Green hőmérsékleti függvényei

A hőmérséklet Green függvényei a Green függvények néhány módosítása a nem nulla hőmérsékletű kvantummechanikai rendszerekben. Kényelmesek egy rendszer termodinamikai tulajdonságainak kiszámítására, valamint információkat tartalmaznak a kvázirészecskék spektrumáról és a gyengén nem egyensúlyi kinetikai jelenségekről.

Interakciós rendszerekben a hőmérséklet Green-függvényeinek megfelelő diagramtechnika megszerkeszthető. Ezt a technikát széles körben használják a fázisátalakulások ( szupravezetés , szuperfluiditás , Curie-pont ) tanulmányozására különböző rendszerekben. Az ilyen rendszerek tanulmányozása nem triviális feladat. A nem kölcsönható részecskék modellje nem alkalmas magának az átmeneti mechanizmusnak és az átmeneti pont alatti állapot leírására. Itt a részecskék közötti kölcsönhatás döntő szerepet játszik. Az ilyen interakciók számítása jelentősen megnehezíti az alkalmazott matematikai berendezést. A Green-függvények hőmérsékleti apparátusa két egyenértékű megfogalmazásban fejleszthető: kvantummechanikai operátorok segítségével vagy funkcionális integrálok módszerével. Ez utóbbi módszer egyik előnye a mezőoperátorok nem kommutativitása és a különféle rendezési problémák hiánya. [egy]

Kezelői megközelítés

A hőmérséklet meghatározása Green függvényei

A „Heisenberg-reprezentációban” szereplő Matsubara operátorokat a [2] összefüggésekkel mutatjuk be : ${\hat {\Psi ))$

{\hat {\Psi }}(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )e^{-\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})},

{\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}} )}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}e^{-\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}.

Általánosságban elmondható, hogy ezek az operátorok spin indexekkel rendelkezhetnek. Ezekben a képletekben egy valós változó , tehát az operátorok és nem hermitikus konjugátumok, a rendszer kémiai potenciálja , a rendszer Hamilton - operátora és a részecskeszám operátora. Operátorok és Hermitian-Adjoint Field Operátorok a Schrödenger Képviseletben . Látható, hogy a Matsubara operátorok „Heisenberg-reprezentációja” az utóbbi változásával tér el a valódi Heisenberg-reprezentációtól , azaz formálisan ez a képzeletbeli időre való átmenetként fogható fel . A hőmérséklet Green függvénye a következőképpen definiálható: $\tau$ $\tau \in(0,1/T)$ ${\hat {\Psi ))(\tau ,\mathbf {r} )$ ${\hat {\Psi ))^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )$ $\mu$ ${\kalap {H}}$ ${\hat {N}}=\int d\mathbf {r} {\hat {\psi }}^{+}(\mathbf {r} ){\hat {\psi }}(\mathbf { r} )$ ${\hat {\psi ))(\mathbf {r} )$ ${\hat {\psi }}^{+}(\mathbf {r} )$ $t\rightarrow -i\tau$

G(\tau ,\mathbf {r} _{1};\tau ',\mathbf {r} _{2})=-{\frac {Tr\left\{e^{\frac {( {\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{T}}T_{\tau }{\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} _{1}){\hat {\Psi }}(\tau ',\mathbf {r} _{2})\right\}}{Tr\left\{e^{\frac {({\hat { H}}-\mu {\hat {N}})}{T}}\jobbra\}}},

ahol a szimbólum jelentése " - kronologizálás" - az operátorok balról jobbra történő elrendezése csökkenő sorrendben . Fermi-részecskék esetében az operátorok permutációja a közös előjel megváltozásához vezet. [3] Ezzel a funkcióval kiszámíthatja a részecskék számát a kémiai potenciál függvényében, vagy a kémiai potenciált a koncentráció és a hőmérséklet függvényében: ${\displaystyle T_{\tau ))$ $\tau$ $\tau$ $N=\pm \int d\mathbf {r} G(\tau ,\mathbf {r} ;\tau +0,\mathbf {r} ).$

A szabad részecskék esete

Egy szabad rendszer Hamilton-rendszerének Schrödinger-mezőoperátoraival kifejezett alakja [4] :

\quad {\hat {H_{0}}}=\int {\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}\left(-{\frac {\Delta }{2m }}\jobbra){\hat {\psi }}(\mathbf {r} )d\mathbf {r} ,

a másodlagos kvantálási reprezentációban is a következőképpen lesz írva:

{\hat {H_{0}}}=\sum \varepsilon _{0}(\mathbf {p} ){\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}{\ kalap {a}}_{\mathbf {p} },\quad \varepsilon _{0}(\mathbf {p} )=p^{2}/2m,

ami az -operátorok definíciójából következik : ${\hat {\psi ))$

{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum e^{i\mathbf {p} \mathbf {r} } {\hat {a}}_{\mathbf {p} },\qquad {\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}={\frac {1}{\sqrt {V} }}\sum e^{-i\mathbf {p} \mathbf {r} }{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}.

