Markowitz portfólióelmélet

Portfólióelmélet Markowitz ( angol mean-variance analysis – a valószínűségi változók várható átlagainak és variációinak elemzésén alapuló megközelítés ) – Harry Markowitz által kidolgozott, befektetési portfólió kialakításának módszertana , melynek célja az eszközök optimális megválasztása, a hozam / kockázat szükséges aránya . Az általa az 1950 -es években megfogalmazott gondolatok képezik a modern portfólióelmélet alapját [1] [2] .

Eredet

A portfólióelmélet főbb rendelkezéseit Harry Markowitz fogalmazta meg doktori disszertációja készítésekor 1950-1951 között .

A Markowitz portfólióelmélet születésének a Financial Journalban 1952 -ben megjelent „Portfolio Choice” című cikket tekintik [3] . Ebben először matematikai modellt javasolt az optimális portfólió kialakításához, és módszereket adott a portfóliók felépítésére bizonyos feltételek mellett [4] . Markowitz fő érdeme az volt, hogy a "nyereségesség" és a "kockázat" fogalmak valószínűségi formalizálását javasolta, ami lehetővé tette az optimális portfólió kiválasztásának problémájának formális matematikai nyelvre való lefordítását [5] . Meg kell jegyezni, hogy az elmélet megalkotásának évei alatt Markowitz a RAND Corp. -nál dolgozott. , a lineáris és nemlineáris optimalizálás egyik alapítójával - George Dantziggel és ő maga is részt vett ezeknek a problémáknak a megoldásában. Ezért saját elmélete a szükséges formalizálás után jól illeszkedett a jelzett irányba.

Markowitz folyamatosan fejleszti elméletét, és 1959-ben megjelentette az első ennek szentelt monográfiát Portfolio Selection: Effective Diversification of Investments [6] címmel .

1990- ben , amikor Markowitz Nobel-díjat kapott , megjelent az "Átlagos varianciaanalízis a portfólióválasztásban és a tőkepiacon" [7] című könyv .

Az elmélet leírása

A Markowitz által elvégzett formalizálás után matematikai szempontból az optimális portfólió kialakításának problémája egy négyzetes optimalizálási feladat volt lineáris korlátok mellett [5] . Ez a problémaosztály az optimalizálási problémák egyik legtöbbet tanulmányozott osztálya, amelyre számos hatékony algoritmus létezik [8] .

A lehetséges portfóliók terének felépítéséhez Markowitz az eszközosztályt, az átlagos várható hozamok vektorát és a kovarianciamátrixot javasolta [5] .

Ezen adatok alapján a lehetséges portfóliók halmaza épül fel különböző kockázat-hozam mutatókkal [5] .

Mivel az elemzés két kritériumon alapul, a menedzser kiválasztja a portfóliókat [5] :

Akár hatékony, akár nem javítható megoldások keresésével. Ebben az esetben minden más megoldás, amely jobb, mint az egyik paraméterben található, szükségszerűen rosszabb lesz egy másikban.
Vagy a fő kritérium kiválasztása (például a jövedelmezőség nem lehet alacsonyabb egy bizonyos értéknél), a többit csak kritériumkorlátozásként használja.
Vagy valamilyen szuperkritérium felállításával, ami a fenti kettő szuperpozíciója (például a funkciójuk).

Matematikai megfogalmazás és problémamegoldás

Minimális kockázat Markowitz portfólió

Az átlagos hozamvektorral a kovarianciamátrix segítségével eszközportfólió optimalizálásának feladata a következőképpen fogalmazható meg $r$ $V$

${\begin{cases}\sigma _{p}^{2}=d^{T}Vd\jobbra \min \\d^{T}r=r_{p}\\d^{T}e=1 \\\end{cases}}$

Az eszközportfólió-optimalizálási feladatban ezekhez a feltételekhez hozzá kell tenni, hogy a portfólió (részvények) pozitív feltétele legyen. A pénzügyi eszközök esetében azonban feltételezik a rövid pozíciók nyitásának lehetőségét (a portfólióban lévő instrumentumok negatív részesedése). Ekkor találhatunk általános analitikus megoldást a problémára. Ha kijelöljük

$A={\begin{pmatrix}r^{T}\\e^{T}\\\end{pmatrix}}V^{{-1}}(r,e)={\begin{pmatrix}r^ {T}V^{{-1}}r&r^{T}V^{{-1}}e\\e^{T}V^{{-1}}r&e^{T}V^{{- 1}}e\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}\\a_{{21}}&a_{{22}}\\\end{ pmátrix}}$

akkor a feladat megoldásának van formája

$d^{*}=V^{{-1}}(r,e)A^{{-1}}{\begin{pmatrix}r_{p}\\1\\\end{pmatrix}}$

Ekkor az optimalizált (hatékony) portfólió szórásának az elvárt hozamtól való függése meglesz a formája

