte és az infravörös tartományban a csatolási állandó nagy értéke miatt.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Popov V.N. Útintegrálok a kvantumtérelméletben és a statisztikai fizikában. — M .: Atomizdat , 1976.
↑ Schroeder D., Peskin M. Bevezetés a kvantumtérelméletbe. - Izhevsk: RHD, 2001. - ISBN 5-93972-083-8 .
↑ A. N. Vasziljev. Funkcionális módszerek a kvantumtérelméletben és -statisztikában. - Leningrád: Leningrád. un-t, 1976. - S. 1976.
↑ Vasziljev A. N. Kvantumtér renormalizációs csoport a kritikus viselkedés és a sztochasztikus dinamika elméletében. - Szentpétervár: PNPI, 1998. - P. 77. - ISBN 5-86763-122-2 .
↑ John C. Collins. Renormalizálás . – Cambridge. - Cambridge University Press: Cambridge University Press, 1984. - 62. o . — ISBN 0-521-24261-4 .
↑ Lipatov L.N. A perturbációelmélet és a félklasszikus elmélet sorozatának eltérése // ZhETF. - 1977. - T. 72 . - S. 411 .
↑ Brezin E., Le Guillou JC, Zinn-Justin J. Perturbation theory at large order. I. Az interakció // Phys. Fordulat. D. - 1977. - T. 15 , 1544. sz . $\phi ^{{2N}}$
↑ Ma Sh. A kritikai jelenségek modern elmélete. - Colorado: Westview Press, 2000. - P. 172. - ISBN 978-0738203010 .
↑ Patashinsky A. Z., Pokrovsky V. L. Fázisátmenetek fluktuációelmélete. — M.: Nauka, 1982. — S. 347.
↑ Reed M., Simon B. 4 // A modern matematikai fizika módszerei, operátorok elemzése. - California: Academic Press, 1978. - P. 50. - ISBN 978-0125850049 .
↑ H. Hardy. Divergent sorozat. New York: Chelsea Pub. Co., 1991. - ISBN 978-0821826492 .
↑ Zinn-Justin J. Kvantumtérelmélet és kritikai jelenségek. - Oxford: Clarendon Press, 1996. - P. 997. - ISBN 978-0198509233 .

Irodalom

Itsikson K, Zyuber Zh. B. Kvantumtérelmélet. 1. kötet 2. kötet .. - M . : Mir, 1987.
Zee E. A kvantumtérelmélet dióhéjban – "RCHD" Kutatóközpont, 2009.
Wilson K. Renormalizációs csoport és kritikai jelenségek: Nobel-előadás. – 1982.