Gauss kontinuum eloszlás
A Gauss-féle kontinuum-eloszlást a kvantumtérelméletben vezették be a véges dimenziós vektorok Gauss-eloszlásának fogalmának kiterjesztése a skalár- és vektormezők kontinuumtereire . A kontinuum eloszlást aktívan használják a funkcionális integrálok apparátusában .
Definíció
Tekintsünk egy mezőt valamilyen térből , amelyet a probléma feltételei határoznak meg (a probléma általában olyan feltételeket határoz meg, mint a simaság és a végtelenben való csökkenés). Általában tetszőleges számú ikonja és argumentuma van. Ha a mezőikonok halmazát , az argumentumok halmazát pedig -ként jelöljük , akkor a normál (Gauss) eloszlássűrűséget funkcionálisnak nevezzük.
,
![{\displaystyle \rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\iint \limits _{\Omega ^{2}}\!\mathrm { d} X_{1}\,\mathrm {d} X_{2}\,\varphi _{I_{1}}(X_{1})\cdot K_{I_{1},I_{2}}(X_ {1},X_{2})\cdot \varphi _{I_{2}}(X_{2})\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df90230b065fce148f45dfb81b6aa7560d2c8a09)
ahol a mező argumentumainak tartománya , az összegzést az ikonkészletek jelentik , és ez valamilyen differenciál-integrál operátor magja , és egy normalizációs állandó.
Ezt a definíciót általában rövidebben írjuk, figyelmen kívül hagyva a jeleket, érveket és integrációkat:
.
![{\displaystyle \rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)\right\}=C \exp \left\{-{\frac {\varphi K\varphi }{2}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8079e0c665e981498992004c24282f2b0e24007)
Átlagok
Tegyük fel, hogy valamilyen mennyiség átlagértékét szeretnénk kiszámítani ( állapotfüggvény ) . Bemutatjuk az átlagolás műveletét
![{\displaystyle F[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2efa2888b17d414da8ac85ac12a7926e69ade1c)
![{\displaystyle \langle F\rangle =\int \limits _{E}\!{\mathcal {D}}\varphi \,\rho \left[\varphi \right]F[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def965106793053b60205b4a7712aa57c9639315)
A funkcionális (útvonal) integrál a kifejezés jobb oldalára van írva (a részletekért lásd: Funkcionális integrál ).
Gauss-útintegrálok számítása
Útvonal Gauss integrálok esetén működik az n-dimenziós Gauss integrálok képletének általánosítása az útvonal esetére:
.
![{\displaystyle \int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)+\left (A,\varphi \right)\right\}=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{-1/2}\exp \left\{{\frac { (A,K^{-1}A)}{2}}\jobbra\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88dd7586b1dd330e16e316ee72b6228ec15415b)
Normalizálási feltétel és állandó
A normalizálási feltétel bemutatása
![{\displaystyle \int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\rho \left[\varphi \right]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b26db962bc5b4df0934f5e6e6c3700910c1023)
és az előző bekezdés képletével azt kapjuk
.
![{\displaystyle C=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f758b76ab1854e42b36498d8bcc0d110e3b2a50f)
Lásd még
Irodalom
- Richard Phillips Feynman, Albert R. Hibbs. Kvantummechanika és útintegrálok. - "Mir" kiadó, 1968.