Feynman-paraméterezés

A Feynman-paraméterezés egy módszer a Feynman-diagramokból származó zárt hurkú integrálok egy vagy több ciklussal történő kiértékelésére. Néha azonban hasznos, ha a tiszta matematika területére integrálunk .

Képletek

Richard Feynman megjegyezte, hogy:

{\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}

továbbá a képlet bármely A és B komplex számra érvényes, ha az A-t és B - t összekötő szakasz nem tartalmaz 0-t . A képlet segít az integrálok kiértékelésében, mint pl.

\int {\frac {dp}{A(p)B(p)}}=\int dp\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA(p) +(1-u)B(p)\jobbra]^{2}}}=\int _{0}^{1}du\int {\frac {dp}{\left[uA(p)+(1 -u)B(p)\jobbra]^{2}}}.

Ha A (p) és B (p) p lineáris függvényei , akkor az utolsó integrál helyettesítéssel kiértékelhető.

Általánosabban, a Dirac delta függvény használatával : [1] $\delta$

{\begin{aligned}{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}&=(n-1)!\int _{0}^{1}du_{1} \cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (1-\sum _{k=1}^{n}u_{k})\;}{\left(\ összeg _{k=1}^{n}u_{k}A_{k}\jobbra)^{n}}}\\&=(n-1)!\int _{0}^{1}du_{ 1}\int _{0}^{u_{1}}du_{2}\cdots \int _{0}^{u_{n-2}}du_{n-1}{\frac {1}{\ balra[A_{1}+u_{1}(A_{2}-A_{1})+\pontok +u_{n-1}(A_{n}-A_{n-1})\jobbra]^{ n}}}.\end{igazított}}

Ez a képlet bármely A 1 , komplex számra érvényes. , ., A n , ha 0 nem szerepel a konvex testükben .

Még általánosabban, feltéve, hogy mindenki számára : ${\text{Re}}(\alpha _{j})>0$ $1\leq j\leq n$

{\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}\cdots A_{n}^{\alpha _{n))))={\frac {\Gamma (\alpha _{1}+\pontok +\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1})\cdots \Gamma (\alpha _{n))}}\int _{0}^{1 }du_{1}\cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (1-\sum _{k=1}^{n}u_{k})\;u_ {1}^{\alpha _{1}-1}\cdots u_{n}^{\alpha _{n}-1}}{\left(\sum _{k=1}^{n}u_{ k}A_{k}\jobbra)^{\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k))))

hol van a gamma függvény . [2] $\gamma$

Következtetés

{\frac {1}{AB}}={\frac {1}{AB}}\left({\frac {1}{B}}-{\frac {1}{A}}\jobb )={\frac {1}{AB}}\int _{B}^{A}{\frac {dz}{z^{2}}}.

Most csak lineárisan alakítsa át az integrált helyettesítéssel,

u=(zB)/(AB)

, ami ahhoz vezet

du=dz/(AB)

ahol

z=uA+(1-u)B

és megkapjuk a kívánt eredményt:

{\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}} .

Általánosabb esetekben a származtatás nagyon hatékonyan elvégezhető a Schwinger-paraméterezés segítségével . Például a Feynman-féle parametrizált alak levezetéséhez Először is újra kifejezzük a nevezőben szereplő összes tényezőt Schwinger-paraméterezett formában: ${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}...A_{n))))$

{\frac {1}{A_{i}}}=\int _{0}^{\infty }ds_{i}\,e^{-s_{i}A_{i}}\ \ { \text{for }}i=1,\ldots ,n

és írd le

{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n))}=\int _{0}^{\infty }ds_{1}\cdots \int _{0}^{\infty }ds_{n}\exp \left(-\left(s_{1}A_{1}+\cdots +s_{n}A_{n}\right)\right).

Ezután végrehajtjuk az integrációs változók következő módosítását:

\alpha =s_{1}+...+s_{n},

\alpha _{i}={\frac {s_{i}}{s_{1}+\cdots +s_{n}}};\ i=1,\ldots ,n-1,

Megszerezni,

{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n))}=\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1 }\int _{0}^{\infty }d\alpha \ \alpha ^{N-1}\exp \left(-\alpha \left\{\alpha _{1}A_{1}+\cdots + \alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}\right\}\ jobb).

ahol a terület integrációját jelöli ${\displaystyle \int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1))$ $0\leq \alpha _{i}\leq 1$ $\sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}\leq 1$

A következő lépés az integráció végrehajtása . $\alpha$

\int _{0}^{\infty }d\alpha \ \alpha ^{n-1}\exp(-\alpha x)={\frac {\partial ^{n-1}}{\ részleges (-x)^{n-1))}\left(\int _{0}^{\infty }d\alpha \exp(-\alpha x)\right)={\frac {\left(n -1\jobbra)!}{x^{n}}}.

