Heisenberg-képviselet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. augusztus 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Heisenberg -reprezentáció a kvantummechanikai jelenségek leírásának egyik módja , amelyben egy rendszer evolúcióját a Heisenberg-egyenlet írja le, és csak az operátorok időbeni fejlődése határozza meg, az állapotvektor pedig nem függ az időtől.

A Heisenberg-ábrázolás leírása

A kvantummechanika posztulátumai szerint minden fizikai mennyiséghez egy lineáris önadjungált operátor tartozik, a tiszta állapotot pedig a Hilbert-tér vektora írja le . A Heisenberg-reprezentációban az állapotvektor nem függ az időtől, és a rendszer fejlődését a következő egyenlet írja le: ${\kalap A}$ $|\psi\rangle$

${\frac {d}{dt}}{\hat {A}}_{H}(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\ kalap {A}}_{H}(t)]+{\frac {\partial {\hat {A}}_{S}}{\partial t)),$

ahol a parciális derivált a fizikai mennyiség explicit időfüggését jelenti.

Operátorok kapcsolata a Schrödinger- és Heisenberg-reprezentációban

Legyen operátor a Schrödinger-reprezentációban és operátor a Heisenberg-reprezentációban. Ekkor az egyik reprezentációból a másikba való átmenetet egy egységes transzformáció határozza meg: ${\kalap A}(t)$ ${\kalap A}_{H}(t)$

${\kalap A}_{H}(t)={\kalap S}(t_{0},t){\kalap A}(t){\kalap S}(t,t_{0}),$

hol van az evolúciós operátor: ${\kalap S}(t,t_{0})$

{\hat S}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{ t}H(t')\,dt'}\jobbra)\jobbra\},t>t_{0}

{\hat S}(t,t_{0})=\overline {T}\left\{\exp \left(({\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{{t_ {0}}}H(t')\,dt'}\jobbra)\jobbra\},t<t_{0}

hol vannak az időrendező és a rendelést ellenőrző operátorok. Különösen, ha a Hamilton-operátor nem függ az időtől, akkor $T,\overline {T}$

{\hat S}(t,t_{0})=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}{\hat H}(t-t_{0})}\right),

és az egységes transzformáció a következő alakot ölti:

{\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t )e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.

Az átmenet a Schrödinger-reprezentációról a Heisenberg-reprezentációra

Az állapotvektor a Schrödinger-reprezentációban kielégíti a Schrödinger-egyenletet:

{\hat H}(t)\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\Psi (t)\right\rangle ,

hol van a Hamilton operátor . ${\kalap H}(t)$

Bemutatjuk az evolúciós operátort , amely a rendszer állapotát a kezdeti pillanattól átviszi bármely másikba: ${\kalap S}(t,t_{0})$

{\hat {S}}(t,t_{0})\left|\Psi (t_{0})\right\rangle =\left|\Psi (t)\right\rangle .\qquad ( 2)

Ha a (2) képletet behelyettesítjük a Schrödinger-egyenletbe, azt kapjuk, hogy az evolúciós operátor teljesíti az egyenletet:

i\hbar {\partial \over \partial t}{\hat {S}}(t,t_{0})={\hat {H}}(t){\hat {S}}(t ,t_{0}),\qquad(3)

{\hat {S}}(t_{0},t_{0})={\hat {I)),

hol van az azonosító operátor. Különösen, ha a Hamilton-féle nem függ az időtől, akkor az evolúciós operátor alakja a következő: ${\kalap én}$

{\hat {S}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.

Most nézzük meg néhány megfigyelhető operátor középértékét : $\kalap A$

\langle {\hat {A}}(t)\rangle =\langle \Psi (t)|{\hat {A}}(t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi ( t_{0})|{\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}}(t,t_{0})|\Psi ( t_{0})\rangle =\langle \Psi (t_{0})|{\hat {A}}_{H}(t)|\Psi (t_{0})\rangle .

Így a Heisenberg-reprezentáció operátorát a következő képlet határozza meg: $\kalap A$

{\hat {A}}_{H}(t)={\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}} (t,t_{0}).\qquad(4)

Különösen, ha a Hamilton nem függ az időtől, akkor

{\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t )e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.

Megkülönböztetjük a képletet az idő függvényében, és az egyenletet használjuk , majd megkapjuk az operátor mozgásegyenletét a Heisenberg-reprezentációban: $(4)$ $(3)$ ${\kalap A}(t)$

{d \over dt}{\hat {A}}_{H}(t)={i \over \hbar }[{\hat {H}}(t),{\hat {A}} _{H}(t)]+{\partial \over \partial t}{\hat {A}}_{H}(t),\qquad (5)

ahol a parciális derivált az operátor explicit időfüggőségét jelöli . ${\kalap A}(t)$

Példa. Kvantumharmonikus oszcillátor.

A kvantumharmonikus oszcillátor Hamilton -operátora a létrehozási és megsemmisítési operátorok ábrázolásában a következő formában van:

{\hat {H}}=\hbar \omega ({\hat {a}}_{H}^{\tőr }{\hat {a}}_{H}+1/2).

Mivel a teremtés és a megsemmisülés operátorai nem függnek az időtől a Schrödinger-reprezentációban, az egyenlet átírható így $(5)$

i\hbar {d \over dt}{\hat a}_{H}(t)=-\hbar \omega [{\hat a}_{H}^{\dagger }{\hat a}_{H }+1/2,{\hat a}_{H}(t)],

i\hbar {d \over dt}{\hat a}_{H}(t)=\hbar \omega {\hat a}_{H}(t),

{\hat a}_{H}(t)={\hat a}e^{{-i\omega (t-t_{0))))),

{\hat {a}}_{H}^{\dagger }(t)={\hat {a}}^{\dagger }e^{i\omega (t-t_{0})} ,

ahol a megsemmisítési és létrehozási operátorok (anti)kommutációs relációit használták $[{\hat {a)],{\hat {a))^{\dagger }]_{\mp }=1.$

Alkalmazás

A Heisenberg-reprezentációt a relativisztikus elméletben, valamint a statisztikai fizika problémáiban használják.

Lásd még

Irodalom

6. szakasz. Schrödinger és Heisenberg ábrázolása // Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Quantum fields. — M.: Nauka, 1980. — S. 55-56.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantummechanika (nem relativisztikus elmélet). - 6. kiadás, átdolgozott. — M .: Fizmatlit , 2004. — 800 p. - (" Elméleti fizika ", III. kötet). — ISBN 5-9221-0530-2 . 13. szakasz. Az operátorok Heisenberg-képviselete.
10. szakasz. A Heisenberg-képviselet. VIII. fejezet // Messiás A. Kvantummechanika. - M .: Nauka, 1978. - S. 306-307.
3.4. Heisenberg kép // Sudbury A. Kvantummechanika és elemi részecskefizika. — M.: Mir, 1989. — S. 154-155.
Serbo V. G., Khriplovich I. B. Kvantummechanika: Tankönyv. - Novoszibirszk: A Novoszibirszki Állami Egyetem Kiadója, 2008. - 274 p. — ISBN 978-5-94356-642-4