A hőmérséklet Green szabad részecskék függvénye az impulzus-"idő" reprezentációban:

G(\mathbf {p} ,\tau ,\tau ')=e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )(\tau -\tau ')}\left(\Theta ( \tau '-\tau )\mp {\frac {1}{e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )\beta }\pm 1}}\right),

itt $\xi _{0}(\mathbf {p} )=\varepsilon _{0}(\mathbf {p} )-\mu ,\quad \beta =1/T.$

Kölcsönhatásban lévő részecskék

Tegyük fel, hogy a külső mezők nem hatnak a részecskék rendszerére, és a részecskék közötti kölcsönhatások páros jellegűek. A rendszer Hamilton-rendszerét a következő formában ábrázoljuk: Vezessünk be Matsubara operátorokat az interakció relációk általi reprezentációjában [5 ] ${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{int}.$

{\hat {\Phi }}(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}}) }{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )e^{-\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})},

{\hat {\Phi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N)))}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}e^{-\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat { N)))}.

A Hamilton- operátorokkal kifejezett zavart része a következőképpen alakul: ${\hat {\Phi ))$

{\hat {H}}_{int}={\frac {1}{2}}\int \int d\mathbf {r_{1}} d\mathbf {r_{2}} {\hat {\Phi }}(\mathbf {r_{1}} ,\tau ){\hat {\Phi }}^{\tőr }(\mathbf {r_{1}} ,\tau )U(\mathbf {r_ {1}} -\mathbf {r_{2}} ){\hat {\Phi }}(\mathbf {r_{2}} ,\tau ){\hat {\Phi }}^{\tőr }(\ mathbf {r_{2}} ,\tau ).

Ugyanezen operátorokon keresztül definiálható a hőmérséklet Green függvénye:

G(\tau _{1},\mathbf {r} _{1};\tau _{2},\mathbf {r} _{2})=-{\frac {Tr\left\{ e^{({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})\beta }T_{\tau }{\hat {\Phi }}(\tau _{1}, \mathbf {r} _{1}){\hat {\Phi }}^{\dagger }(\tau _{2},\mathbf {r} _{2})S(\beta )\right\} }{Tr\left\{e^{\frac {({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}{T}}S(\beta )\right\} }},

S(\beta )=T_{\tau }\exp {\left(-\int \limits _{0}^{\beta }{\hat {H))_{int}(\tau )d \tau\right)}.

Egy ilyen jelölés lehetővé teszi az exponenciális perturbációval történő bővítését és a hőmérséklet Green-függvény kiszámítását sorozat formájában, és a sorozat minden tagja grafikusan ábrázolható diagram formájában.

A hőmérséklet diagram technikájának szabályai. koordináta ábrázolás.

	Diagram elemek		Analitikus kifejezés
	cím	kép	Analitikus kifejezés
egy	folytonos vonal		$G_{0}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\tau _{1}-\tau _{2})$
2	folytonos vonal		$G_{0}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\tau _{2}-\tau _{1})$
3	Hullámos vonal		${\mathfrak {U}}(x_{1}-x_{2})=U(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\delta (\tau _ {1}-\tau _{2})$
négy	Rajzolja meg az összes kapcsolódó topológiailag nem egyenértékű diagramot 2n csúcsgal és két külső véggel, ahol két folytonos vonal és egy hullámvonal konvergál minden csúcsban.
5	Az integráció az egyes csúcsok koordinátái ( ) felett történik . $d^{4}z=d\mathbf {r} d\tau$
6	A kapott kifejezést megszorozzuk -vel , n a diagram sorrendje, F a benne lévő zárt fermionikus hurkok száma. ${\megjelenítési stílus (-1)^{n+F))$

Ezeket a szabályokat felhasználva ábrázoljuk az elsőrendű korrekciót a hőmérséklet zavarában. Green-féle kölcsönható részecskék függvény. Ehhez a kitevő bővítésében lineáris tagra kell szorítkoznunk. Ezután a Wick-tételt figyelembe véve megrajzoljuk az összes összefüggő (a diagram bármely két pontja összeköthető egy vonallal) elsőrendű diagramot:

A megfelelő analitikai kifejezés például a 2. diagramhoz a következőképpen lesz írva:

Diag_{2}(xy)=-\iint d^{4}zd^{4}wG_{0}(xz)G_{0}(zw)G_{0}(wy){\mathfrak {U }}(zw).