ahol meghatároztuk $x=\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\ alfa _{n-1}\jobbra)A_{n}.$

Ezt az eredményt behelyettesítve az utolsó előtti formát kapjuk,

{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n))}=\left(n-1\right)!\int _{0}^{1}d\alpha _{1} \cdots d\alpha _{n-1}{\frac {1}{[\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left (1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\jobbra)A_{n}]^{n}}},

és egy további integrál bevezetése után elérkezünk a Feynman-paraméterezés végső formájához, nevezetesen:

{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n))}=\left(n-1\right)!\int _{0}^{1}d\alpha _{1} \cdots \int _{0}^{1}d\alpha _{n}{\frac {\delta \left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n}\right)} {[\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n}A_{n}]^{n}}}.

Hasonlóképpen, ha a Feynman-paraméterezés formáját a legáltalánosabb esetből származtatjuk: kiindulhatunk a Schwinger-paraméterezés egy megfelelő másik formájával a nevezőben, nevezetesen: ${\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1)...A_{n}^{\alpha _{n))))$

{\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1))))={\frac {1}{\left(\alpha _{1}-1\right)!)} \int _{0}^{\infty }ds_{1}\,s_{1}^{\alpha _{1}-1}e^{-s_{1}A_{1))={\frac { 1}{\Gamma (\alpha _{1})}}{\frac {\partial ^{\alpha _{1}-1}}{\partial (-A_{1})^{\alpha _{1 }-1}}}\left(\int _{0}^{\infty }ds_{1}e^{-s_{1}A_{1}}\jobbra)

majd pontosan az előző eset szerint járjunk el.

Alternatív forma

A paraméterezés egy alternatív formája, amely néha hasznos az

{\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{2}} }.

Ezt a formát a változók változtatásával kaphatjuk meg , majd a szorzatszabály segítségével megmutathatjuk, hogy $\lambda =u/(1-u)$ ${\displaystyle d\lambda =du/(1-u)^{2))$

{\begin{aligned}{\frac {1}{AB}}&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right ]^{2}}}\\&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{(1-u)^{2}}}{\frac {1}{\left[{ \frac {u}{1-u}}A+B\right]^{2}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\lambda }{\left[ \lambda A+B\right]^{2}}}\\\end{igazított}}

Általánosabban, mi

{\frac {1}{A^{m}B^{n))}={\frac {\Gamma (m+n)}{\Gamma (m)\Gamma (n)))\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{m-1}d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{n+m))},

hol van a gamma függvény . $\gamma$

Ez az űrlap hasznos lehet egy lineáris nevező másodfokú nevezővel kombinálásakor , például az effektív nehézkvark elméletben (HQET). $A$ $B$

Szimmetrikus alak

Néha a paraméterezés szimmetrikus formáját használják, ahol helyette az intervallumintegrált hajtják végre , ami a következőket eredményezi: $[-1,1]$

{\frac {1}{AB}}=2\int _{-1}^{1}{\frac {du}{\left[(1+u)A+(1-u)B\right ]^{2}}}.

Jegyzetek

↑ . - ISBN 978-0-521-67053-1 .
↑ Kristjan Kannike. Megjegyzések a Feynman paraméterezéshez és a Dirac Delta függvényhez . Hozzáférés dátuma: 2011. július 24. Az eredetiből archiválva : 2007. július 29. (határozatlan)

Richard Feynman
A tudomány	Feynman diagramok Egyhurkos Feynman diagram Feynman-Katz képlet Wheeler-Feynman abszorpciós elmélet Bethe-Feynman képlet Hellmann-Feynman tétel Feynman perjel jelölés Feynman-paraméterezés Fogalmazás útintegrálokkal Parton (részecske) propagátor ragadós gyöngy érv Az egyelektronos univerzum elmélete Kvantum cellás automata Rogers Bizottság Feynman sakktábla Feynman pont Feynman öntöző Feynman-Smoluchowski racsnis
Művek	" Rengeteg szoba lent " (1959) "The Feynman Lectures on Physics " (1964) " A fizikai törvények természete " (1965) " A QED a fény és az anyag furcsa elmélete " (1985) – Természetesen viccel, Mr. Feynman! » (1985) „ Mit érdekel, mit gondolnak mások? » (1988) " Feynman elveszett előadása " (1997) " Az egész értelme " (1999) " The Pleasure of Finding Things " (1999) " Tökéletesen ésszerű eltérések a járt pályától " (2005)
Egyéb	Tudományos rakománykultusz " Kvantumember: Richard Feynman élete a tudományban " (2011) Tuva vagy Bust! Feynman nanotechnológiai díj " Végtelen " (film, 1996) " QED " (színdarab, 2001) " Challenger " (film, 2013)