Wick-tétel a funkcionális integrálra

A funkcionális integrál Wick-tétele egy többdimenziós Gauss-vektor koordinátáiban lévő polinomra vonatkozó Wick-tétel általánosítása Gauss-kontinuum-eloszlás esetére . Széles körben használják a funkcionális integrálok berendezésében .

Megfogalmazás

Tétel.

A véletlenszerű mező feleljen meg a kontinuum Gauss-eloszlásnak nulla átlaggal, azaz. . Ekkor a következő igaz a mennyiségi szorzatok átlagértékeire : $\varphi (X)$ $\langle \varphi (X)\rangle =0$ $\varphi _{i}=\varphi (X_{i})$

$\langle \varphi _{1}\cdot \ldots \cdot \varphi _{N}\rangle =\sum \langle \varphi _{i_{1}}\varphi _{j_{1}}\rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi _{i_{N/2}}\varphi _{j_{N/2}}\rangle ,$

ha még, és $N$

$\langle \prod _{i\in I}\varphi _{i}\rangle =0,$

ha páratlan. $N$

Under alatt a halmaz felosztását értjük párokra , míg az összegzés az összes lehetséges különböző partíción átmegy ilyen párokba. $\langle \varphi _{i_{1}}\varphi _{j_{1}}\rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi _{i_{N/2}}\varphi _{j_{ N/2}}\rangle$ $\{1,\ldots ,N\}$ $N/2$ $(i_{k},j_{k})$ $\{1,\ldots ,N\}$

Példák

A termék 4 eleméhez: . $\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\rangle =\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\rangle \cdot \langle \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\rangle +\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{3}\rangle \cdot \langle \ varphi _{2}\cdot \varphi _{4}\rangle +\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{4}\rangle \cdot \langle \varphi _{2}\cdot \varphi _{ 3}\rangle$

A termék 6 eleméhez:

$\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\cdot \varphi _{5}\cdot \varphi _{6 }\rangle =\sum \langle \varphi _{i}\cdot \varphi _{j}\rangle \cdot \langle \varphi _{k}\cdot \varphi _{l}\rangle \cdot \langle \varphi _{m}\cdot \varphi _{n}\rangle$ ,

továbbá az összegzés a halmazból kiválasztott összes lehetséges párosításon történik , például, vagy (összesen 15 ilyen párosítás van). ${\megjelenítési stílus (i,j),(k,l),(m,n)}$ ${\megjelenítési stílus \{1,2,3,4,5,6\))$ ${\megjelenítési stílus (1,3),(2,5),(4,6)}$ ${\megjelenítési stílus (1,5),(2,4),(3,6)}$

Hasonlóképpen 8 vagy több elem esetén

Használat

Ismeretes, hogy ha a Gauss-eloszlási sűrűséget a képlet írja le

$\rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {\varphi K\varphi }{2}}\right\}$ ,

akkor

$\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\rangle =\langle \varphi (X_{1})\cdot \varphi (X_{2})\rangle =K^{-1 }(X_{1}, X_{2})$ .

Vagyis bármely korrelációs függvény kifejezhető a Wick-tétellel kombinációk formájában , azaz pl. $G(X_{1},\ldots ,X_{N})=\langle \varphi (X_{1}),\ldots ,\varphi (X_{N})\rangle$ $K^{-1}$

$G(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})=K^{-1}(X_{1},X_{2})\cdot K^{-1 }(X_{3},X_{4})+K^{-1}(X_{1},X_{3})\cpont K^{-1}(X_{2},X_{4})+ K^{-1}(X_{1},X_{4})\cdot K^{-1}(X_{2},X_{3})$ .

Lásd még

Irodalom

Vasziljev A.N. Kvantumtér renormalizációs csoport a kritikus viselkedés és a sztochasztikus dinamika elméletében. - A Szentpétervári Nukleáris Fizikai Intézet (PNPI) kiadója, 1998. - ISBN 5-86763-122-2 .