$\sigma _{p}^{2}=(r_{p},1)A^{{-1}}{\begin{pmatrix}r_{p}\\1\end{pmatrix}}={\frac {a_{{22}}r_{p}^{2}-2a_{{12}}r_{p}+a_{{11}}}{a_{{11}}a_{{22}}-a_{ {12}}^{2}}}=\sigma _{0}^{2}{\frac {(r_{p}-r_{0})^{2}}{r_{0}(r_{1 }-r_{0})}}+\sigma _{0}^{2}$

ahol a minimális lehetséges portfólióhozam-szórás és a megfelelő átlagos hozam $\sigma _{0}^{2}=1/a_{{22}},r_{0}=a_{{12}}/a_{{22}}$

r_{1}=a_{{11}}/a_{{12}}

- portfólió hozama, a minimális kockázati portfólió kockázat-hozam arányával (grafikusan ez az egyetlen metszéspont a parabola origóján és csúcsán áthaladó egyenes parabolájával) Tobin minimális kockázati portfóliója

Kockázatmentes (a hozamok nulla varianciájával) hozamú eszköz jelenlétében a probléma megfogalmazása megváltozik $r_{f}$

${\begin{cases}\sigma _{p}^{2}=d^{T}Vd\jobbra \min \\d^{T}(r-r_{f}e)=r_{p}-r_ {f}\\d_{f}=1-d^{T}e\end{cases}}$

A probléma megoldásának formája van

$d^{*}={\frac {r_{p}-r_{f}}{(r-r_{f}e)^{T}V^{{-1}}(r-r_{f}e )}}V^{{-1}}(r-r_{f}e)$

A kockázati portfólió szerkezeti vektora (a kockázatos eszközök aránya nem a teljes portfólióban, hanem a kockázati portfólió összértékében) egyenlő lesz

$d^{{**}}={\frac {V^{{-1}}(r-r_{f}e)}{e^{T}V^{{-1}}(r-r_{ f}e)}}$

Látható, hogy a portfólió kockázatos részének szerkezete nem függ az elvárt hozamtól. Az elvárt hozam csak a kockázatos portfólió és a kockázatmentes eszköz arányát határozza meg.

A kockázati portfólió átlagos hozama egyenlő lesz

$r_{p}^{{**}}=r^{T}d^{{**}}={\frac {r^{T}V^{{-1}}(r-r_{f} e)}{e^{T}V^{{-1}}(r-r_{f}e)}}={\frac {a_{{11}}-r_{f}a_{{12}} }{a_{{12}}-r_{f}a_{{22}}}}={\frac {r_{0}(r_{1}-r_{f})}{r_{0}-r_{ f}}}$

Az optimális (hatékony) portfólió szórása lineárisan függ a megkívánt hozamtól, mégpedig az alábbiak szerint

$\sigma _{p}={\frac {r_{p}-r_{f}}{{\sqrt {(r-r_{f}e)^{T}V^{{-1}}(r- r_{f}e)}}}}={\frac {\sigma _{0}(r_{p}-r_{f})}{{\sqrt {(r_{f}-r_{0})^ {2}-r_{0}(r_{1}-r_{0})}}}}$

Az egyes instrumentumok átlagos hozama és a portfólió átlagos hozama közötti kapcsolat is könnyen meghatározható. Ehhez definiáljuk az együtthatók vektorát

$\beta ={\frac {Vd^{*}}{\sigma _{p}^{2}}}={\frac {r-r_{f}e}{r_{p}-r_{f}} }\Rightarrow r-r_{f}e=\beta (r_{p}-r_{f})$

Ebből azt kapjuk, hogy ha a befektetők racionálisak, akkor a piaci portfólió feltételesen tekinthető hatékonynak, ezért a piacon az eszköz átlagos jövedelmezősége a következő lineáris módon kapcsolódik a piaci portfólió jövedelmezőségéhez