A számításokhoz a koordináta-ábrázolás kényelmetlennek bizonyul, ezért a Fourier-analízis szokásos szabályait alkalmazva egyszerűbb az impulzus-frekvenciás ábrázolásban a teljes diagramtechnika megfogalmazása . Ebben az ábrázolásban a vizsgált diagram analitikus kifejezése a következő formában jelenik meg:

Diag_{2}(\mathbf {p} ,\omega _{n})=-{\frac {T}{(2\pi )^{3}}}\sum \limits _{\omega _ {m}}\int d\mathbf {p} _{1}G_{0}^{2}(\mathbf {p} ,\omega _{n})G_{0}(\mathbf {p} _{ 1},\omega _{m}){\mathfrak {U}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1},\omega _{n}-\omega _{m}),

ahol a zöld függvény a szabad rendszerben a következő alakú : [6] :

G_{0}(\mathbf {p},\omega _{n})={\frac {1}{i\omega _{n}-\varepsilon _{0}(\mathbf {p}) +\mu}},

\omega _{n}=(2n+1)\pi T

- fermionokhoz,

\omega _{n}=2n\pi T

- bozonokra. A hőmérséklet diagram technikájának szabályai. Impulzus-frekvencia ábrázolás.

	Diagram elemek		Analitikus kifejezés
	cím	kép	Analitikus kifejezés
egy	folytonos vonal		$G_{0}(\mathbf {p} ,\omega _{n})$
3	Hullámos vonal		${\mathfrak {U}}(\mathbf {p} ,\omega _{n})=U(\mathbf {p} )$
négy	Párosítsa a diagram vonalait külső impulzusokkal és frekvenciákkal! A belső vonalak nyomatékának és frekvenciájának minden csúcsban meg kell felelnie a megmaradási törvényeknek $\sum \mathbf {p} =0,\sum \omega =0$
5	Az integráció az összes független impulzuson, az összegzés pedig a frekvenciákon történik.
6	A kapott kifejezést megszorozzuk -val , k a diagram sorrendje, F a diagram zárt hurkjainak száma, s pedig a részecske spinje. $(-1)^{k}{\frac {T^{k}}{(2\pi )^{3k}}}(2s+1)^{F}(\mp )^{F}$

A legegyszerűbb esetben (L. Landau) a potenciált a nulla kölcsönhatási sugárnak megfelelő formában vehetjük fel . Grafikusan ez két pont összehúzódásának felel meg, amelyeket egy hullámvonal köt össze. $U(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\sim \delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}) ,,$

Funkcionális integrációs módszer

A klasszikus statisztikai mechanikáról a kvantummechanikára való átmenet során a kanonikusan konjugált változók feletti integrációt egy nyom , azaz egy állapotok összege váltja fel . [7] Így egy Hamilton-operátorral rendelkező kvantumrendszer partíciós függvényét a következőképpen definiáljuk $p,q$ ${\kalap {H}}$

Z=Tre^{-\beta {\hat {H))}=\sum \limits _{n}{\langle n\vert e^{-\beta {\hat {H))}\vert n\rangle }.

Látható, hogy az összegjel alatti kifejezés a helyettesítésig hasonló az evolúciós operátor mátrixeleméhez . Ezt a mátrixelemet a Feynman-Katz formula [8] adja meg : $t\rightarrow -i\beta$

\langle q_{2}\vert e^{-it{\hat {H))}\vert q_{1}\rangle =\int \prod \limits _{t}{\frac {dp(t )dq(t)}{2\pi }}\exp {\left(i\int \limits _{0}^{t}\left(p{\pont {q}}-H(p,q)\ right)dt\right)}.

Figyeljünk arra, hogy a funkcionális integrálban szereplő mennyiségek klasszikus függvények, és a további számításoknál nincs probléma a kommutációs relációkkal. Végezzünk el egy Wick-forgatást ebben a képletben, és azonosítsuk be , majd a partíciófüggvény kifejezései a következő alakra lesznek átalakítva: ${\megjelenítési stílus p,q,H(p,q)}$ $q\sim \psi (x,\tau ),p\sim i\psi ^{+}(x,\tau )$

Z=\int \limits _{BC}{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}\psi ^{+}e^{-S_{\beta )),\qquad BC= {\begin{cases}\psi (x,\tau )=\psi (x,\tau +\beta ),&{\text{Bose))\\\psi (x,\tau )=-\psi ( x,\tau +\beta ),&{\text{Fermi}}\end{cases}},

ahol a hőmérsékletelmélet hatására az integrációt a megfelelő peremfeltételekkel rendelkező mezők felett hajtjuk végre (BC) Ideális gáz esetén ${\displaystyle S_{\beta ))$

S_{\beta }^{0}=\int \limits _{0}^{\beta }d\tau \int d\mathbf {x} \psi ^{+}(x,\tau )\ left(\partial _{\tau }+{\frac {\Delta }{2m}}-\mu \right)\psi (x,\tau ).

A párkölcsönhatás a sűrűség-sűrűség típusú kifejezés formájában is figyelembe vehető [9]

S_{\beta }^{int}={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\beta }d\tau \int d\mathbf {x} d\mathbf {x'} \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x,\tau )U(\mathbf {x} -\mathbf {x'} )\psi ^{+}(x',\ tau )\psi (x',\tau ).

Mint fentebb említettük, az objektumok nem mezőoperátorok. A fermionok esetében Grassmann -függvényekről van szó, ami a fermionos hullámfüggvények antiszimmetriájának öröksége. $\psi (x,\tau ),\psi ^{+}(x,\tau )$

A hőmérséklet meghatározása Green függvény

A Green-függvényt több súlyú mező szorzatának átlagaként definiáljuk . [10] Tehát a párkorrelációs függvényt a kifejezés adja meg $\exp(-S_{\beta })$

G(x,x',\tau ,\tau ')=\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle ={\frac {1 }{Z}}\int \limits _{BC}{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}\psi ^{+}\psi ^{+}(x,\tau )\psi ( x',\tau )e^{-S_{\beta )),\quad S_{\beta }=S_{\beta }^{0}+S_{\beta }^{int}.

Ennek az objektumnak a helyes meghatározásához, amint látható, további definícióra van szükségünk $G(x,x',\tau =\tau ')=G(x,x',\tau =\tau '+0).$

A szabad részecskék esete

Számítsuk ki a Green-függvényt nem kölcsönható részecskékre. Mint ismeretes [11] , ehhez meg kell találni az operátor magját a peremfeltételek figyelembevételével, vagyis meg kell oldani az egyenletet $\left(-\partial _{\tau }+{\hat {H}}_{1}\right)^{-1}$

\left(-\partial _{\tau }+{\hat {H}}_{1}\right)G_{0}(x,x',\tau ,\tau ')=\delta ( xx')\delta(\tau-\tau').

Az egyenlet elemileg megoldott az ábrázolásban $p-\tau$

G_{0}(\mathbf {p} ,\tau ,\tau ')=e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )(\tau -\tau ')}\left( \Theta (\tau '-\tau )\mp {\frac {1}{e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )\beta }\pm 1}}\right).

Amint látható, ennek a Greennek a függvénye egybeesik a Matsubara operátorokkal kapott Green függvényével. Ennek a függvénynek az egybeeső "időkkel" való kiterjesztése azt jelenti, hogy a théta függvény nullánál egyenlő nullával.

Kölcsönhatásban lévő részecskék

Tekintsük például a típusú részecskék közötti kölcsönhatású bozonokat . $U(xx')=\lambda \delta (xx'),\lambda >0.$ $\lambda$

\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle ={\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x' ,\tau ')\rangle }_{0}-{\frac {\lambda }{2}}\int \limits _{0}^{\beta }dt\int d\mathbf {y} {\langle \ psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\left(\psi ^{+}(y,\tau )\psi (y,\tau )\right)^{2 }\rangle }_{0}+O(\lambda ^{2}).

Készítsük el a megfelelő diagramtechnikát

A hőmérséklet diagram technikájának szabályai. koordináta ábrázolás.

	Diagram elemek		Analitikus kifejezés
	cím	kép	Analitikus kifejezés
egy	Kereszt		$\psi ^{+}(x,\tau )$
2	Pont		$\psi (x,\tau )$
3	propagátor		${\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle }_{0}=G_{+,0}(x,x',\tau ,\tau ')$
négy	propagátor		${\langle \psi (x',\tau ')\psi ^{+}(x,\tau )\rangle }_{0}=G_{0,+}(x',x,\tau ',\tau )$
3	Csúcs		${\displaystyle \left(\psi ^{+}(x,\tau )\psi (x,\tau )\right)^{2))$
5	Szorozzuk meg az egyes csúcsokat -val , ahol n a diagram sorrendje, r a szimmetriaegyüttható, a topológiailag ekvivalens gráfok száma. $(-\lambda /2)^{n}r/n!$
5	Az integráció az összes csúcskoordinátán keresztül történik.