$r-r_{f}=\béta (r_{M}-r_{f})$

Ez egy pénzügyi eszközárazási modell – CAPM

Lásd még

Black-Litterman modell

Jegyzetek

↑ Gitman L. J., Jonk M. D. A befektetés alapjai. Per. angolról. - M .: Delo, 1997. - 1008 p. ISBN 0-06-0423625 (angol) ISBN 5-7749-0011-8 (orosz). oldal 810
↑ Krass M.S., Chuprynov B.P. Matematika közgazdászoknak. - Szentpétervár, Péter, 2009. - p. 251
↑ Markowits Harry M. Portfolio Selection // Journal of Finance. 1952. 7. 1. sz pp. 71-91
↑ Evsenko Olga Sergeevna. Befektetések a kérdésekbe és válaszokba. oktatóanyag.
↑ 1 2 3 4 5 Yu. F. Kasimov. Az optimális értékpapír-portfólió elméletének alapjai - M: "Filin" Információs és Kiadó, 1998. - 144 p. ISBN 5-89568-086-0
↑ Markowitz HM portfólióválasztás: A befektetések hatékony diverzifikációja. Wiley. New York. 1959.
↑ Markowitz HM, Mean Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets. Bazsalikom. Blackwell. 1990.
↑ Bazaraa MS, Sherali HD, Shetty CM Nonlinear Programming (2. kiadás) Wiley & Sons, 1994.

Irodalom

Harry Markowitz. Portfólióválogatás archiválva 2017. június 3-án a Wayback Machine -nél

Részvény- és kötvénypiac
Piactípusok	elsődleges piac Másodlagos piac OTC értékpapírpiac Negyedik piac
Az értékpapírok fajtái	Készlet törzsrészvény arany részvény Korlátozott értékpapírok Nyomon követési promóció elsőbbségi részvény Kötvény
Részvénytőke	Alaptőke Kiemelkedő részvények Kibocsátott részvények saját részvény
tagok	Piacjegyző Kereskedő napi kereskedő Tőzsdekereskedő kellékkereskedő Equity Trader aláíró Bróker Tranzakciós bróker Kereskedő Befektető Kvantitatív elemző Szabályozó
Tőzsde	Felsorolás Törlés a listáról keresztlista Nem jegyzett értékpapírok
Tőzsdék listái	A tőzsdék általános listája Az afrikai tőzsdék listája Az európai tőzsdék listája Az amerikai tőzsdék listája A dél-ázsiai tőzsdék listája Elektronikus kommunikációs hálózat
A részvények értékének és jövedelmezőségének becslése	Alfa együttható Arbitrázs árképzés elmélete Beta Terjedés A cég könyv szerinti értéke CAPM Tőkepiaci vonal Osztalékkedvezmény modell Osztalék hozam Egy részvényre jutó eredmény Nyereségesség Model Feda Nettó eszközérték Az értékpapírok jellemző sora Értékpapír-piaci vonal T-modell Béta semleges portfólió Sharpe arány Sortino-együttható Treynor-együttható A kockázat mértéke Kockáztatott érték Black-Litterman modell
A kereskedés elméletei és stratégiái	Algoritmikus kereskedés Vásárlás és tartás stratégia Ellentétes befektetés napi kereskedés Költségátlagolás A hatékony piac hipotézise Fundamentális elemzés Gyorsan növekvő állomány A tranzakció időpontjának kiválasztása Modern portfólióelmélet Momentum befektetés Mozaikelmélet Páros kereskedés Posztmodern portfólióelmélet Véletlenszerű séta hipotézis Iparági rotáció Stilizált befektetés Swing kereskedés Technikai elemzés Követő trend Értékátlagolás Érték befektetés Fraktál piacelemzés Dow elmélet Elliott Wave elmélet Mark Twain effektus januári hatás
Pénzügyi mutatók	Részvényenkénti eredmény (EPS) Ár/bevétel (P/E) Ár/bevétel (P/S) Ár/jövő bevétel (PEG) Ár/könyv szerinti érték (P/B)

Pénzügyi kockázat és pénzügyi kockázatkezelés

Típusok

Hitel kockázat	Koncentrációs kockázat A fogyasztói hitelezés kockázatai Hitelderivatíva Értékpapírosítás CVA Elszámolás előtti kockázat PFE
Piaci kockázat	Árukockázat Mennyiségi kockázat alapkockázat Alakkockázat Lejárati kockázat részvénykockázat Devizakockázat Margin kockázat Kamatkockázat Volatilitási kockázat Likviditási kockázat Refinanszírozási kockázat
Működési kockázat	Működési kockázatkezelés BIA TSA AMA IMA Jogi kockázat Politikai kockázat Reputációs kockázat Becslési kockázat Modellkockázat
Egyéb kockázatok	Nyereségveszteség kockázata Becsült kockázat Szisztémás kockázat

Modellezés

Piaci portfólió
Markowitz portfólióelmélet
RAROC
Kockázatmentes kamatláb
Kockázati paritás
Sharpe arány
Sortino-együttható
VaR
Profit kockáztatva
Az árrés veszélyben
Likviditás veszélyben

Egyéb fogalmak