Rajzolja meg első sorrendben az összes kapcsolódó grafikont

Csak egy diagram van hozzá . A korrekció megfelelő analitikai kifejezése $r=4$

Diag=-2\lambda \int \limits _{0}^{\beta }dt\int dyG_{+,0}(x,y,\tau ,t)G_{+,0}(y, y,t,t)G_{+,0}(y,x',t,\tau '),

ez a kifejezés pontosan ugyanaz, mint amit korábban az operátori módszerben kaptunk. A figyelembe vett potenciálhoz két 1. és 2. diagram ekvivalenssé válik, ezért az egyhurkos hozzájárulás eléréséhez az egyik diagramra vonatkozó kifejezést meg kell szorozni 2-vel. Természetesen ebben az esetben is indokolt átváltani a lendületábrázolás. Az impulzusábrázolás diagramjainak elkészítésének szabályai ugyanazok, mint korábban.

Jegyzetek

↑ Ishihara A. Statisztikai fizika. - M . : Mir, 1973. - S. 408.
↑ Abrikosov A. A., Gorkov L. P., Dzjalosinszkij I. E. A kvantumtérelmélet módszerei a statisztikai fizikában. - M . : Dobrosvet, KDU, 2006. - S. 153. - ISBN 5-98227-171-3 .
↑ Landau L.D., Lifshits E.M., Pitaevsky L.P. 2 // Statisztikai fizika. - M . : Nauka, 1976. - S. 172.
↑ Haken X. Szilárdtestek kvantumtérelmélete. - M . : Nauka, 1980. - S. 99.
↑ Abrikosov A. A., Gorkov L. P., Dzjalosinszkij I. E. A kvantumtérelmélet módszerei a statisztikai fizikában. - M . : Dobrosvet, KDU, 2006. - S. 166. - ISBN 5-98227-171-3 .
↑ Landau L.D., Lifshits E.M., Pitaevsky L.P. 9 // Statisztikai fizika. - M . : Nauka, 1976. - S. 180.
↑ Vasziljev A.N. Funkcionális módszerek a kvantumtérelméletben és -statisztikában. - Leningrád: Leningrád. Univ., 1976. - S. 162.
↑ Vergeles S. Előadások a kvantumelektrodinamikáról. - M. : Fizmatlit, 2008. - P. 7. - ISBN 978-5-9221-0892-8 .
↑ Komarova M.V., Nalimov M.Yu., Novozhilova T.Yu. Fázisátmenetek kvantumrendszerekben: szuperfluiditás és szupravezetés. Szentpétervár: Fizikai Kar, Szentpétervári Állami Egyetem.
↑ Popov V. N. Kontinuumintegrálok a kvantumtérelméletben és a statisztikai fizikában. - M .: Atomizdat , 1976. - S. 31.
↑ Matukk R. Feynman diagramok a soktest problémában. - M . : Mir, 1969. - S. 68.
↑ Vasziljev A. N. Kvantumtér renormalizációs csoport a kritikus viselkedés és a sztochasztikus dinamika elméletében. - Szentpétervár: PNPI, 1998. - P. 77. - ISBN 5-86763-122-2 .

Irodalom

Zee E. A kvantumtérelmélet dióhéjban. - M.-Izhevsk: NIC "RHD", 2009. - ISBN 978-5-93972-770-9 .
Tsvelik AM Kvantumtérelmélet a kondenzált anyag fizikában. - M. : FIZMATLIT, 2002. - ISBN 5-9221-0237-0 .
Zinn-Justin J. Kvantumtérelmélet és kritikai jelenségek. - Oxford: Clarendon Press, 2002. - ISBN 0-19-850923-5 .

Green hőmérsékleti függvényei

Kezelői megközelítés

A hőmérséklet meghatározása Green függvényei

A szabad részecskék esete

Kölcsönhatásban lévő részecskék

Funkcionális integrációs módszer

A hőmérséklet meghatározása Green függvény

A szabad részecskék esete

Kölcsönhatásban lévő részecskék

Jegyzetek

Irodalom

Lásd még